Schemi di moltiplicazione …e qualche trucchetto per le tabelline A cura di Maria Giovanna Melis

Indice Schemi …con le dita Nepero : a gelosia a castelluccio Egizi Moltiplicazione ad una cifra Moltiplicazione a più cifre a gelosia a castelluccio Egizi All’indietro del contadino russo a crocetta per scapezzo medioevale

Moltiplicazione con le dita Un vecchio sistema usato per le “tabelline” con numeri maggiori di 5 5 6 7 8 9 10 indice

Per moltiplicare 8 x 7 si procedeva in questo modo: 1- Si indicava con una mano l’8 e con l’altra il 7 2- Si sommavano le dita alzate che indicavano le decine: 3 da + 2 da = 5 da 3- Si moltiplicavano tra loro le dita chiuse: 2 x 3 = 6 4- Si sommavano i risultati: 50 + 6 = 56

Gli <<Ossi>> di Nepero Così scrive Nepero stesso: Eseguire dei calcoli è operazione difficile e lenta e spesso la noia che ne deriva e la causa principale della disaffezione che la maggioranza della gente prova nei confronti della matematica. Ho cercato sempre - usando tutti i mezzi che avevo a disposizione e con le forze che il mio intelletto mi ha dato - di rendere più agevole e spedito questo processo. È con questo scopo ben fisso nella mente che ho elaborato il metodo dei logaritmi, a cui ho dedicato molti anni di studio... Nello stesso tempo, a beneficio di chi volesse far uso solo dei numeri naturali, ho predisposto altri tre brevi metodi di semplificazione dei calcoli. Il primo dei quali e stato battezzato Rabdologia e si basa sull'uso di alcune asticelle su cui sono scritti i numeri... Rabdologia, p. 1 http://www.sibiwin.it/matematica/mouseCALC2.htm indice

L’uso dei regoli rinascimentali di Nepero sono dovuti a Lord John Napier barone di Murchiston (1550-1617), ricco proprietario terriero scozzese che si interessava di argomenti di varia natura. Per la matematica si applicò a questioni di calcolo e di trigonometria e fu l’inventore dei logaritmi. Nella sua Rhabdologia del 1617 presentò alcuni ingegnosi artefici per eseguire le moltiplicazioni e le estrazioni di radici quadrate (e cubiche) attraverso una tavola numerica formata da bastoncini mobili. Queste strisce risultavano intestate ciascuna ad una cifra della numerazione decimale, da 1 a 9. Queste informazioni le ho tratte dal libro di Barbanera e De Luca, “Progetto Pitagora”, classe quinta, Giunti Lisciani Editori, 1993 torna

i ‘’bastoncini ’ Index fisso indice 2 4 6 1 8 3 7 9 5 1 2 3 7 6 4 5 8 2 4 6 1 8 3 7 9 5 1 2 3 7 6 4 5 8 9 3 6 9 1 8 2 5 4 7 6 2 8 1 3 4 5 9 8 7 2 3 4 6 5 1 Index fisso i ‘’bastoncini ’ indice

Moltiplicazione ad una cifra: Es. 385 x 8 3 6 9 1 8 2 5 4 7 si avvicinano all’indice fisso del moltiplicatore i regoli 3, 8, 5 Facendo scorrere il visore sulla riga 8, appariranno nelle finestrelle i numeri: 2 4+ 6 4 + 4 0 Sommiamo cominciando da destra La cifra delle unità è 0 (si guarda l’unità del regolo 5) La seconda cifra, quella delle decine, è 8 (4+4) La terza cifra, quella delle centinaia, è 0 (4+6) col riporto di 1 La quarta cifra, delle unità di migliaia, è 3 (2+1 di riporto) Il prodotto è 3.080 indice

Moltiplicazione a più cifre: Es. 742 x 463 indice 1- Si inseriscono i bastoncini contrassegnati con i numeri 7, 4 e 2, vicino all’Index fisso del moltiplicatore 1 2 3 5 7 6 4 8 9 7 4 1 2 9 3 8 5 6 4 8 2 1 6 3 2 4 6 1 8 2- Facciamo scorrere prima il visore sulla riga quattro: appariranno nelle finestrelle i numeri: 2 8+1 6+0 8 Sommando come nell’esempio precedente, si ottiene 2.968 3- Facciamo ora scorrere il visore sulla riga 6; appariranno nelle finestrelle: 4 2+2 4+1 2. Sommando, si ottiene 4.452 4- Infine, poniamo il visore sulla linea 3; appariranno: 2 1+1 2+0 6. Sommando si ottiene 2.226 5- Sommiamo i risultati ottenuti, aggiungendo uno zero al secondo numero, due zeri al terzo, e così via: 2.968 + 44.520 + 222.600= 270.088

Schema a reticolo, <<dei musulmani>>, <<a gelosia>> 3 2 4 324 x 43 Si scrive il moltiplicando e il moltiplicatore ai lati di un rettangolo o di un quadrato (quando i due fattori hanno un numero uguale di cifre) 3 2 4 indice

Lo schema a reticolo era in uso nei paesi arabi; per questo veniva chiamato <<schema dei musulmani>>. In Italia era conosciuto come <<schema a gelosia>> (gelosia, in questo caso, è sinonimo di persiane che, messe alla finestra, proteggevano da sguardi indiscreti)

3 2 4 1 6 8 2. Ricordando che 324 x 43= 324 x (40 +3), si applica la proprietà distributiva, si comincia a moltiplicare 324 x 4 decine e si scrivono i risultati come indicato negli schemi 4 4 1 6 3 2 8 3 2 1

3 2 4 1 6 8 9 3 2 4 1 1 4 2 6 8 1 3 9 6 2 3. Si moltiplica 324 x 3 e si scrivono i risultati , come indicato negli schemi

4. Si addiziona in diagonale a cominciare dalle unità (2), tenendo conto di eventuali riporti 3 2 4 1 6 8 9 3 2 4 1 6 8 9 (2+1 di riporto) (9+8+1) + 1 di riporto (6+6+1) 324 x 43= 13 932 indice A schema gelosia

Schema <<a castelluccio>> 742 x 463 indice 1- Si moltiplicava 7 x 463. 7 x 3=21. Si scriveva 1 sotto il 3 e si riportava 2. A destra dell’1 si scrivevano due zeri in quanto si era moltiplicato per 7 centinaia. 742 X 463 _______ 100 2- Si moltiplicava 7 x 6= 42 più 2 di riporto=44. Si scriveva 4 e si riportava 4. Si moltiplicava 7 x 4= 28 più 4 di riporto: 32 742 X 463 _______ 324100 4- Si moltiplicava 2 x 463 e si addizionavano i prodotti parziali 742 X 463 ________ 324100 18520 926 _________ 343.546 3- Si moltiplicavano le 4 decine per 463, mettendo uno zero per indicare che moltiplicavano le 4 decine. 742 X 463 _______ 324100 18520

Schema <<all ’indietro>> La stessa moltiplicazione - 742 x 463 - eseguita con questo schema, simile al ‘castelluccio’. In questo caso, però, si cominciava a moltiplicare: 742 x 463 ___________ 296800 44520 2226 ____________ 343 546 1- 742 x 400= 296.800 2- 742 x 60= 44.520 3- 742 x 3= 2.226 indice

Gli Egizi e la moltiplicazione Per eseguire la moltiplicazione, gli antichi Egizi non avevano bisogno delle tabelline. A loro bastava saper moltiplicare e dividere per 2 e saper sommare. Si conoscono due modi: Primo modo Secondo modo indice

Questo modo di eseguire la moltiplicazione è di origine antichissima e viene descritto nel ‘papiro di Rhind’’ Per moltiplicare 25 x 11 si scrivevano i due numeri in colonna 25 11 Si calcolava la metà di 25 (1/2 di 25=12 r.1). Non si teneva conto del resto e si scriveva 12 Si calcolava il doppio di 11e si scriveva. 12 22 Si calcolava la metà di 12 e si scriveva 6 44 Si calcolava il doppio di 22 e si scriveva Si calcolava la metà di 6 e si scriveva 3 88 Si calcolava il doppio di 44 e si scriveva Si calcolava la metà di 3 e,non tenendo conto del resto, si scriveva 1. Si calcolava il doppio di 88 e si scriveva 1 176

Dopo che si raggiungeva l’1 (nella colonna dove si era diviso il numero di partenza a metà), si cancellavano le righe in cui la metà trovata era un numero pari. Si sommavano, infine, i raddoppi rimasti: 11 + 88 + 176 = 275 25 11 12 22 6 44 3 88 1 176 275 Torna

26 1 52 2 104 4 208 8 416 16 442 Per eseguire questa moltiplicazione 26 x 17 gli Egizi si comportavano in questo modo: Partendo da 1, si raddoppiava fino a trovare il 17. Si fermavano a 16 perché, fra i numeri scritti, ci sono 16 e 1 che, sommati tra loro, danno 17 26 1 Partendo da 26, si eseguivano i successivi raddoppiamenti X 2 X 2 52 2 104 4 208 8 416 16 442 Si sommavano, infine,i numeri che nella colonna dei raddoppiamenti corrispondevano a 16 e a 1, cioè: 416 + 26 = 442

Moltiplicazione del <<contadino russo>> Così denominato per il fatto che fino a poco tempo fa era ancora in uso presso i contadini russi. Questo metodo è simile a quello egiziano. 126 x 42 5 2 4032 126 42 252 21 504 10 1008 2016 1 1- Si formano due colonne di numeri: nella prima colonna, ogni numero successivo al primo è il doppio del precedente; nella seconda colonna la metà (approssimata all’unità inferiore) del precedente. 2- Si prosegue in tal modo fino a che nella seconda colonna si ottiene 1. 4032 126 42 252 21 504 10 1008 5 2016 2 1 3- Si evidenziano i numeri dispari presenti nella seconda colonna e si addizionano i numeri che a essi corrispondono nella prima colonna. La somma è il prodotto richiesto. 126 x 42= 252 + 1 008 + 4 032= 5 292 indice

Procedimento per <<scapezzo>> o per spezzato Si scompongono entrambi i fattori nella somma di due o più addendi, a piacere. Es. 56 x 34 56= 30+20+6 34= 20+10+4 Il prodotto si ottiene applicando alla moltiplicazione (30+20+6) x (20+10+4) la proprietà distributiva rispetto all’addizione. Usare uno schema facilita: 30 20 6 20 600 400 120 indice 10 300 200 60 4 120 80 24 56x34= 600+400+120+300+200+60+120+80+24= 1 904

Lo schema <<a crocetta>> esposto da Fibonacci nel ‘Liber abaci ‘, e noto agli indiani come ‘moltiplicazione fulminea’, permette di risolvere la moltiplicazione senza eseguire i prodotti parziali. Es: 153 x 42 153 x 42= (100+50+3) x (40+2) 100+50+3 40+2 1- 40 x 100= 4.000 2- 4.000+ (40 x 50)= 6.000 3- 6.000+ (40 x 3)= 6.120 4- 6.120+ (2 x 100)= 6.320 5- 6.320+ (2 x 50)= 6.420 6- 6.420+ (2 x 3)= 6.426 indice

progenitore di quello attuale Lo schema Medioevale, progenitore di quello attuale 9 3 4 3 7 3 6 4 9 3 4 1 2 8 2 3 2 9 3 2 7 6 Questo schema è stato tratto da ‘larte de labbacho’, di autore ignoto, opera stampata a Treviso nel 1478. Op. cit. Barbanera, De Luca.