CALCOLO COMBINATORIO

INDICE Che cos’è il calcolo combinatorio? Concetto di raggruppamenti semplici e di raggruppamenti con ripetizione Disposizioni Combinazioni Permutazioni

PROBLEMI DS DR PS PR CS CR In quanti modi diversi 3 ragazzi di una compagnia di 5 amici si possono sedere su 3 poltrone libere di un cinema? Quanti numeri di 4 cifre si possono comporre con le cifre 1,2,3,4,5,6? Quanti anagrammi si possono comporre con le lettere della parola ROMA? E con la parola ALA? Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto? In quanti modi diversi 7 caramelle identiche possono essere distribuite tra 4 bambini? E se le caramelle fossero diverse? DS DR PS PR CS CR

CHE COS’E’? Il calcolo combinatorio è un particolare ramo della matematica applicata avente come scopo la costruzione e la misurazione del numero di raggruppamenti diversi che si possono comporre prendendo una determinata quantità di elementi in un assegnato insieme, in modo che siano rispettate determinate regole. VEDI ESEMPI

DISPOSIZIONI semplici (D3,2) COMBINAZIONI semplici (C3,2) PROBLEMA: Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi che non si ripetono 1° modo COPPIE ORDINATE: ab ac ba bc ca cb 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE: ab ac bc 1° modo: si parla di DISPOSIZIONI 2° modo: si parla di COMBINAZIONI DISPOSIZIONI semplici (D3,2) COMBINAZIONI semplici (C3,2) avanti

DISPOSIZIONI con ripetizione (D’3,2) PROBLEMA: Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi che possono ripetersi 1° modo COPPIE ORDINATE: aa ab ac bb ba bc cc ca cb 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE: aa ab ac bb bc cc DISPOSIZIONI con ripetizione (D’3,2) COMBINAZIONI con ripetizione (C’3,2) indietro

I RAGGRUPPAMENTI POSSONO ESSERE: SEMPLICI: quando gli oggetti sono tutti diversi CON RIPETIZIONE: quando gli oggetti vi figurano una o più volte

“NOMI” DEI RAGGRUPPAMENTI DISPOSIZIONI: quando l’ordine degli elementi è importante. COMBINAZIONI: quando l’ordine degli elementi non ha alcuna importanza .

TIPI DI RAGGRUPPAMENTI semplici Disposizioni con ripetizione Combinazioni Permutazioni con oggetti identici

COME CALCOLARE IL NUMERO DI DISPOSIZIONI?

PROBLEMA: DATE LE 4 CIFRE 1,2,3,4 QUANTI SONO I NUMERI DI 2 CIFRE DISTINTE CHE SI POSSONO FORMARE? 1 2 3 4 2 1 3 4 3 1 2 4 4 1 2 3 12 ; 13 ; 14 21 ; 23 ; 24 31 ; 32 ; 34 41 ; 42 ; 43 Il n° di disposizioni semplici di 4 oggetti distinti presi a 2 a 2 è: D4,2 = 4*3 = 12

IN GENERALE: il n° di DISPOSIZIONI SEMPLICI di n oggetti distinti presi k per volta è Dn,k= n(n-1)(n-2) ….. (n-k+1) con n>k (cioè il prodotto di k numeri naturali decrescenti a partire da n) PROBLEMI

PROBLEMA: DATE LE 3 CIFRE 1,2,3 QUANTI SONO I NUMERI DI 2 CIFRE CHE SI POSSONO FORMARE? 2 1 2 3 3 1 2 3 1 1 2 3 11 , 12 ; 13 21 ; 22 ; 23 31 ; 32 ; 33 Il n° delle disposizioni con ripetizione di 3 oggetti a gruppi di 2 è : D’3,2=3*3=32=9

IN GENERALE: il n° delle DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è D’n,k= nk PROBLEMI

COME CALCOLARE IL NUMERO DI COMBINAZIONI?

PROBLEMA: DATE LE 4 CIFRE 1,2,3,4 QUANTE SONO LE COPPIE DI NUMERI DISTINTI CHE SI POSSONO FORMARE? 1 2 3 4 2 1 3 4 3 1 2 4 4 1 2 3 1-2 ;1-3 ; 1-4 2-3 ; 2-4 3-4 Le combinazioni semplici di 4 oggetti presi a 2 a 2 sono : C4,2= D4,2 / 2 = 4*3 / 2 =6

Cn,k = Dn,k / k! = ( ) con n>k IN GENERALE: il n° di COMBINAZIONI SEMPLICI di n oggetti distinti presi k per volta è Cn,k = Dn,k / k! = ( ) con n>k n k PROBLEMI

PROBLEMA: DATE LE 2 LETTERE a,b QUANTE SONO LE COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE DI TALI OGGETTI PRESI A 3 A 3? a a a a a b a b b b b b Il n° di combinazioni con ripetizione di n oggetti distinti presi a 3 a 3 è : C’2,3= ( ) = ( ) = 4 2+3-1 3 4 3

IN GENERALE: il n° delle COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è C’n,k= (cioè è il prodotto di k fattori crescenti a partire da n, diviso k! ) n(n+1)….. (n+k-1) K ! PROBLEMI

CHE COSA SONO LE PERMUTAZIONI?

PERMUTAZIONI SEMPLICI ESEMPIO: COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI (anche privi di senso) DELLA PAROLA APE P E A P E A E P A E P A E P A E P E A P E A A P E A P E P A E P A Il n° delle permutazioni di 3 oggetti distinti è: P3 = D3,3 = 3*2*1 = 6

Le permutazioni semplici di n oggetti distinti sono tutti i possibili raggruppamenti contenenti la totalità degli n oggetti e che differiscono solo per l’ordine Pn = Dn,n Pn = n! PROBLEMI

PERMUTAZIONI CON OGGETTI IDENTICI ESEMPIO: COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI (anche privi di senso) DELLA PAROLA ALA L A A L A A A L A A L A A L A A L A A L A A A L A A L L A A L A uguali a 2 a 2 LE PERMUTAZIONI DI 3 OGGETTI , 2 DEI QUALI IDENTICI, SONO: P3(2) = P3/2! = 3

IN GENERALE: se tra gli n oggetti dati ve ne sono α uguali tra loro, β uguali tra loro… il numero delle permutazioni degli n oggetti assegnati risulta: Pn(α, β ) = n! α! * β! PROBLEMI

E ora risolviamo i problemi formulati all’inizio della presentazione !!!!!