Contenuti minimi Matematica 1° anno del 1° biennio degli istituti superiori. La scomposizione di un polinomio in fattori Le operazioni con le frazioni algebriche Le eguaglianze algebriche: identità ed equazioni I sistemi di equazioni di 1° grado Home

La scomposizione di un polinomio in fattori Scomporre un polinomio in fattori significa trasformarlo in un prodotto di polinomi e monomi. Per scomporre un polinomio in fattori si possono applicare vari procedimenti. La scelta del procedimento dipende da come si presenta il polinomio da scomporre. Si potranno anche applicare più procedimenti nella stessa scomposizione. Raccoglimenti Binomi Trinomi particolari Quadrinomi particolari Scomposizione mediante la Regola di Ruffini Quadro riassuntivo dei metodi di scomposizione Verifica Home Scelta Contenuti matematica

I raccoglimenti Raccoglimenti parziali: “raccogli” i monomi che hanno dei fattori comuni; è importante che le parentesi ottenute dopo i primi raccoglimenti siano eguali in modo da poter procedere successivamente con un raccoglimento a fattore comune! Esempio: ax + x + ab + b = x (a+1) + b (a+1) = (a+1)(x+b) Raccoglimento a fattore comune: metti “in evidenza” il M.C.D. tra tutti i termini del polinomio, cioè i fattori comuni con il minimo esponente. Esempi: x2 + ax + bx = x ( x + a + b ). 6a2b3 - 2a4b2 + 4a3b3 = 2a2b2 ( 3b - a2 + 2ab )

Esempi guidati di raccoglimenti totali 1 - Scomporre x3+2x2-x= Si calcola il massimo comune divisore tra x3, x2,x, cioè si moltiplicano tra loro i fattori comuni con il minimo esponente. Nel nostro caso MCD = x. Si scrive il MCD trovato “in evidenza”, successivamente si apre una parentesi tonda e si scrivono i termini che si ottengono dividendo ciascun termine del polinomio di partenza per il MCD, si chiude la parentesi. Cioè: x ( x3:x + 2x2:x – x:x) = ATTENTO! Le divisioni nella parentesi si svolgono mentalmente, infatti, in pratica, si scrive direttamente x ( x2 + 2x -1 )

Esempi guidati di raccoglimenti totali Scomporre 2 a ( x+1) – 4 b ( x +1 ) = Si calcola il massimo comune divisore tra 2 a ( x+1 ), 4 b ( x+1 ), cioè si moltiplicano tra loro i fattori comuni con il minimo esponente. Nel nostro caso MCD = 2 ( x+1 ). Si scrive il MCD trovato “in evidenza”, successivamente si apre una parentesi tonda e si scrivono i termini che si ottengono dividendo ciascun termine del polinomio di partenza per il MCD, si chiude la parentesi. Cioè: 2 ( x+1 )[ 2 a (x+1): 2(x+1) – 4 b (x+1) : 2(x+1)]= ATTENTO! Le divisioni nella parentesi si svolgono mentalmente, infatti, in pratica, si scrive direttamente 2 (x+1) (a – 2b)

Esempi guidati di raccoglimenti parziali Scomporre xa + 4 ay + 2 xb + 8b y= Osserviamo che non si può procedere con un raccoglimento totale perché il MCD tra tutti i termini è 1! Osserviamo, però, che il 1° e 3° termine hanno un MCD diverso da 1 come anche il 2° e il 4°! Cioè: xa + 4a y + 2b x + 8b y= MCD= x MCD = 4y x (xa:x +2bx:x) + 4y (4ay:4y + 8by:4y) = In pratica si procede così: ATTENTO! Le divisioni nella parentesi si svolgono mentalmente, infatti, in pratica, si scrive direttamente x ( a + 2b) +4y (a + 2b)= Possiamo ora procedere con il raccoglimento totale di (a+2b) e scrivere: (a + 2b) (x + 4y)

I Binomi

Trinomi particolari Trinomio di 2o grado ordinato secondo le potenze decrescenti della variabile x, con il primo coefficiente eguale a 1: puoi provare a scomporlo con la regola della somma e prodotto. A tal fine, per tentativi, trova due numeri che come somma siano uguali al coefficiente della variabile di 1°gr. e come prodotto uguali al termine noto. Esempio: x2+5x+6= x2+(+2+3)x+[(+2)(+3)]= (x+2)(x+3) Quadrato di binomio: un trinomio potrebbe essere uguale al quadrato di un binomio se presenta due quadrati positivi; Esempio: 9a2+12ab+4b2 = (3a+2b)2 Attenzione! Verifica sempre l’eguaglianza!

Esempio: Attenzione! Quadrinomi particolari Se il polinomio da scomporre è un quadrinomio che contiene 2 cubi, esso potrebbe essere uguale al cubo di un binomio. Esempio: 8x3-12x2+6x-1 = ( 2x-1 )3 Attenzione! Verifica sempre l’uguaglianza!

Scomposizione mediante la Regola di Ruffini Supponiamo di dover scomporre il polinomio dividendo x3-3x-2. Ricordando che dividendo = divisore * quoziente, effettuiamo la scomposizione in due fasi: 1- calcolo del divisore - si cercano i divisori del termine noto del polinomio da scomporre (nel nostro esempio i divisori di -2 sono +/-1 e +/-2); per tentativi, tra i divisori si trova quello, che chiameremo a, che annulla il polinomio [ nell’esempio, il valore che annulla il polinomio è a= -1, infatti P(-1)= (-1)3-3(-1)-2 =0 ]; il divisore cercato sarà (x-a). [ nel nostro esempio (x+1)] Attenzione al cambiamento di segno!. 2- calcolo del quoziente - per calcolare il quoziente applichiamo la Regola di Ruffini [ nel nostro esempio calcoliamo (x3-3x-2):(x+1) , che dà come risultato x2-x-2] In conclusione x3-3x-2 = (x+1)(x2-x-2)

Quadro riassuntivo dei metodi di scomposizione Raccoglimento a fattore comune; Raccoglimenti parziali; Binomi: Differenza di quadrati a2-b2 = (a+b)(a-b) Differenza di cubi a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) Somma di cubi a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2 ) Trinomi: Trinomio quadrato di binomio a2+2ab+b2 = (a+b)2 Trinomio di 2° gr. ordinato con primo coefficiente uguale ad 1 Regola della somma e del prodotto. Quadrinomi Quadrinomio cubo di binomio a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b)3 Polinomi di ennesimo grado Scomposizione con la Regola di Ruffini verifica

Verifica: Scomponi i seguenti polinomi in fattori Cliccando su soluzioni potrai controllare i tuoi risultati soluzioni

Soluzioni verifica

Le operazioni con le frazioni algebriche Una frazione algebrica è il quoziente di due polinomi, il secondo dei quali diverso da zero. Addizione e sottrazione di frazioni algebriche Moltiplicazione tra frazioni algebriche Divisione tra frazioni algebriche Potenza di frazioni algebriche Verifica Home Scelta Contenuti matematica

Addizione e sottrazione di frazioni algebriche Procedi nel seguente modo: Scomponi i denominatori di ciascuna frazione; Calcola il m.c.m. tra i denominatori; Dividi il m.c.m. per il denominatore di ciascuna frazione e moltiplica per il corrispondente numeratore; Svolgi i calcoli al numeratore e somma gli eventuali monomi simili; Scomponi, se possibile, il numeratore; Semplifica eventualmente la frazione. Esempio:

Moltiplicazione tra frazioni algebriche Scomponi il numeratore e il denominatore delle frazioni; Semplifica in “verticale” o in “diagonale” MAI in “orizzontale”; Moltiplica i fattori rimasti. Esempio:

Divisione tra frazioni algebriche Procedi nel seguente modo: Scomponi i numeratori e i denominatori; Inverti la seconda frazione; Semplifica in “verticale” o in “diagonale” MAI in “orizzontale”; Moltiplica i fattori rimasti. Esempio:

Potenza di frazioni algebriche Procedi nel seguente modo: Scomponi in fattori il numeratore e il denominatore, se possibile; se possibile, riduci la frazione ai minimi termini; eleva all’esponente dato sia il numeratore, sia il denominatore della frazione, facendo attenzione ai segni. Esempio:

Verifica: Risolvi le seguenti espressioni Cliccando su ogni traccia potrai controllare i procedimenti di risoluzione

Procedimento risolutivo espressione 1^ Verifica

Procedimento risolutivo espressione 2^ Verifica

Procedimento risolutivo espressione 3^ Fai attenzione alla scomposizione di a3 + 125 ! Verifica

Procedimento risolutivo espressione 4^ Attenzione al cambiamento di segno! Verifica

Procedimento risolutivo dell’espressione 5^ Verifica

Le eguaglianze algebriche: identità ed equazioni identità ed Equazioni: generalità (Identità o equazione? – Tipi di equazione – Equazioni determinate, indeterminate, impossibili – Forma normale, grado – Soluzioni ) Principi di equivalenza: 1° principio – 2° principio – L’equilibrio delle equazioni Procedimento risolutivo di una equazione numerica intera di 1° grado fratta di 1° grado Procedimento risolutivo di una equazione letterale Verifica Home Scelta Contenuti matematica

Eguaglianze algebriche Qualsiasi valore di a rende l’eguaglianza vera! Identità ed equazioni Eguaglianze algebriche Identità Equazioni Eguaglianza tra due espressioni letterali verificata da qualsiasi valore attribuito alle lettere Eguaglianza tra due espressioni algebriche letterali verificata da “particolari” valori attribuiti alle lettere a+3 = 3+a per a=4 4+3=3+4 per a=0 0+3=3+0 Qualsiasi valore di a rende l’eguaglianza vera! b+5 = 7 L’unico valore che si può attribuire a b per rendere l’eguaglianza vera è b = 2!

L’eguaglianza è una IDENTITA’ se L’eguaglianza è una EQUAZIONE se Come verificare se una eguaglianza è una identità o una equazione L’eguaglianza è una IDENTITA’ se L’eguaglianza è una EQUAZIONE se Svolgendo tutti i calcoli e sommando i termini simili nei due membri dell’eguaglianza, si ottengono in entrambi gli stessi termini Svolgendo tutti i calcoli e sommando i termini simili nei due membri dell’eguaglianza, NON si ottengono in entrambi gli stessi termini 5(6 a + 3 b)+3 a=3(11 a + 5 b) 30 a + 15 b +3 a=33 a + 15 b 33 a + 15 b=33 a + 15 b 2(3 a + 3) + 2 b=3 a – 3( 2 + 4 a) 6 a + 6 + 2 b=3 a – 6 – 12 a 6 a + 6 + 2 b=– 6 – 9 a

Tipi di equazioni numerica: se, oltre alla lettera incognita, non figurano altre lettere; es: 4x+2 = 5- 4x letterale: se, oltre alla lettera incognita, figurano altre lettere; es: 3a+4x = 4+6x-a intera: se la lettera incognita non figura al denominatore; es:3x+4=4x-3 fratta: se la lettera incognita figura anche al denominatore; es:(4x+3)/(5x-1)= 6/(8x)

Equazioni determinate, indeterminate, impossibili Un’equazione del tipo ax = b può essere: determinata: se ammette un numero finito di soluzioni; cioè se a#0 e b#0 , x = a/b indeterminata: se ammette infinite soluzioni; cioè se a = 0 e b = 0 impossibile: se non ammette nessuna soluzione; cioè se a = 0 e b#0

Equazione a forma normale Grado di una equazione Una equazione si dice ridotta a forma normale se, tramite delle opportune trasformazioni, è posta nella forma P(x) =0. Si chiama grado di una equazione l’esponente massimo con il quale l’incognita figura nell’equazione ridotta a forma normale. Es: l’equazione 4 x 3 + 2 x – 6 = 0 è di 3°grado.

Le soluzioni di una equazione Risolvere un’equazione significa trovare quei valori da dare alla lettera incognita in modo che l’eguaglianza risulti verificata. Es: la soluzione dell’equazione 2x+4 =10 è x =3 infatti , sostituendo tale valore nell’equazione verifichiamo che l’eguaglianza risulta vera : 2 * 3 +4 =10. Due o più equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Il numero delle soluzioni di una equazione coincide con il suo grado. Es: una equazione di 1° grado ha una soluzione, una di 2° ha due soluzioni ...

Principi di equivalenza: 1° principio 1° Principio: addizionando ad ambo i membri di una equazione uno stesso numero o una stessa espressione, si ottiene una equazione equivalente alla data. Conseguenze: _Regola della cancellazione: se nei due membri di una equazione c’è un addendo uguale, questo si può cancellare. Es: 2x+4+5x= 2x+8  4+5x = 8. _Regola del trasporto: in una equazione si può trasportare un termine da un membro all’altro cambiandogli il segno. Es: 2x+4+5x= x-3  2x+5x-x= -4 -3

Principi di equivalenza: 2° principio 2° Principio: moltiplicando o dividendo i due membri di una equazione per uno stesso numero o espressione diversa da zero, si ottiene una equazione equivalente a quella data. Conseguenze: Regola della cancellazione: se nei due membri di una equazione c’è un fattore comune diverso da zero, questo può essere cancellato. Es: 2x (x+1) = (x+1) (2x+4)  2x=2x+4 con x+1# 0 Regola della soppressione dei denominatori numerici: per eliminare i denominatori numerici basta moltiplicare ambo i membri per il loro m.c.m. Es:

L’equilibrio delle equazioni! I due principi ci dicono che un’equazione è come una bilancia in equilibrio: per mantenere l’equilibrio ciò che si fa su un piatto bisogna farlo anche sull’altro!

Procedimento risolutivo di una equazione numerica intera di 1° grado Se ci sono coefficienti frazionari, si calcola il loro m.c.m.; si divide il m.c.m. trovato per ciascun denominatore e si moltiplica per il corrispondente numeratore; si svolgono gli eventuali prodotti al numeratore di entrambi i membri dell’equazione; applicando la 2^ conseguenza del 2° Principio si eliminano i denominatori se ci sono; applicando la 1^ conseguenza del 1° Principio si cancellano eventualmente i termini uguali nei due membri; applicando la 2^ conseguenza del 1° Principio si trasportano i termini contenenti l’incognita al primo membro e quelli noti al secondo; si sommano i termini simili; applicando il 2° Principio si dividono entrambi i membri per il coefficiente, se diverso da 1, della lettera incognita. Esempio

Procedimento risolutivo di una equazione numerica fratta di 1° grado E’ conveniente portare tutti i termini dell’equazione al primo membro. Si scompongono in fattori i denominatori che figurano nell’equazione. Si calcola il minimo comune multiplo tra i denominatori. Si divide il m.c.m. per ciascun denominatore e si moltiplica per il corrispondente numeratore. Si svolgono i calcoli al numeratore ( eventuali moltiplicazioni e somme algebriche). Si determinano le condizioni di accettabilità (C.A) delle eventuali soluzioni ciò per evitare che qualche frazione algebrica perda di significato per qualche valore dell’incognita. Per determinare le C.A. si impone m.c.m #0. Si sopprime il denominatore (m.c.m.). Si risolve l’equazione intera così ottenuta. Delle soluzioni trovate si accettano solo quelle che soddisfano alle condizioni di accettabilità. Esempio

Si portano tutti i termini al primo membro Si scompongono tutti i denominatori Si calcola il m.c.m. tra i termini al denominatore; quindi si divide il m.c.m. per ciascun denominatore e si moltiplica per il corrispondente numeratore Si determinano le condizioni di accettabilità delle soluzioni Applicando il 2° principio si elimina il denominatore e si svolgono i calcoli Si controlla l’accettabilità della soluzione!

Procedimento risolutivo di una equazione letterale intera di 1° grado Svolgi gli eventuali prodotti indicati e libera l’equazione dai denominatori se questi sono presenti (se i denominatori sono numerici si sopprimono semplicemente per il 2° principio; se i denominatori sono letterali dovrai determinare quei valori dei parametri per cui essi si annullano). Trasporta tutti i monomi contenenti l’incognita al primo membro e tutte le costanti al secondo. Somma i termini simili. Eventualmente raccogli a fattor comune l’incognita al primo membro facendo assumere all’equazione la forma Ax=B dove A e B possono essere monomi o polinomi. Se A e B sono polinomi scomponili in fattori. Procedi alla discussione: se A = 0 e B = 0  equazione indeterminata infinite soluzioni se A = 0 e B  0  equazione impossibile  nessuna soluzione se A  0 e B  0  equazione determinata  soluzione x = B/A Esempio

 m=3 equazione impossibile  nessuna soluzione se (m-3)(m-1)=0 Condizione di accettabilità di m discussione:  m=3 equazione impossibile  nessuna soluzione se (m-3)(m-1)=0  m=1 equazione perde significato (v. condizione su m) se (m-3)(m-1)0  m  1 e m 3 equazione determinata x= 2/(m-3)

Verifica: Trova le soluzioni delle seguenti equazioni Cliccando sulle tracce potrai controllare i procedimenti risolutivi

Procedimento risolutivo dell’equazione numerica intera Verifica

Procedimento risolutivo dell’equazione numerica a coefficienti frazionari Verifica

Procedimento risolutivo dell’equazione numerica fratta Verifica

Procedimento risolutivo dell’equazione letterale Verifica

I sistemi di equazioni di 1° grado Generalità sui sistemi di equazioni: * soluzioni, forma normale, grado * sistema determinato, indeterminato, impossibile. Metodi di risoluzione: * Metodo di sostituzione * Metodo di addizione * Matrici e determinanti – Metodo di Cramer Verifica Home Scelta Contenuti matematica

Soluzioni – Forma normale – Grado di un sistema Si chiama soluzione di un sistema di due equazioni in due incognite x e y, una coppia ordinata di numeri che, sostituiti a x e y, soddisfano simultaneamente entrambe le equazioni. Risolvere un sistema di equazioni in due incognite vuol dire trovare tutte le soluzioni del sistema. Un sistema si dice posto nella forma normale se si può scrivere in questa forma: a x + b y = c . a’x + b’y = c’ Il grado di un sistema di equazioni, posto nella forma normale,è il prodotto dei gradi delle singole equazioni.

Sistema determinato, indeterminato, impossibile Un sistema nella forma normale: a x + b y = c a’ x + b’ y = c’ si dice: Determinato se ammette un numero finito di soluzioni; questo si verifica se: Impossibile se non ha soluzioni; questo si verifica se: Indeterminato se ammette infinite soluzioni; questo si verifica se:

Metodo di sostituzione Si risolve una delle equazioni rispetto ad un’incognita, ad es. la x; Si sostituisce l’espressione così trovata al posto della x nell’altra equazione; Si risolve quest’ultima equazione rispetto all’incognita y, determinando il valore di questa incognita; Si sostituisce il valore trovato della y nella espressione contenente la x. Esempio

Rifletti: conviene sempre ricavarti la variabile che ha come coefficiente 1! Nel nostro caso appunto la x

Metodo di addizione Si pone il sistema in forma normale Se necessario, si moltiplicano ambo i membri delle due equazioni per numeri, diversi da zero, tali che i coefficienti di una delle incognite, per esempio la x, risultino opposti; Si sommano, membro a membro,le due equazioni ottenute; Si risolve l’equazione ottenuta nella incognita y; Con analogo procedimento si ricava il valore della variabile x. Esempio

Matrici e determinanti Una matrice è un qualsiasi gruppo di numeri ordinatamente disposti su righe e colonne. Una matrice con il numero delle righe uguale a quello delle colonne si chiama quadrata. Ad ogni matrice quadrata 2X2si può associare un numero, detto determinante, che si ottiene sottraendo al prodotto degli elementi della diagonale principale il prodotto degli elementi della diagonale secondaria. Cioè: Diagonale principale Diagonale secondaria

Metodo di Cramer I valori delle incognite sono: x = x /  y = y / Poni il sistema nella forma normale Calcola il determinante del sistema Calcola il determinante di x Calcola il determinante di y I valori delle incognite sono: x = x /  y = y / Esempio

Osserva come sono stati calcolati i determinanti!

Cliccando su ogni traccia potrai controllare lo svolgimento Verifica: Risolvi i seguenti sistemi con i metodi indicati. Cliccando su ogni traccia potrai controllare lo svolgimento

Conviene ricavare la x in quanto ha coefficiente = 1! Verifica

Moltiplichiamo per -4 la seconda equazione in modo che i coefficienti della x siano opposti! Moltiplichiamo la prima equazione per 5 e la seconda per -3 in modo che i coefficienti della y siano opposti! Verifica

Svolgiamo dapprima i calcoli nelle equazioni separatamente in modo da porre il sistema nella forma normale Verifica

B Binomio: polinomio formato da due soli termini. Es: 2x+y ; 5 a2 -b

D 40 9 4 4 Dividendo:è il primo termine della divisione Divisore: è il secondo termine della divisione divisore dividendo 40 9 4 4 quoto resto Denominatore: è il termine che si trova sotto il segno di frazione Numeratore denominatore

M Monomio:espressione letterale che non contiene operazioni di addizione e sottrazione 3 a b - a b - ½ a2 Monomi simili: due o più monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale 3 a b - a b

M.C.D.(massimo comune divisore tra numeri o polinomi): si scompongono in fattori primi i numeri o i polinomi; si moltiplicano tra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il minimo esponente M.C.D. [ ( x2 – 1 ); x2 – x ] = [ ( x – 1 )( x + 1 ) ; x ( x – 1 ) ] = ( x – 1 ) M.C.D. ( 20; 16 ) = ( 22* 5 ; 24 ) = 22 m.c.m.(minimo comune multiplo tra numeri o polinomi): si scompongono in fattori primi i numeri o i polinomi; si moltiplicano tra loro i fattori comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente m.c.m. [ ( x2 – 1 ); x2 – x ] = [ ( x – 1 )( x + 1 ) ; x ( x – 1 ) ] = x ( x – 1 ) ( x + 1 ) m.c.m. ( 15; 18 ) = ( 3 * 5 ; 2 * 32 ) = 2 * 32 * 5 = 90

N Numeratore: è il termine che si trova sopra il segno di frazione denominatore

P Polinomio: è la somma algebrica di monomi interi 2 a b + 4 a

Q Quadrinomio: è un polinomio formato da 4 termini 4 a + 2b – a2 + 5b3

R Regola di Ruffini: permette di svolgere la divisione tra un polinomio ordinato e completo e un binomio di 1° grado con il coefficiente del termine di 1° grado uguale a 1. per illustrare questa regola svolgiamo la divisione +2 +4 -1 +5 Ordiniamo i coefficienti come nel prospetto, Cambiando il segno del termine noto: +3 Scriviamo il primo coefficiente sotto la linea orizzontale e moltiplichiamolo per +3; trascriviamo il risultato +6 sotto il secondo coefficiente +4 e sommiamo trascrivendo il risultato +10 sotto la linea orizzontale +2 +4 -1 +5 +6 +3 +2 +10 Moltiplichiamo ora anche +10 per +3 e trascriviamo il risultato +30, sotto il terzo coefficiente -1; sommiamo algebricamente e trascriviamo il risultato +29 sotto la linea orizzontale. Moltiplichiamo ancora +29 per +3 e trascriviamo il risultato + 87 sotto il termine noto +5; sommiamo algebricamente e trascriviamo il risultato +92 sotto la linea orizzontale +2 +4 -1 +5 +6 +30 +87 +3 +2 +10 +29 +92 Il quoto della divisione sarà il polinomio 2 x2 + 10 x + 29 con resto +92 Osserviamo che il grado del polinomio quoto è inferiore di 1 rispetto al grado del polinomio dividendo!

S Semplificazione di una frazione algebrica: Semplificare una frazione algebrica significa dividere il suo numeratore e denominatore per un fattore comune. La frazione si dirà semplificata ai minimi termini se non si potrà ulteriormente semplificare. Per semplificare una frazione si procede così: * Si scompongono il numeratore e il denominatore della frazione * Si eliminano dal numeratore e dal denominatore i fattori comuni

T Trinomio: è un polinomio formato da tre termini ad es: 5ab + 6b + c