Claudio Arbib Università di L’Aquila Ricerca Operativa Esercitazione VII Un viaggio in autostrada

Lo scenario Il dottor Strangelove vive a Roma e insegna a l’Aquila, e per questo motivo viaggia periodicamente tra le due città. Normalmente il tragitto viene percorso con i colleghi in automobile lungo quella che un tempo si chiamava A24 (oggi, più pomposamente, “Autostrada dei Parchi”: del resto la società che la gestisce, un tempo banalmente denominata Società Autostrade, ora si chiama “Autostrade per l’Italia” – manco fosse un partito politico). Tra una chiacchiera e l’altra, per passare il tempo, il prof si pone il problema di ridurre i consumi di carburante. Questi dipendono da vari fattori, tra cui: le pendenze superate le velocità mantenute durante il viaggio.

Profilo altimetrico Tra Roma GRA e l’Aquila Ovest la A24 presenta il seguente profilo altimetrico Roma GRA Tivoli Castel Madama Vicovaro Carsoli Torano Tornimparte Tagliacozzo L’Aquila Ovest 14,6 11,9 9,0 17,4 10,2 11,2 12,8 15,4 60 130 300 580 800 700 1100 750

Ottimizzare i consumi Il dottor Strangelove ha messo a punto una formula empirica che lega il consumo c della propria vettura (litri di benzina ogni 100 km) alla velocità mantenuta u (km/ora) e alla pendenza superata p (%): 100 c(u, p) =  u 100 – p Il problema da risolvere può formularsi come segue: dividere il tragitto in tratte opportune e assegnare a ciascuna tratta una velocità in modo da minimizzare la quantità di carburante consumata per arrivare a destinazione entro un tempo dato T

Ottimizzare i consumi Tramite un foglio di calcolo è facilissimo individuare tratte di pendenza più o meno costante

Ottimizzare i consumi Tramite un foglio di calcolo è facilissimo individuare tratte di pendenza più o meno costante e calcolare il relativo consumo velocità

Ottimizzare i consumi Tramite un foglio di calcolo è facilissimo individuare tratte di pendenza più o meno costante e calcolare il tempo impiegato a percorrerle velocità

Ottimizzare i consumi Una soluzione del problema corrisponde a un assegnamento di velocità a tratte. 61,9 minuti A ogni assegnamento corrisponde un tempo di viaggio velocità

Ottimizzare i consumi Una soluzione del problema corrisponde a un assegnamento di velocità a tratte. 11,5 litri A ogni assegnamento corrisponde un consumo velocità

Formulazione Consideriamo un grafo bipartito completo G = (U, V, E) dove U è l’insieme delle velocità ammissibili e V quello delle tratte Roma GRA – Tivoli Tivoli – Castel Madama Castel Madama – Vicovaro Vicovaro – Carsoli Carsoli – Tagliacozzo Tagliacozzo – Torano Torano – Tornimparte Tornimparte – L’Aquila Ovest 90 100 110 120 130

Formulazione Ogni insieme di archi che rappresenti un assegnamento di tratte a velocità ha due pesi: tempo e consumo 61,9 < T 11,5 = min Roma GRA – Tivoli Tivoli – Castel Madama Castel Madama – Vicovaro Vicovaro – Carsoli Carsoli – Tagliacozzo Tagliacozzo – Torano Torano – Tornimparte Tornimparte – L’Aquila Ovest 90 100 110 120 130

Formulazione uU xuv = 1 vV (ogni tratta va percorsa) Sia xuv una variabile di decisione binaria: xuv = 1 se si percorre il tratto v a velocità u xuv = 0 altrimenti Si indichino inoltre con cuv e con tuv i pesi corrispondenti (consumo e tempo). Il problema si formula come segue: min uU vV cuvxuv (consumo complessivo) uU vV tuvxuv < T (rispetto dei tempi) uU xuv = 1 vV (ogni tratta va percorsa) 0 < xuv < 1, intero