IL CALCOLO COMBINATORIO Il calcolo combinatorio ha come obiettivo il calcolo dei vari modi con i quali possono essere associati gli elementi di due o più insiemi o di uno stesso insieme, dopo aver prefissato delle regole precise. I raggruppamenti possono essere fatti in diversi modi: a volte bisogna tener conto dell’ordine con il quale gli elementi vengono scelti, a volte bisogna tener conto della natura degli elementi, altre volte invece interessa sia la natura che l’ordine degli elementi. GLI ARGOMENTI TRATTATI DAL CALCOLO COMBINATORIO

ARGOMENTI TRATTATI DAL CALCOLO COMBINATORIO DISPOSIZIONI PERMUTAZIONI COMBINAZIONI PROPRIETA’ DEI COEFFICIENTI BINOMIALI SVILUPPO DELLA POTENZA DI UN BINOMIO CRITERIO DI SCELTA TRA I DIVERSI ALLINEAMENTI DEL CALCOLO COMBINATORIO

DISPOSIZIONI Dato un insieme A di n elementi,si definiscono disposizioni di classe k quei raggruppamenti di k elementi che vengono scelti fra gli elementi dell’insieme A. n rappresenta il numero totale degli elementi, mentre k rappresenta la classe, cioè il numero di elementi di ciascun raggruppamento. Ogni raggruppamento differisce dagli altri o per natura (A diverso B) o per l’ordine (AB diverso da BA) degli elementi. Le disposizioni possono essere semplici o con ripetizione; Per avere la visione dei raggruppamenti si utilizza il diagramma ad albero. Con esso i raggruppamenti si leggono da sinistra verso destra, o dall’alto verso il basso. Nei diagrammi ad albero ci sono dei nodi; ogni nodo si può diramare. I risultati si leggono sui rami. home

DISPOSIZIONI SEMPLICI Si dicono disposizioni semplici quei raggruppamenti di elementi distinti tra di loro. Si indicano con D n,k D n,k = è uguale al prodotto di k fattori interi decrescenti a partire da n.Esempio: D 4,2 = 4*3=12. Si usano solo due fattori perché k è uguale a 2. Se k fosse stato 3 si sarebbe fatto 4*3*2. Se si hanno quattro elementi: A,B,C,D, quante sigle di due elementi si possono formare? A B C D b c d a c d a b d a b c ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc Torna all’argomento home

DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE Si dicono disposizioni con ripetizioni quei raggruppamenti di elementi che compaiono più di una volta. E si indicano con D’n,k . D’n,k = è la potenza di n elementi elevati a k. Esempio: D’4,2 =4^2=16 Se si hanno quattro elementi:A,B,C,D quante sigle di due elementi si possono formare?(ricordandosi che si ripetono) A B C D a b c d a b c d a b c d a b c d aa ab ac ba ad bb bd bc ca cb cc cd db da dc dd Torna all’argomento home

PERMUTAZIONI Dato un insieme A di n elementi, si definiscono permutazioni di n elementi (diversi fra loro) i raggruppamenti formati dagli n elementi presi in un ordine qualsiasi. I raggruppamenti contengono tutti gli elementi dell’insieme e ogni raggruppamento differisce dagli altri soltanto per l’ordine degli elementi. Le permutazioni possono essere semplici o con ripetizione. Anche questi raggruppamenti possono essere rappresentati con i diagrammi ad albero. La permutazione si può pensare come una disposizione di n elementi di classe n. home

PERMUTAZIONI SEMPLICI Le permutazioni semplici si indicano con Pn = n!, dove il ! rappresenta il fattoriale, cioè si pone: Un semplice esempio sulle permutazioni è dato dagli anagrammi,anche senza significato, che si possono ottenere partendo da una parola qualsiasi. Ad esempio gli anagrammi della parola “ROMA” sono dati dalle permutazioni di 4 elementi, quindi si avrà: Torna all’argomento home

PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE Data una parola di n lettere nella quale una lettera è ripetuta a volte, un’altra b volte il numero delle permutazioni distinte con elementi ripetuti si possono ottenere risulta: Ad esempio gli anagrammi distinti della parola MAMMA sono: Torna all’argomento home

COMBINAZIONI Dato un insieme A di n elementi, si definiscono combinazioni degli n elementi di classe k i raggruppamenti di k elementi tali che ogni raggruppamento differisca dagli altri solo per la natura degli elementi ( senza considerare quindi l’ordine degli elementi). Le combinazioni possono essere semplici o con ripetizione. I raggruppamenti si possono indicare anche con . Questo simbolo è detto coefficiente binomiale per il suo uso nello sviluppo delle potenze di un binomio home

COMBINAZIONI SEMPLICI Le combinazioni semplici si indicano con: Esempio: Le combinazioni semplici si usano quando gli elementi dei raggruppamenti non si ripetono e sono distinti fra di loro Torna all’argomento home

COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE Le combinazioni con ripetizione si indicano con: k Le combinazioni con ripetizione si usano quando gli elementi dei raggruppamenti si ripetono. Esempio: Torna all’argomento home

PROPRIETA’ DEI COEFFICIENTI BINOMIALI 1) La legge dei tre fattoriali Si utilizza quando si ha a disposizione la calcolatrice n 2) Proprietà simmetrica n 3) Queste due proprietà rappresentano due sottoproprietà della prima home

SVILUPPO DELLA POTENZA DI UN BINOMIO Come applicazione dei coefficienti binomiali, calcoliamo La prima lettera decresce, la seconda cresce . I coefficienti dei monomi rappresentano i numeri che si ottengono dal triangolo di tartaglia del numero 5. 5 10 1 10 5 1 home avanti

Sviluppo della potenza di un binomio parte 2 Alla fine si ottiene: Polinomi di questo tipo hanno varie proprietà: 1) sono ordinati secondo le potenze decrescenti in a e crescenti in b. 2) Sono composti da n+1 termini. 3) Sono omogenei, cioè ogni monomio è dello stesso grado. 4) Sono completi, cioè ogni polinomio è presente con ogni grado. Lo sviluppo della potenza di un binomio si esprime in generale con la formula di Newton: indietro

CRITERIO DI SCELTA FRA I DIVERSI ALLINEAMENTI DEL CALCOLO COMBINATORIO DISPOSIZIONI: Ogni raggruppamento differisce dagli altri o per natura (A diverso da B) o per l’ordine (AB diverso da BA) degli elementi. PERMUTAZIONI: Ogni raggruppamento differisce dagli altri soltanto per l’ordine degli elementi (AB diverso da BA). COMBINAZIONI: Ogni raggruppamento differisce dagli altri soltanto per la natura degli elementi (A diverso da B). home

A CURA DI: BAGGI MARCO PALLOTTA VALENTINA CLASSE 4Ai