MOLTIPLICAZIONE COMBINATORIA Con esempi e problemi 1 2 3 a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 AUTORE ADRIANA LANZA Liceo scientifico “Cavour”

Unconcetto molto semplice ma fondamentale per comprendere i metodi del Calcolo combinatorio è Il concetto di MOLTIPLICAZIONE COMBINATORIA di due insiemi di cardinalità m ed n , rispettivamente

CARDINALITA’ DI UN INSIEME Ricordiamo in proposito che si chiama cardinalità di un insieme finito il numero dei suoi elementi L’insieme dei piccoli e vivaci animali, rappresentati a lato, ha cardinalità 4

L’insieme di queste altre bestioline” più tranquille” ha invece cardinalità 3

Siano A e B due insiemi aventi rispettivamente n ed m elementi Il numero delle coppie ordinate che si possono formare con un elemento di A ed un elemento di B sono n*m

ESEMPIO Proviamo ad associare un animale del secondo gruppo con un componente del primo. Pensiamo per esempio al gufo che legge tranquillamente il suo libro

Quale ,tra i chiassosi amici, verrà a disturbarlo? 4 3 2 1

Si ottengono pertanto 4 possibili accoppiamenti Il ragionamento si può ripetere a partire dal gatto addormentato O dal silenzioso pesciolino Complessivamente i possibili accoppiamenti sono 3*4 =12

Un modello più generale si ottiene mediante il DIAGRAMMA AD ALBERO

GENERALIZZANDO Siano A1 A2 A3 A4 ...................Ak  k insiemi contenenti rispettivamente n1 n2 n3 n4...nk elementi , il numero delle kappuple ordinate che si possono formare scegliendo un elemento da ciascun insieme sono n1 n2 n3 n4...nk

Per costruire l’albero dei possibili percorsi basta procedere come nell’esempio precedente: si sceglie uno degli n1 elementi di A1e lo si collega con gli n2 elementi di A2 da ciascuno di essi si fanno si fanno partire altri n3 rami collegati con gli n3 elementi di A3 ... e così via.

Diagramma ad albero ottenuto a partire dal primo elemento di A1: i possibili percorsi sono n2*n3

Poiché si possono costruire n1 alberi, in corrispondenza di ciascun elemento di A1, si hanno complessivamente n1*n2*n3 scelte possibili

L’operazione così definita prende il nome di Moltiplicazione combinatoria Calcolo combinatorio problemi

Calcolo combinatorio Il metodo della Moltiplicazione combinatoria permette di risolvere i problemi classici di Calcolo combinatorio e determinare le formule delle principali funzioni: Disposizioni semplici Disposizioni con ripetizione Permutazioni semplici Permutazioni con elementi ripetuti Combinazioni semplici Combinazioni con ripetizione

DISPOSIZIONI Consideriamo ora un solo insieme di n elementi e vediamo in quanti modi si può da esso estrarre un gruppo di k elementi ( kappupla ) disponendoli secondo l’ordine di estrazione

Chiamiamo Disposizioni di n oggetti a k a k il numero che determina in quanti modi si possono scegliere k elementi in un insieme di cardinalità n, considerando distinti due gruppi che differiscano almeno per un elemento o per l’ordine di scelta Si parla di disposizioni semplici (D n,k) se ciascun elemento può essere scelto una sola volta Si parla di disposizioni con ripetizione (Dr n,k) se ciascun elemento può essere scelto più di una volta

Si devono disporre ,in ordine, k degli elementi di un insieme di cardinalità n. 1) Si sceglie il primo elemento: la scelta può essere fatta in n modi diversi 2) Si sceglie il secondo elemento: la scelta può essere fatta in n-1 modi diversi, poiché l’elemento scelto non può essere ripetuto 3) Si sceglie il terzo elemento: la scelta può essere fatta in n-2 modi diversi ...................................................................................................................... ....................................................................................................................... k) Si sceglie il k-esimo elemento: la scelta può essere fatta in n-(k-1) = n-k+1 modi diversi.

Come si può osservare , ogni scelta modifica l’insieme di partenza, pertanto il problema è analogo a quello della formazione di un gruppo di k elementi scegliendo un elemento da ciascuno dei k insiemi a disposizione. Con il metodo della Moltiplicazione Combinatoria si trova pertanto che il numero delle disposizioni semplici di n oggetti a k a k sono D n,k = n(n-1)(n-2)....(n-k+1) ←Calcolo combinatorio

DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE Supponiamo di dover formare un gruppo di k elementi scelti in un insieme di cardinalià n, potendo ripetere più volte lo stesso elemento. Due gruppi sono diversi se differiscono per qualche elemento o anche per l’ordine. Ripetendo un ragionamento analogo a quello fatto per le disposizioni semplici, si osserva che il primo elemento può essere scelto in n modi diversi il secondo elemento può essere scelto ancora in n modi diversi così tutti gli altri k-2 elementi Pertanto D r n,k = n*n*n*n...n = n k ←Calcolo combinatorio

Permutazioni Come caso particolare di Disposizioni semplici si consideri il caso k=n: In questo caso i gruppi da formare sono costituiti sempre da tutti gli elementi dell’insieme, posti però in ordine diverso. Si parla in questo caso di permutazioni di classe n

La formula delle PERMUTAZIONI SEMPLICI si ottiene come caso particolare delle DISPOSIZIONI→Pn=Dn,n Pn = n(n-1)(n-2)...3*2*1 = n!   ←Calcolo combinatorio

PERMUTAZIONI CON ELEMENTI RIPETUTI Consideriamo n elementi non tutti distinti, tra cui siano presenti per esempio h elementi uguali. Fra le n! permutazioni, quelle che permutano tra di loro gli elementi uguali, lasciando inalterati gli altri, non sono tra di loro distinguibili Poiché queste ultime sono in numero di h!, il numero totale va diviso per h!. In generale, se sono presenti h1,h2,h3...hi elementi tra di loro uguali, il numero di permutazioni è   ←Calcolo combinatorio

COMBINAZIONI SEMPLICI Si vogliono formare gruppi di k elementi scelti in n insieme di cardinalità N. I gruppi sono distinti solo se differiscono per qualche elemento. A differenza del caso delle disposizioni, i gruppi che differiscono solo per l’ordine e in cui compaiono gli stessi elementi vanno considerati come un unico gruppo. Pertanto il numero delle Combinazioni di N oggetti a k a k è uguale al rapporto tra le analoghe Disposizioni e le permutazioni di classe k

come si può facilmente dimostrare Cn,k = Dn,k/ k! = . come si può facilmente dimostrare Le combinazione si indicano anche con il simbolo ←Calcolo combinatorio

COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE Ci limitiamo a dare la formula delle C r n,k verificandone la validità con un esempio. C r n,k = C n+k-1,k ←Calcolo combinatorio

Il metodo della moltiplicazione combinatoria Può essere applicato anche nel caso in cui il gruppo debba essere formato scegliendo più elementi da ciascun insieme

e a B l’insieme delle rispettive Se , per esempio, si devono scegliere n elementi dall’insieme A e k elementi dall’insieme B Basta sostituire ad A l’insieme delle n-ple che si possono formare nel suo interno e a B l’insieme delle rispettive k-ple!

ESEMPI Combinazioni semplici Combinazioni con ripetizione Gruppo formato con elementi di due insiemi Con scelta multipla all’interno di ciascun insieme Disposizioni semplici Con ripetizione Permutazioni Con elementi ripetuti Combinazioni semplici Combinazioni con ripetizione

Si ottengono C3,1*C4,2=3*6 =18 situazioni possibili ESEMPIO N.1 Se , tornando all’esempio iniziale, supponiamo che uno degli animali <<tranquilli>> sia disturbato da due amici per volta si deve associare un elemento del primo insieme con una coppia di elementi del secondo insieme Si ottengono C3,1*C4,2=3*6 =18 situazioni possibili <=esempi

ESEMPIO N 2 ESEMPIO N 3 Disposizioni In un Circolo di 100 soci devono essere eletti un Presidente ed un Segretario. Le due cariche sono incompatibili Se tutti i soci sono candidati, quante sono le possibili scelte? Risposta D 100,2 = 100*99 ( l'ordine in cui vengono estratti i due nominativi è significativo)   Con riferimento all’esempio precedente, supponiamo che le cariche siano compatibili. In questo caso lo stesso individuo può essere scelto due volte  Risposta : Dr 100, 2=1002  <=esempi

ESEMPIO N. 3 ESEMPIO N.4 Anagramma Risposta 4! = 4.3.2.1 = 24 ( parole con lettere distinte) Quanti sono i possibili anagrammi della parola Roma? Risposta 4! = 4.3.2.1 = 24 Anagramma (parole con lettere ripetute) Quanti sono i possibili anagrammi della parola <<mamma>> ? Risposta 10 <=esempi

ESEMPIO N 5- Combinazioni semplici In quanti modi si possono eleggere i 2 rappresentanti di classe in una classe di 15 alunni?   Risposta : C 15, 2= 15*14/2 l'ordine in cui vengono estratti i due nominativi non è significativo <=esempi

ESEMPIO N 6- Combinazioni con ripetizione Consideriamo un insieme di 4 oggetti [ A ,B , C , D] e costruiamo tutti i possibili gruppi di tre elementi, non necessariamente distinti C r 4,3 = C 6,3 = 20 SPIEGAZIONE 3 elementi uguali => C 4,1 = 4 [A,A,A] [B,B,B] [C,C,C] [D,D,D] 2 elementi uguali => C 4,1*C 3,1 =12 [A,A,B] [B,B,A] [C,C,A] [D,D,A] [A,A,C] [B,B,C] [C,C,B] [D,D,B] [A,A,D] [B,B,D] [C,C,D] [D,D,C] 3 elementi distinti => C 4,3 [A,B,C] [ B,C,D] [A,C,D] [A,B,D] In tutto 4+ 12+ 4 = 20 casi <=esempi

Da risolvere solo col metodo Della MOLTIPLICAZIONE COMBINATORIA PROBLEMI Da risolvere solo col metodo Della MOLTIPLICAZIONE COMBINATORIA

ELENCO-PROBLEMI Numeri Menù semplice Menù complesso Concerto Percorsi Regali Schedina Ballerini Urna Poker

QUANTI SONO I NUMERI DI 4 CIFRE CHE TERMINANO CON LA CIFRA 2? PROBLEMA N1 NUMERI QUANTI SONO I NUMERI DI 4 CIFRE CHE TERMINANO CON LA CIFRA 2? SOLUZIONE

SOLUZIONE (Numeri) Risultato : 9*10*10*1=900 La prima cifra va scelta in un insieme di 9 elementi La seconda cifra va scelta in un insieme di 10 elementi La seconda cifra va scelta in un insieme di 1 solo elemento Risultato : 9*10*10*1=900 PROBLEMI

PROBLEMA N.2 Menù semplice Quanti tipi di pranzo(1 antipasto, 1 primo, 1 secondo, 1 contorno,1 dessert) si possono organizzare con 3 antipasti, 2 primi, 4 secondi, 4 dessert? Risposta 3*2*4*4 = 96 PROBLEMI

PROBLEMA N.3 Menù complesso In quanti modi si può scegliere un pranzo formato da un antipasto, due primi, tre secondi, 2 dessert scegliendo da un Menù Comprendente 3 antipasti 5 primi 8 secondi 4 dessert   SOLUZIONE

SOLUZIONE-Menù complesso L’antipasto si può scegliere in un solo modo i primi in C5,2 modi i secondi in C8,3 modi i dessert in C4,2 modi Con il metodo della Moltiplicazione Combinatoria si trova in totale C 5,2 * C8,3 * C4,2 = 10* 56*6 = 3360   PROBLEMI

PROBLEMA N.4 CONCERTO Fra 10 violinisti, 5 suonatori di viola e 5 di violoncello si deve formare un sestetto composto da 2 violini, 3 viole e 1 violoncello. In quanti modi ciò è possibile?  SOLUZIONE: C 10,2 *C 5,3*C 5,1 PROBLEMI

PROBLEMA N.5 PERCORSI La figura seguente rappresenta la mappa dei collegamenti di 4 città A B D C In quanti modi si può andare da A a D passando per B e C? Quanti percorsi ABCDCBA sono possibili? Una persona compie il circuito ABCDCBA: in quanti modi può farlo non ripassando mai sulle strade imboccate nell’andare da A a D? SOLUZIONE

SOLUZIONE-Percorsi 2*3*4 = 24 (2*3*4) 2 =576 2*3*4*3*2*1 = 144 indietro PROBLEMI

PROBLEMA N.6 REGALI PROBLEMI In quanti modi si possono assegnare 2 regali a 3 bambini, se ciascun bambino può avere più di un oggetto?   Soluzione Il primo regalo può essere assegnato in 3 modi diversi Il secondo regalo può essere assegnato in 3 modi diversi Risposta 3*3=9 PROBLEMI

PROBLEMA N.7 Schedina Quante sono le possibili colonne della schedina del totocalcio? risposta 3*3*3*3……….*3 13 volte = 3 13 indietro PROBLEMI

PROBLEMA N.8 Ballerini In una piccola scuola di ballo sono presenti 10 ballerini e 10 ballerine   A)In quanti modi si possono costituire le coppie danzanti ( con ballerini di sesso diverso)? B)In quanti modi si può scegliere una coppia per rappresentare la scuola in una gara di <<liscio>>? SOLUZIONE

SOLUZIONE-Ballerini A) 10! Si immaginino le 10 ballerine ferme e i 10 ballerini-cavalieri dirigersi verso di loro per scegliere la dama Il primo sceglie tra 10, il secondo tra 9 etc. etc. L’ultimo avrà la <<scelta obbligata>> dell’ultima dama rimasta In effetti le varie configurazioni corrispondono ad un scambio di posto ( ballerina) dei 10 ballerini →Permutazioni B) 10*10 = 100 PROBLEMI

PROBLEMA N.9 URNA      Un’urna contiene 10 palline di cui 5 bianche e 5 nere. Si estraggono in blocco (senza reimmissione) 4 palline Quante sono le possibili quaterne che contengono esattamente 3 palline bianche e una nera?   SOLUZIONE

SOLUZIONE-urna La pallina nera può essere scelta in 5 modi diversi Le 3 palline bianche possono essere scelte in C5,3 modi diversi Risposta 3* C5,3=30 PROBLEMI

PROBLEMA N.10 POKER PROBLEMI Si gioca a Poker con un mazzo di 32 carte, assegnando 5 carte a ciascun giocatore. In quanti modi si può avere un Poker <<servito>>? SOLUZIONE Le 4 carte uguali possono essere scelte in 8 modi diversi La carta diversa può essere scelta in 28 modi diversi Risposta: 8*28=224 PROBLEMI

FINE