Potenze Definizioni e Proprietà ISTITUTO COMPRENSIVO N.7 - VIA VIVALDI - IMOLA Via Vivaldi, 76 - 40026 Imola (BOLOGNA) Centro Territoriale Permanente per l’istruzione e la formazione in età adulta Licenza Media Annuale Potenze Definizioni e Proprietà Disciplina: Matematica

E SI LEGGE a ELEVATO ALLA n Elevamento a potenza an = a × a × … × a × a = b BASE POTENZA ESPONENTE n volte E SI LEGGE a ELEVATO ALLA n L’ELEVAMENTO A POTENZA È L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA A DUE NUMERI NATURALI CHIAMATI RISPETTIVAMENTE BASE ED ESPONENTE UN TERZO NUMERO NATURALE DETTO VALORE DELLA POTENZA. QUINDI: LA POTENZA DI UN NUMERO CON ESPONENTE DIVERSO DA ZERO E DA UNO, È IL PRODOTTO DI TANTI FATTORI UGUALI ALLA BASE QUANTE SONO LE UNITÀ DELL’ESPONENTE.

Esempi: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 E SI PUÒ LEGGERE DUE ELEVATO ALLA QUARTA DUE ALLA QUARTA 15 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1 E SI PUÒ LEGGERE UNO ELEVATO ALLA QUINTA UNO ALLA QUINTA 07 = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0 E SI PUÒ LEGGERE ZERO ELEVATO ALLA SETTIMA ZERO ALLA SETTIMA

Quadrati e cubi Perfetti I NUMERI CHE SONO QUADRATI (n=2; a2=b) DI NUMERI NATURALI SONO DETTI QUADRATI PERFETTI Esempio di quadrati perfetti: 22 = 2 × 2 = 4 52 = 5 × 5 = 25 92 = 9 × 9 = 81 132 = 13 × 13 = 169 Esempio di cubi perfetti: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 33 = 3 × 3 × 3 = 27 53 = 5 × 5 × 5 = 125 63 = 6 × 6 × 6 = 216 I NUMERI CHE SONO CUBI (n=3 ; a3=b) DI NUMERI NATURALI SONO DETTI CUBI PERFETTI.

Esempi: 72 = 7 × 7 = 49 43 = 4 × 4 × 4 = 64 SETTE ELEVATO ALLA SECONDA E SI PUÒ LEGGERE SETTE ELEVATO ALLA SECONDA SETTE ELEVATO AL QUADRATO SETTE ALLA SECONDA SETTE AL QUADRATO 43 = 4 × 4 × 4 = 64 E SI PUÒ LEGGERE QUATTRO ELEVATO ALLA TERZA QUATTRO ELEVATO AL CUBO QUATTRO ALLA TERZA QUATTRO AL CUBO

a1 = a Casi Particolari POTENZA CON ESPONENTE UGUALE A 1 Esempi 41 = 4 26591 = 2659 1000584791 = 100058479

BASE UGUALE A 0 ED ESPONENTE DIVERSO DA 0 POTENZA CON BASE UGUALE A 0 ED ESPONENTE DIVERSO DA 0 0n = 0 con n diverso da 0 Esempi 04 = 0 × 0 × 0 × 0 = 0 07 = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0

POTENZA CON BASE DIVERSA DA 0 ED ESPONENTE UGUALE A 0 a0 = 1 con a diverso da 0 Esempi 10 = 1 2970 = 1 1620000 = 1 NON HA SIGNIFICATO LA SCRITTURA 00 (INDETERMINATO)

Proprietà delle Potenze PRODOTTO DI POTENZE DI UGUALE BASE an × am = an+m Prodotto di due o più potenze con uguale base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

Esempi 23 × 22 = 2(3+2) = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 52 × 52 = 5(2+2) = 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 104 × 102 = 10(4+2) = 106 = = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = = 1000000

an : am = an-m con n>m QUOTO DI POTENZE DI UGUALE BASE Quoto di due potenze con uguale base, ma con esponente della prima potenza non minore di quello della seconda, è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

Esempi 27 : 23 = 2(7-3) = 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 58 : 55 = 5(8-5) = 53 = 5 × 5 × 5 = 125 74 : 73 = 7(4-3) = 71 = 7

(an)m = an×m POTENZA DI POTENZA La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

Esempi (23)4 = 2(3×4) = 212 = 4096 (32)3 = 3(2×3) = 36 = 729 (22)2 = 2(2×2) = 24 = 16

an × bn = (a × b)n PRODOTTO DI POTENZE DI UGUALE ESPONENTE Il prodotto di due o più potenze con uguale esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

Esempi 23 × 53 = (2 × 5)3 = 103 = 1000 42 × 52 = (4 × 5)2 = 202 = 400 33 × 73 = (3 × 7)3 = 213 = 9261

an : bn = (a : b)n con b diverso da 0 QUOTO DI POTENZE DI UGUALE ESPONENTE an : bn = (a : b)n con b diverso da 0 Il quoto di due o più potenze con uguale esponente è una potenza che ha per base il quoto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

Esempi 153 : 53 = (15 : 5)3 = 33 = 27 642 : 42 = (64 : 4)2 = 162 = 256 12003 : 2003 = (1200 : 200)3 = 63 = 216

(a × b)n = an × bn POTENZA DI UN PRODOTTO La potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze con uguale esponente nei singoli fattori.

Esempi (3 × 5)3 = 33 × 53 = 27 × 125= 3375 (2 × 3)2 = 22 × 32 = 4 × 9 = 36 (2 × 4)4 = 24 × 44 = 16 × 256 = 4096

(a : b)n = an : bn con b diverso da 0 POTENZA DI UN QUOTO (a : b)n = an : bn con b diverso da 0 La potenza di un quoto è uguale al prodotto delle potenze con uguale esponente nel dividendo e nel divisore.

Esempi (30 : 10)3 = 303 : 103 = 27000 : 1000= 27 (36 : 12)2 = 362 : 122 = 1296 : 144 = 9 (10 × 2)4 = 104 × 24 = 10000 × 16 = 160000