Università degli Studi di Roma “Tor Vergata” Dipartimento di Ingegneria Elettronica Approssimazione di funzioni attraverso sistemi in logica fuzzy. Aspetti teorici e applicativi. Arianna Mencattini Seminario - 25 settembre 2002

Indice Introduzione ai sistemi fuzzy come approssimatori di funzioni. Caso SISO (Single Input Single Output) Caso MISO (Multiple Input Single Output) Teoremi fondamentali. Applicazioni

Fuzzy Systems F[ x ] Parametri y1 x1 y2 x2 ym xn . x1 x2 xn y1 y2 ym Parametri Legame diretto ingresso – uscita Possibilità di imporre dei vincoli sulla F[ ], grazie ai parametri liberi.

Casi Possibili

Applicazioni Possibili - 1 Processamento di segnale: ad esempio s(x) è un segnale audio o un segnale immagine ed F[ ] è un filtro F[ ] s(x) y(x)=F[s(x)] Controlli: F[ ] u(x) F(s) + G(s)

Applicazioni Possibili - 2 Modellistica: F[ ] Set di Misure Modello In questo caso la funzione target f è il legame fisico fra le variabili di ingresso e di uscita. In genere non è nota.

Struttura del sistema (SISO) ● ● ● Dominio di ingresso Dominio di uscita Set di punti campione noti

Struttura dello spazio di ingresso x : Insieme fuzzy di ingresso Funzione di appartenenza (MF)

Struttura dello spazio di uscita y x : Insieme fuzzy di uscita Funzione di appartenenza (MF)

Base di conoscenza Antecedente della regola Conseguente della regola

Fuzzificazione: fase in cui si associano: un set di MF all’ingresso un set di MF all’uscita si definisce un insieme di regole

Inferenza: valutazione delle regole Per un dato valore x occorre valutare le regole per costruire il valore di uscita b 4 Valutazione regole b 3 b 2 Defuzzificazione b 1 x A A A A 1 2 3 4 a a i i+1 INPUT RANGE

Operatore di inferenza: Inferenza: valutazione degli antecedenti If (x is A1 ) then (y = b1 ) If (x is A2 ) then (y = b2 ) If (x is A3 ) then (y = b3 ) Operatore di inferenza: MAX, Media pesata v2 v3

Defuzzificazione Per un dato valore x occorre valutare le regole per costruire il valore di uscita b 4 Valutazione regole Valore di uscita b 3 b 2 Defuzzificazione b 1 x A A A A 1 2 3 4 a a i i+1 INPUT RANGE

Espressione dell’uscita 1

Espressione dell’uscita 2

Sistemi di tipo Sugeno di ordine N If (x is A1 ) then (y = b1 ) Se il conseguente è del tipo Sistema Sugeno di ordine N

Sistemi di tipo Sugeno di ordine N Attraverso i coefficienti posso imporre ulteriori condizioni alla funzione Fuzzy F. Se il mio set di conoscenze è: Settando si ha che

Sistemi di tipo Sugeno di ordine N Osservazioni: è la serie di Taylor troncata all’ordine N di f(x) centrata in . è la combinazione di polinomi di Taylor di ordine N centrati nei vertici della griglia, pesati con le funzioni peso V(x).

Caso MISO (multiple input single output) La trattazione è analoga al caso SISO, ma la struttura del sistema fuzzy diventa più complessa. Le regole fuzzy diventano: Occorre dare un valore all’operatore and (min, prodotto). La scelta del prodotto in questa applicazione è motivata dalla necessità di non ledere la regolarità della funzione F(x).

Caso MISO (multiple input single output)

Esempio: funzione target

Funzione fuzzy bilineare Linee di discontinuità delle derivate parziali

Funzione fuzzy con MFs cubiche

Confronto caso SISO e MISO Il numero di punti di non regolarità nel caso SISO è n. In questo caso è possibile utilizzare n parametri liberi (ad esempio le altezze k) per imporre la continuità delle derivate prime, senza dover complicare il sistema fuzzy con funzioni di appartenenza non triangolari. Nel caso MISO il numero di punti di non regolarità diventa , occorre quindi eliminare intrinsecamente la causa di detta non regolarità, ovvero soddisfare le ipotesi del Teorema 1. Nel caso MISO le altezze k possono essere usate per ottimizzare il comportamento della funzione F(x) come interpolatore, nell’intervallo aperto in base ad una norma scelta (sup, media etc.)

Approssimazione SISO, legame con i polinomi di Taylor 1/(x2+1)

Approssimazione MISO, legame con i polinomi di Taylor

Applicazioni nel caso SISO: funzione log Processamento Immagini y(x)=log(x) x Se dove è una componente di rumore moltiplicativa e w è il segnale originario non corrotto da rumore, allora l’operatore logaritmo rende il legame fra w e additivo e si ha . A questo punto il segnale modificato y=log(x) è filtrabile con un filtraggio classico, di tipo passa basso. Si può facilmente dimostrare che il sistema fuzzy che implementa una funzione inversa si ottiene da quello che implementa la funzione diretta invertendo gli spazi di ingresso e di uscita, nel senso di intervalli considerati.

Applicazioni nel caso SISO: funzione log Approssimazione della funzione log(x) con sistema fuzzy a 1 punto e altezze variabili. La curva della funzione obiettivo e quella della funzione approssimante sono indistinguibili.

Applicazioni nel caso SISO: funzione sin per l’implementazione di un DDS(Digital Direct Synthesizer) Schema di un DDS Sistema fuzzy

Coefficienti di Fourier della funzione fuzzy

Risultati intermedi Approssimazione della funzione sin(x) con il nuovo metodo.

Spettro della sinusoide fuzzy 7 punti

Estrazione del circuito equivalente intrinseco Esempio 2: modellizzazione di dispositivi FET a grande segnale Misure sul dispositivo dei parametri S Valutazione dei parassiti Estrazione del circuito equivalente intrinseco al variare della polarizzazione. Necessità dell’interpolazione al variare della polarizzazione Funzione parametrica di Materka-Kacprzak Funzione fuzzy Modello per la simulazione a grande segnale

Sistema fuzzy come modello: Ids Materka Fuzzy

Sistema fuzzy come modello: gds Materka Fuzzy

Sistema fuzzy come modello: gm Materka Fuzzy

Bibliografia M. Salmeri, A. Mencattini, R. Rovatti, " Function Approximation Using Non Normalized SISO Fuzzy Systems", International Journal of Approximate Reasoning, IJAR, Elsevier, vol. 26, n. 3, April 2001. A. Mencattini, M. Salmeri, " Performance Optimization of SISO Fuzzy Systems Used as Function Approximators", International Journal of Fuzzy Systems, vol. 4, n. 4, December 2002. M. Salmeri, A. Mencattini, S. Bertazzoni, D. Di Giovenale, A. Salsano, " Sinusoidal Wave Synthesis Using Fuzzy Approximation", submitted to Trans. on Fuzzy Systems. A. Mencattini, M. Salmeri, A. Salsano, " MISO Function Approximation with Derivative Constrains Using Sugeno Fuzzy Systems", " Approximation Properties of Taylor Polynomial Fuzzy Systems", to be submitted to Trans. on Fuzzy Systems.