Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a. 2012-2013 Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 8

Per poter applicare i modelli MA, AR e ARMA alle serie storiche reali è utile analizzarne le caratteristiche. In particolare dobbiamo verificare quando tali strutture sono coerenti con le ipotesi di stazionarietà e invertibilità e con quali strutture di dipendenza lineare sono compatibili.

QUALI CARATTERISTICHE HA UN MODELLO MA(1) ? (B) = 1 - 1B Zt = ( 1 - 1B )at at  WN(0, 2a) Zt = at - 1at-1 Con la costante il modello diviene più generale: Zt = c+ at - 1at-1 QUALI CARATTERISTICHE HA UN MODELLO MA(1) ? è stazionario? è invertibile?

MEDIA MOMENTI DI UN MA(1)  = E(Zt)= E(c+ at - 1at-1) = E(c) + E(at) – E(1at-1) = c + 0 – 1 0 = c La costante coincide con il valore atteso. La media non dipende da t.

VARIANZA Var (Zt ) = E(Zt -  )2= E(Zt - c )2 = E(at - 1at-1 ) 2 = E(a2t + 21a 2t-1 – 21at at-1 ) = E(a2t )+ 21 E(a 2t-1) – 21E(at at-1 ) = 2a + 21 2a – 210 = 2a (1+ 21 ) La varianza non dipende da t . N.B. : 1) Zt = c+ at - 1at-1 Zt – c = at - 1at-1 2) E(a2t ) = E(a 2t-1) = 2a 3) E(at at-1 )=0 perché at è incorrelato

AUTOCOVARIANZA AL LAG 1  1 = acov(Zt , Zt-1 ) = E(Zt -  )(Zt-1 - )= E(Zt - c ) )(Zt-1 - c) = E(at - 1at-1 ) (at-1 - 1at-2 ) = E(at at-1 - 1a 2t-1 – 1at at-2 + 21at-1at-2 ) = E(at at-1 )- 1 E(a 2t-1) – 1E(at at-2 )+21E(at-1 at-2 ) = 0 - 1 2a – 10 + 210 = - 1 2a L’autocovarianza non dipende da t, ma solo dal parametro 1 e dalla varianza di at N.B. : Zt – c = at - 1at-1 Zt-1 – c = at-1 - 1at-2

AUTOCORRELAZIONE AL LAG 1 1 =  1 /  0 = [- 1 2a ] / [2a (1+ 21 ) ] = - 1 / (1+ 21 ) L’ autocorrelazione non dipende da t, ma solo dal parametro 1 .

AUTOCOVARIANZA AL LAG 2  2 = acov(Zt , Zt-2 ) = E(Zt -  )(Zt-2 - )= = E(Zt - c ) )(Zt-2 - c) = E(at - 1at-1 ) (at-2 - 1at-3 ) = E(at at-2 – 1a t-1 at-2– 1at at-3 + 21 at-1at-3 ) = E(at at-1 )- 1 E(a t-1 at-2) – 1E(at at-3 ) + 21 E(at-1 at-3 ) = 0 – 10 – 10 + 210 = 0 In generale, l’autocovarianza (autocorrelazione) sarà nulla per k > 1 . Anche questa autocovarianza non dipende da t Nell’MA(1) il valore dell’autocovarianza dipende dal lag k e non da t.

CORRELOGRAMMA DI UN MA(1) Il correlogramma di un MA(1) ha due soli andamenti possibili 1>0 1 <0

AUTOCORRELAZIONE PARZIALE Il correlogramma di un MA(1) ha due soli andamenti possibili: in entrambi i casi decade a 0 in termini esponenziali 1>0 1 <0

In conclusione: Il modello MA(1) è coerente con l’ipotesi di stazionarietà: Media, varianza, autocovarianza e autocorrelazione non dipendono dal tempo Le funzioni di autocovarianza e di autocorrelazione dipendono da k e, in particolare, si troncano per k > 1

INVERTIBILITÀ DI UN MA(1) Zt = c+ at - 1at-1 at  WN(0, 2a) Invertibilità richiede di poter riscrivere Zt in funzione del suo passato e di at Zt = at - 1at-1  at = Zt + 1at-1  at-1 = Zt-1 + 1at-2 at-2 = Zt-2 + 1at-3 ecc. Ne segue: Zt = at - 1(Zt-1 + 1at-2) = at - 1Zt-1 - 21 at-2 = at - 1Zt-1 - 21 (Zt-2 + 1at-3) = at - 1Zt-1 - 21 Zt-2 - 31at-3 = … = - 1Zt-1 - 21 Zt-2 - … - h1at-h Per ||<1 il termine h1at-h tende a 0 per h   e Zt risulta invertibile. N.B.: un modello MA(1) invertibile può essere scritto come un modello AR()

INVERTIBILITÀ DI UN MA(1) Consideriamo i due modelli Zt = c+ at - 1at-1 e Zt = c+ at – (1/1) at-1 Essi hanno la stessa funzione di autocorrelazione. Quindi, nei modelli MA(1) non c’è corrispondenza biunivoca tra modello e funzione di autocorrelazione. Tuttavia: tra i due modelli, uno solo è invertibile. Infatti, se |1|<1 si avrà |1/1|>1, e viceversa. Per i modelli MA(1) invertibili c’è corrispondenza biunivoca tra modello e funzione di autocorrelazione.

CONDIZIONE DI INVERTIBILITÀ La condizione di invertibilità di un MA(1) può essere espressa su 1 oppure sulla radice del polinomio caratteristico (B) = 1 - 1B 1 - 1B = 0  B = 1/1 Ne segue: |1|< 1  |B| > 1 Nei modelli di ordine superiore a 1 la condizione di invertibilità viene SEMPRE espressa sulle radici del polinomio caratteristico.

MODELLO MA(q) Zt = ( 1 - 1B - … - qBq )at at  WN(0, 2a) Sempre stazionario Invertibile se le radici del polinomio caratteristico (B)= 1 - 1B - … - qBq sono in modulo maggiori di 1 La f.a.c. si tronca per k>q La f.a.c.p. non si annulla mai ma tende velocemente a 0 Se le condizioni di invertibilità sono soddisfatte MA(q)  AR()