Le operazioni con i numeri Istituto Comprensivo “F. Jovine” - Scuola Secondaria di I grado A.S. 2012-2013 Classi Prime Disciplina: Aritmetica Realizzato dal prof. Aurelio Nardelli Le operazioni con i numeri

L’addizione L'addizione è l'operazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero, ottenuto contando di seguito al primo tante unità quante ne indica il secondo. 10 + 8 = 18 Addendi Somma In un'addizione, se uno dei due addendi è zero, la somma è uguale all'altro addendo. Per questo lo zero è detto elemento neutro dell'addizione. 26 + 0 = 26

Le proprietà dell'addizione I Proprietà Proprietà commutativa dell'addizione: la somma di due o più numeri interi non cambia se si cambia l'ordine degli addenti. Esempi 11 + 9 = 20 9 + 11 = 20 17 + 3 + 5 = 25 5 + 17 + 3 = 25

Le proprietà dell'addizione II Proprietà Proprietà associativa dell'addizione: la somma di tre o più addenti non cambia, se a due o più di essi si sostituisce la loro somma. Esempio 15 + 5 + 7 + 13 = 40 20 + 20 = 40

Le proprietà dell'addizione III Proprietà Proprietà dissociativa dell'addizione: la somma di più addenti non cambia se ad uno di essi sostituiamo altri due (o più) addendi la cui somma da quell'addendo. Esempi 30 + 25 = 55 (20 + 10) + (15 + 10) = 55

La sottrazione La sottrazione è l'operazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero, che addizionato al secondo da per risultato il primo. Sottraendo 23 - 9 = 14 Minuendo Differenza o resto Dobbiamo però osservare che non è possibile la sottrazione con qualsiasi coppia di numeri naturali. Ad esempio, non possiamo calcolare la differenza 7 – 9 perché nessun numero naturale, addizionato a 9, da come risultato 5. Per tale ragione si è soliti dire che la sottrazione non è un'operazione interna ad N.

La proprietà della sottrazione Proprietà invariantiva della sottrazione: la differenza di due numeri non cambia se a ciascuno di essi si addiziona o si sottrae, se ciò è possibile, uno stesso numero. Esempi 25 - 15 = 10 (25 + 5) - (15 + 5) = 30 – 20 = 10 25 - 15 = 10 (25 - 5) - (15 - 5) = 20 – 10 = 10

La moltiplicazione La sottrazione è l'operazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero, ottenuto eseguendo l'addizione di tanti addenti uguali al primo, quanti ne indica il secondo. 2° fattore 20 · 4 = 80 1° fattore Prodotto Dobbiamo osservare che la moltiplicazione di due numeri naturali, da sempre origine ad un numero naturale. Pertanto la moltiplicazione è un'operazione interna ad N.

La moltiplicazione Consideriamo ora i prodotti: 1·16 =16 16·1 =16 Proprietà. In una moltiplicazione se uno dei due fattori è il numero 1 il prodotto è uguale all'altro fattore. Per questo il numero 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione. Consideriamo ora i prodotti: 0·16 =0 16·0 =0 Proprietà. Il prodotto di due fattori è uguale a 0 se e solo se almeno uno dei fattori è uguale a 0 (legge di annullamento del prodotto).

Le proprietà della moltiplicazione I Proprietà Proprietà commutativa della moltiplicazione: cambiando l'ordine dei fattori il prodotto non cambia. Esempio 30·3 = 90 3·30 = 90

Le proprietà della moltiplicazione II Proprietà Proprietà associativa della moltiplicazione: il prodotto di più fattori non cambia se a due (o più) di essi sostituiamo il loro prodotto. Esempio (5·4)·3 = 60 20 · 3 = 60

Le proprietà della moltiplicazione III Proprietà Proprietà dissociativa della moltiplicazione: il prodotto di più fattori non cambia se ad uno di essi ne sostituiamo due (o più) tali però che, moltiplicati, diano quel fattore. Esempio 30·6 = 180 (5·6) · (2·3) = 180

Le proprietà della moltiplicazione IV Proprietà Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: per moltiplicare un'addizione per un numero, si può moltiplicare ciascun termine dell'addizione per quel numero e poi addizionare i prodotti ottenuti. Esempio 9 · 4 = 36 (3 + 6)·4 = 3·4 + 6·4= 36

Le proprietà della moltiplicazione Tale proprietà è valida anche nel caso della sottrazione Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione: per moltiplicare una sottrazione per un numero, si può moltiplicare ciascun termine della sottrazione per quel numero e poi sottrarre i prodotti ottenuti. Esempio 12 · 3 = 36 (21 – 9)·3 = 21·3 – 9·3 = 63-27= 36

La divisione La divisione è l'operazione che fa corrispondere a due numeri, di cui il secondo diverso da 0, un terzo numero, se esiste, che moltiplicato per il secondo da come risultato il primo. Divisore 28 : 7 = 4 Dividendo Quoto o Quoziente Dall'esempio precedente possiamo dedurre che la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione: dividendo : divisore = quoto se quoto · divisore = dividendo

La divisione 17 : 5 = 3 con resto di 2 3 · 5 + 2 = 17 Non sempre però è possibile applicare le formule precedenti, perchè spesso accade che le divisioni vengono fuori con il resto. Pertanto avremo che: 17 : 5 = 3 con resto di 2 In divisioni di questo tipo il quoto si dice approssimato perchè il prodotto di quest'ultimo con il divisore non da come risultato il dividendo, ma un numero ad esso inferiore. Perciò avremo che: quoto · divisore + resto = dividendo L'esecuzione di questa formula consente la verifica del risultato della sovrastante divisione 3 · 5 + 2 = 17 Definizione: Il quoziente di una divisione si dice esatto se il resto è uguale a 0.

La divisione Se torniamo all'esempio precedente, possiamo risolvere la divisione utilizzando i numeri decimali. Pertanto avremo che: 17 : 5 = 3,4 In base a questo ragionamento possiamo concludere che la divisione non è un'operazione interna all'insieme N dei numeri naturali

Lo zero e l'uno nelle divisioni I caso Se il dividendo è zero e il divisore è diverso da zero, il quoto è uguale a zero. 0 : 15 = 0 perchè 0·15 = 0 II caso Se il divisore è zero e il dividendo è diverso da zero, il quoto non esiste. 33 : 0 = impossibile

Lo zero e l'uno nelle divisioni III caso Se il dividendo e il divisore sono uguali a zero, il quoto è indeterminato. 0 : 0 = indeterminato IV caso Se il divisore è uno, il quoto è uguale al dividendo. 13 : 1 = 13 perchè 13·1 = 13

Le proprietà della divisione I Proprietà Proprietà invariantiva della divisione: il quoziente di due numeri rimane invariato se si moltiplicano o si dividono il dividendo e il divisore di una divisione per uno stesso numero diverso da zero. Esempi 32 : 8 = 4 (32 · 3) : (8 · 3) = 96 : 24 = 4 32 : 8 = 4 (32 : 4) : (8 : 4) = 8 : 2 = 4

Le proprietà della divisione II Proprietà Proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione: per dividere un'addizione per un numero, si può dividere, se ciò è possibile, ciascun termine dell'addizione per quel numero e poi addizionare i quoti ottenuti. Esempio 42 : 6 = 7 (30 + 12): 6 = 30:6 + 12:6 = 5+2 = 7

Le proprietà della divisione Tale proprietà è valida anche nel caso della sottrazione Proprietà distributiva della divisione rispetto alla sottrazione: per dividere una sottrazione per un numero, si può dividere, se ciò è possibile, ciascun termine della sottrazione per quel numero e poi sottrarre i quoti ottenuti. Esempio 12 : 3 = 4 (21 – 9):3 = 21:3 – 9:3 = 7-3 = 4

Fine