C'è Regolare e passo ... battito cardiaco ... traffico ... condurre una vita ... forma ... gara ... La matematica adotta un suo linguaggio che ricorre di tanto in tanto a termini correnti. Non sempre, però, ne conserva il significato. Pensiamo alla parola “incremento”, nella lingua italiana indica un aumento, in matematica può essere indifferentemente riferito a valori sia positivi che negativi. Prima regola per semplificare l’approccio alla matematica è sapere che esiste un linguaggio matematico e che non sempre corrisponde a quello che adottiamo quotidianamente. Si fa notare come il termine regolare trovi una corretta collocazione in svariati contesti. Studiare matematica significa imparare anche una nuova lingua che è fatta sia di simboli che di parole a cui va attribuito il corretto significato. Un spunto in questa direzione può essere il commento di termini che si trovano nell’insieme di intersezione della lingua italiana e della lingua matematica. Queste sono le motivazioni per cui si è scelto di iniziare questo pacchetto di diapositive in modo volutamente non matematico. 1

uali di queste sensazioni ti ispira il termine ? regolare Bello Ripetitivo Superficiale Piacevole Monotono Negativo Squadrato Positivo a b c d e f g h 2

ma sappiamo cosa significano Quotidianamente usiamo termini di cui non abbiamo MAI letto la ma sappiamo cosa significano ( o no? ) definizione 3

Sai dare una definizione “precisa” dei seguenti TERMINI: brutto bello malvagio buono saggio 4

Nelle due diapositive seguenti segna con una croce le immagini che secondo te sono riferite a figure o situazioni regolari 5

A ? ** ? ** ? ** B ? ** ? ! ** C 6

D F E 7

Ma veniamo alla matematica Secondo te, quali figure tra quelle che seguono sono poligoni regolari? 8

1 4 3 5 2 9

6 7 10 9 8 10

Nella vita quotidiana usiamo tranquillamente, senza conoscerne la , molti termini! In matematica, purtroppo ( o per fortuna?) non è così! E’ difficile che si riesca a dimostrare che un poligono è regolare se non si conosce la definizione di poligono regolare! definizione 11

Sei sicuro di ricordare la definizione corretta di poligono regolare ? 12

ECCOLA! DEFINIZIONE di un poligono piano con i lati e gli angoli uguali, ovvero sia equilatero sia equiangolo. POLIGONO REGOLARE: 13

che se sovrapposti gli estremi coincidono Cosa significa che due lati sono uguali ? che se sovrapposti gli estremi coincidono che hanno la stessa lunghezza che sono paralleli che hanno gli stessi estremi Cosa significa che due angoli sono uguali ? che sono simili che sono complementari che sono esattamente sovrapponibili che hanno la stessa ampiezza A B C D E F G H 14

ccidenti,. sempre problemi. di ccidenti, sempre problemi di ! Comunque aver risposto che due lati (segmenti) o due angoli sono uguali se sono sovrapponibili è stata sicuramente un’ottima risposta Ma non l’unica! A definizioni 15

Tornando ai poligoni regolari: esistono poligoni regolari di n lati, qualunque sia il numero naturale n, purché n sia  3. Infatti per ottenere un poligono regolare con n lati è sufficiente suddividere una circonferenza in n archi uguali, e poi collegare gli estremi. 16

Ma come è possibile suddividere una circonferenza in n parti uguali? 17

Con la riga e con il compasso? 1) Segna con una croce i poligoni regolari che ti ricordi di avere disegnato con riga e compasso durante la tua “lunga” carriera scolastica: quadrato 4 lati ettagono 7 lati esagono 6 lati ottagono 8 lati 2) Si possono costruire con riga e compasso tutti i poligoni regolari … o no? Brrr! A B C D SI NO 18

* si possono inscrivere * solo poligoni regolari? aPPProposito: Secondo te * in una circonferenza * si possono inscrivere * solo poligoni regolari? aPPProposito: aPPProposito: SI NO 19

?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?! Gli antichi Greci sapevano che una circonferenza può essere divisa con riga e compasso in 3, 5,15 archi uguali o in n archi uguali dove n è una potenza del 2 moltiplicata per 3, 5,15 come per esempio, 4=22 6=23 8=23 12=223 20=225 30=215 ... ?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!? 20

Ma avevano ancora molto da scoprire 21

la risoluzione completa al problema. FINALMENTE !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!! Dopo “poco più” di 1500 anni GAUSS (1777-1855) offre la risoluzione completa al problema. 22

Una circonferenza può essere divisa con riga e compasso: in 3, 5, 15, 257 … 4, 6, 8, 10 12 … parti uguali MA NON in 7, 11, 13, 14, 19, 22 ... parti uguali 23

Da dove arrivano tutti questi numeri? … Facciamo qualche conto: 220= 2 224 = 65536 221 = 4 225 = 4294967296 Fanne qualcuno tu! A: 222= ? B: 223 = ? 24

La regola di Gauss Affinché un poligono regolare di n lati sia costruibile con riga e compasso occorre che n sia: o un numero primo della forma 22h +1 (primi di Fermat)dove h è un numero naturale. Es. 220 +1=3, 221 +1=5, 222 +1=17, 223 +1=257, … Non tutti i numeri del tipo 22h+1 sono primi: … 225 +1 non è primo, è divisibile per 641! Non tutti i numeri primi sono del tipo 22h+1: … 11 non va bene, 13 neppure. 25

attenzione 18=2·3·3 non va bene PERCHÉ ? o una potenza di 2 eventualmente moltiplicata per numeri del tipo precedente non ripetuti. Es:4=22, 6=2·3, 8=23, 10=2·5, 12= 22 ·3, attenzione 18=2·3·3 non va bene PERCHÉ ? A: 18 non è primo B: 3 è ripetuto C: non è una potenza del 2 26

sappiamo già che se una circonferenza è divisa in n archi uguali (n>2), il poligono ottenuto congiungendo successivamente i punti di suddivisione è regolare n=6 MA è anche regolare il poligono i cui lati sono tangenti alla circonferenza in quei punti n=6 BUONO A SAPERSI 27

I poligoni nello spazio diventano POLIEDRI. E i poligoni regolari POLIEDRI REGOLARI 3D 28

Un poliedro è qualcosa di questo tipo: Conoscete, per caso, dei poliedri regolari ? SI NO 29

Prendi il foglio A ed usa gli occhialini alcuni ! Prendi il foglio A ed usa gli occhialini N.B: la lente verde deve essere appoggiata sull’occhio destro. ECCCONE 30

I poliedri regolari che vedi sono: Tetraedro CUBO Ottaedro 31 Icosaedro Dodecaedro

Ma CoS’ è un POLIEDRO REGOLARE? Sappiamo già che nel piano un poligono regolare è un poligono con i lati e gli angoli uguali. Potremmo allora pensare di formulare una definizione analoga nel seguente modo: un è un poliedro le cui facce sono poligoni regolari tutti uguali i cui angoli solidi sono anch’essi tutti uguali. poliedro regolare 32

Già, ma cos’è un. Lo sai. -No. Non importa, Già, ma cos’è un ? Lo sai? -No? Non importa, tanto non ci sogniamo di definirlo; già è difficile definire un angolo piano, figurati un angolo solido. angolo solido 33 E ALLORA ? NO Problem

Un poligono regolare si può sovrapporre a se stesso mediante un movimento rigido (che non deforma la figura) in modo da portare … un vertice qualsiasi su un qualsiasi altro vertice, oppure … un lato qualsiasi su un qualsiasi altro lato 1) 2) 34

Sostanzialmente: in un poligono regolare ogni vertice è indistinguibile da ogni altro vertice ogni lato è indistinguibile da ogni altro lato 35

Le proprietà 1-2 valgono solo per i poligoni. regolari Le proprietà 1-2 valgono solo per i poligoni regolari. Nota bene che devono valere entrambe le proprietà perché il poligono sia regolare. …Segna a fianco quali proprietà valgono per le seguenti figure geometriche piane: rettangolo (1) (2) rombo (1) (2) qua drato (1) (2) 36

… Dunque un poligono regolare è un poligono … Dunque un poligono regolare è un poligono che soddisfa le due proprietà precedenti. Un poliedro regolare si può sovrapporre a se stesso , mediante un movimento rigido (che non deforma la figura), in modo tale da portare: 1) un vertice qualsiasi su un qualsiasi altro vertice, o 2) uno spigolo qualsiasi su un qualsiasi altro spigolo, o 3) una faccia qualsiasi su una qualsiasi altra faccia idea 37

ogni vertice è indistinguibile da ogni altro vertice Sostanzialmente: in un poliedro regolare ogni vertice è indistinguibile da ogni altro vertice ogni lato è indistinguibile da ogni altro lato ogni faccia è indistinguibile da ogni altra faccia idea 38

I poligoni regolari sono infiniti … Come sappiamo ? ? Come sappiamo: I poligoni regolari sono infiniti … MA i poliedri regolari? ? - NO - 39

Esistono solo 5 tipi di poliedri regolari detti: SOLIDI PLATONICI (perché già Platone li conosceva bene) Sono proprio i 5 tipi che hai visto con gli occhialini! Magari merita rivederli! 40

inscrivibili / circoscrivibili in / ad una circonferenza I poligoni regolari sono sempre inscrivibili / circoscrivibili in / ad una circonferenza I poliedri regolari sono sempre inscrivibili / circoscrivibili in / ad una ... ... una SFERA 41

Visto che sono così pochi vediamo anche i Poliedri semiregolari o poliedri archimedei Foglio B + occhialini 42

1) ogni vertice può essere trasformato in un altro qualsiasi vertice, Definizione: un poliedro è se semiregolare 1) ogni vertice può essere trasformato in un altro qualsiasi vertice, con un movimemto rigido 2) tutti gli spigoli sono uguali CONCRETAMENTE: In un poliedro semiregolare le facce sono poligoni regolari ma non tutti uguali 43

III secolo a.C., I secolo d.C. I secolo a.C., III secolo d.C. Platone, Archimede, sai quando sono vissuti? III secolo a.C., I secolo d.C. I secolo a.C., III secolo d.C. A III secolo a.C. entrambi B V secolo a.C., III secolo a.C. C V secolo a.C. entrambi D 44 E

. . È possibile definire gli iperpoliedri o polítopi regolari in uno spazio di dimensione qualsiasi!!! Ebbene nello spazio di dimensione 4 esistono 6 tipi di iperpoliedri regolari (tra questi il famoso ipercubo). Ma dalla dimensione 5 in poi esistono solo più 3 tipi! Si tratta dei tre iperpoliedri che corrispondono al tetraedro, al cubo ed all’ottaedro. In dimensione 4, come abbiamo già detto, esistono altri tre tipi di iperpoliedri che hanno rispettivamente 24, 120, 600 vertici ! 4 5 D D 4D 5D ... Incredibile MA vero! Spazio + n 45

L’ipertetraedro, l’ipercubo in dimensione 4 hanno rispettivamente 5 D D 4D 5D L’ipertetraedro, l’ipercubo in dimensione 4 hanno rispettivamente 5, 16 vertici e 5, 8 facce tridimensionali. Cerchiamo di capire come sono fatti. ... Incredibile MA vero! Spazio + n 46

Per capire meglio, partiamo dal tetraedro e dal cubo di dimensione 3. Ecco le loro proiezioni sul piano: tetraedro cubo le facce sono rispettivamente 4 triangoli equilateri e 6 quadrati. Una delle facce la vedi colorata 47

Ecco le proiezioni sul piano dell’ipertetraedro e dell’ ipercubo di dimensione 4 48

Una delle facce la vedi colorata Le facce tridimensionali dell’ipertetraedro sono 5 tetraedri, quelle dell’ ipercubo sono 8 cubi. Una delle facce la vedi colorata 49

Sai trovare le altre facce? ARRIVEDERCI