LA SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI IN FATTORI Profssa Porretti

Che cos'è la scomposizione? MA A COSA SERVE LA SCOMPOSIZIONE? SCOMPORRE UN POLINOMIO IN FATTORI SIGNIFICA ESPRIMERLO SOTTO FORMA DI PRODOTTO DI POLINOMI DI GRADO INFERIORE MA A COSA SERVE LA SCOMPOSIZIONE?

RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE Il raccoglimento a fattor comune si applica quando esiste un fattore comune a tutti i termini del polinomio. ESEMPI: ax + bx + cx + dx = x (a + b + c + d) 6x³y4 + 3x4y – 12x²y5 = 3x²y (2xy³ + x² - 4y4)

IL RACCOGLIMENTO PARZIALE Il raccoglimento parziale consiste nel raggruppare a due a due, o a tre a tre, i termini del polinomio in modo da trovare due fattori uguali da raccogliere ancora. ES.: ax + ay + bx + by = a(x+y)+b(x+y) = (x+y)(a+b)

Esempio: x4y2-4x2yz3+4z6 = (x2y-2z3)2 Quadrato di un binomio Il quadrato di un binomio è uguale alla somma del quadrato del primo termine, del quadrato del secondo termine e del doppio prodotto del primo termine per il secondo. (a + b)²= a²+ b²+ 2ab Nel polinomio da scomporre si dovrà riconoscere il quadrato del primo termine, il quadrato del secondo termine e il doppio prodotto del primo per il secondo. Esempio: x4y2-4x2yz3+4z6 = (x2y-2z3)2

Il quadrato di un trinomio Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma del quadrato del primo termine, del quadrato del secondo, del quadrato del terzo, del doppio prodotto del primo termine per il secondo, del doppio prodotto del secondo termine per il terzo e del doppio prodotto del primo per il terzo termine. (a+b+c)²= a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac Anche in questo caso, dato il polinomio, si dovranno riconoscere nei suoi termini, se ciò è possibile, i singoli elementi del quadrato di un trinomio. Esempio: (x6+y8+ z2-2 x3 y4+ 2 x3 z- 2 y4z) = (x3-y4+ z)2

DIFFERENZA DI DUE QUADRATI (a²-ab+ab-b²) e cioè: a²-b² La differenza di due quadrati è uguale alla somma delle loro basi per la loro differenza. a²-b² = (a+b)(a-b) Moltiplicando (a+b) per (a-b) possiamo verificare l’esattezza di questa regola. (a²-ab+ab-b²) e cioè: a²-b²

(a+b)³= a³+b³+3a²b+3ab² Il cubo di un binomio Il cubo di un binomio è uguale alla somma del cubo del primo termine, del cubo del secondo termine, del triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo termine e del triplo prodotto del quadrato del secondo termine per il primo termine. (a+b)³= a³+b³+3a²b+3ab² infatti: (a+b)3 = (a+b)²(a+b) = (a²+b²+2ab)(a+b) = = (a³+a²b+ab²+b³+2a²b+2ab²) = a³+b³+3a²b+3ab²

Esempio: x6-8y3-6x4y+12x2y2 = (x2-2y)3 Il cubo di un binomio Dovendo scomporre un polinomio, si dovranno individuare tra i suoi termini, se possibile, gli elementi che compongono il cubo di un binomio. Esempio: x6-8y3-6x4y+12x2y2 = (x2-2y)3

Somma di cubi a3+b3 Si ha la seguente regola: a³+b³ = (a+b) (a²-ab+b²) Si può verificare l’esattezza di questa uguaglianza moltiplicando (a+b) per (a²-ab +b²) Si otterrà: (a³-a²b + ab²+a²b - ab²+ b³) cioè: a3+b3

DIFFERENZA DI CUBI a3-b3 Si applica la seguente formula: a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²) Questa regola può essere verificata moltiplicando (a-b) per (a²+ab+b²) Si otterrà il seguente polinomio: (a³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³) e cioè: a3-b3

IL TRINOMIO PARTICOLARE Un altro tipo di scomposizione è quella del trinomio particolare di secondo grado del tipo ax²+bx+c. Se a=1 basta trovare due numeri che sommati diano come risultato b e moltiplicati diano come risultato c. Esempio: x²+5x+6=(x+2)(x+3) In questo caso è possibile effettuare questo tipo di scomposizione in quanto 3 più 2 dà come risultato 5 (il coefficiente di x) e 3 moltiplicato per 2 dà come risultato il termine noto.

2x²+5x+3 = 2x²+2x+3x+3 =2x(x+1)+3(x+1) = (x+1)(2x+3) IL TRINOMIO PARTICOLARE Se a è diverso da 1 la scomposizione è più complessa e conviene, se è possibile, ricorrere al raccoglimento parziale, dopo aver espresso il temine bx come somma (o differenza) di due termini scelti opportunamente. Ad esempio: 2x²+5x+3 = 2x²+2x+3x+3 =2x(x+1)+3(x+1) = (x+1)(2x+3) Altrimenti si può ricorrere alla Applicazione della formula risolutiva

Scomposizione del trinomio di secondo grado con la formula risolutiva a(x-x1)(x-x2) ax²+bx+c =

x³-4x²+x+6 =(x+1)(x²-5x+6) Regola di Ruffini Applicando la regola di Ruffini si effettua la divisione di un polinomio per un binomio del tipo (x-a). Se si ottiene resto 0 significa che il polinomio è divisibile per (x-a) Come si ottiene ‘a’? Come si può calcolare il resto prima di applicare la regola di Ruffini? E’ stato perciò possibile ottenere la seguente scomposizione: x³-4x²+x+6 =(x+1)(x²-5x+6) 1 -4 1 6 -1 -1 5 -6 1 -5 6 0

TEOREMA DEL RESTO Con il teorema del resto siamo in grado di capire se un polinomio dato è divisibile per il binomio (x-a). Ciò è possibile sostituendo la “a” alla x nel polinomio dato: il risultato che si ottiene è il resto della divisione del polinomio per il binomio (x-a). Se il resto è = 0 il polinomio è divisibile per (x-a). Possiamo verificare l’esattezza di questa teorema applicandolo al polinomio della precedente diapositiva. Sostituendo -1 a x nel polinomio x³-4x²+x+6 otteniamo: -1-4-1+6 = 0

A CHE COSA SERVE LA SCOMPOSIZIONE? La scomposizione serve a risolvere le equazioni di grado superiore al secondo trasformandole, mediante la legge di annullamento del prodotto, in equazioni di primo e di secondo grado. Serve inoltre a determinare il minimo denominatore comune di una somma di frazioni algebriche .

COME SI TROVA 'a'? Se il polinomio ha coefficienti interi, il valore di ‘a’ può essere trovato tra i divisori del termine noto divisi per i divisori del primo coefficiente. ESEMPIO: Affinché il polinomio: -6X4-19X3+21X2+76X+12 sia divisibile per (x-a) i possibili valori di a sono i seguenti, cioè i divisori del termine noto: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12

Esempio: LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO a*b=0 a=0  b=0 La legge di annullamento del prodotto dice che un prodotto è uguale a zero se e solo se uno dei fattori è uguale a zero. a*b=0 a=0  b=0 Esempio: Da (3x-2)(2x+1)=0 si ricava : x= -1/2  x=2/3 e viceversa

FINE Profssa Porretti