I primi insiemi che si incontrano in matematica sono quelli dei numeri;  daremo qui una breve descrizione dei principali insiemi numerici, delle loro operazioni e delle loro proprietà.

  I NUMERI NATURALI Il primo insieme che  prenderemo in esame è  l’ insieme dei numeri naturali. Esso si indica con la lettera N  e i suoi elementi sono i numeri interi positivi, i primi numeri,  storicamente, ad essere stati usati dall'umanità:                                                 N = { 0, 1 , 2 , 3 , 4 . . . . .} Naturalmente gli elementi di N :   1 , 2 , 3 , 4 . . .   sono infiniti. In molti testi nell’insieme dei numeri naturali non viene considerato anche lo 0, la notazione utilizzata diventa: N0 = {1 , 2 , 3 , 4 , 5…….}

Somma e prodotto Le operazioni elementari che risultano ben definite nell’ insieme dei numeri naturali sono l’operazione di addizione  (o somma) e quella di moltiplicazione (o prodotto). a+b=c ab =f Considereremo l’ operazione di addizione come nota; la moltiplicazione viene definita come una addizione ripetuta:  eseguire il prodotto a ·b significa fare: ab =  a +  a  +  a  + ... + a   (b  volte) =   b +  b  + ...  + b   (a  volte).

Proprietà della somma L’ operazione di addizione gode delle seguenti proprietà: 1)  proprietà commutativa della somma:  Per qualsiasi  a,b є N: a+b=b+a . 2) proprietà associativa della somma:   Per qualsiasi  a,b,c є N: (a+b)+c=(c+a)+b . 3)  esistenza dell’ elemento neutro per la somma: l'elemento neutro per l'addizione è lo 0, infatti per esso vale:                  per qualsiasi  a є N:     a + 0 = 0 + a = a .

Proprietà del prodotto L’ operazione di moltiplicazione gode di proprietà analoghe: 4) proprietà commutativa del prodotto: per qualsiasi a,b є N: a·b=b·a 5) proprietà associativa del prodotto: per qualsiasi a,b,c є N: (a · b) ·c=(c·a) ·b 6) esistenza dell’ elemento neutro: l'elemento neutro per la moltiplicazione è il numero 1, infatti per esso vale: per qualsiasi a є N: a · 1 = 1 · a = a. 7) esistenza dell’ elemento annullatore: l'elemento annullatore per la moltiplicazione è il numero 0, infatti vale: per qualsiasi a є N: a · 0 = 0 · a = 0. (legge di annullamento del prodotto)

Inoltre è valida la seguente proprietà che lega somma e prodotto: 8) proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: (a+b)c = ac + bc.

Terminologia Si dice che l’insieme N è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione per indicare che queste sono effettivamente operazioni su N, cioè sempre eseguibili per qualsiasi a,b є N . Se abbiamo a+b=c allora gli elementi generici a e b vengono detti addendi mentre c prende il nome di somma. Invece nella moltiplicazione a·b=d a e b vengono detti fattori ed il risultato d è detto prodotto.

Sottrazione e divisione Le operazioni di sottrazione e di divisione nell’ insieme dei numeri naturali non sono sempre possibili.  La sottrazione di due numeri naturali (quando esiste) corrisponde all'operazione inversa della somma: Definizione:  Dati due numeri naturali  n, m є N ,  si dice  n - m quel numero naturale  x, se esiste, che sommato ad  m dia n. Cioè :    n - m = x   se e solo se   n = m + x . Si vede facilmente  che n deve essere maggiore di m per poter svolgere l’operazione di sottrazione (cioè perché  x esista). 

In modo analogo alla sottrazione si definisce la divisione: Definizione:  Dati due numeri naturali  n, m є N ,  si dice  n : m quel numero naturale x, se esiste ed è unico, che moltiplicato per  m dia n.  Cioè :    n : m = x  se   n = m·x Anche per la divisione è  immediato constatare che  x non esiste sempre, ma se e solo se  n è  un multiplo di m  (cioè se  esiste  k є N , tale che  n = km), quindi l'operazione di divisione è eseguibile solo sulle coppie  n,m є N   tali che  n = km . Inoltre si può notare che non si potrà mai dividere per 0, infatti per avere  ad esempio  8 : 0 = x  si dovrebbe avere    8 = 0·x, il che è falso qualunque sia x. Non si può neanche fare  0 : 0  in quanto tale operazione risulterebbe indeterminata, poichè per ogni numero naturale x si ha:  0 = 0·x=x·0  cioè  x non sarebbe unico, mentre nella definizione si chiede che x esista e sia unico.

Proprietà della sottrazione e della divisione L’operazione di sottrazione gode della proprietà invariantiva: per qualsiasi a,b,c є N: (a - b) = (a + c) -(b + c) oppure (a - b) = (a - c) - (b - c) L’operazione di divisione gode della proprietà invariantiva: per qualsiasi a,b,c є N: (a : b) = (a · c) : (b · c) oppure (a : b) = (a : c) : (b : c) distributiva: per qualsiasi a,b,c є N: (a + b) : c = (a : c) + (b : c) oppure (a - b) : c = (a : c) - (b : c)

Terminologia Se abbiamo la sottrazione a-b=c allora  a prende il nome di minuendo e b di sottraendo mentre c viene detto differenza. Invece nella divisione     a:b=d (con b diverso da 0) a è il dividendo, b il divisore e d il quoto (quoziente esatto), a viene detto multiplo di b mentre b divisore di a.

L'elevamento a potenza Procedendo in modo analogo a come abbiamo definito la moltiplicazione a partire dalla somma, si può definire su N, ma ad esclusione dello 0, l'operazione di elevamento a potenza : per qualsiasi n,m є N: con n e m diversi da 0, si pone nm = n · n ... n (m volte) . Questa volta però non abbiamo proprietà analoghe alle precedenti (per esempio questa operazione non è né associativa né commutativa, ad esempio: 32 e 23 sono diversi) .

Proprietà delle potenze Proprietà notevoli della elevazione a potenza sono: p1) Per qualsiasi n,m є N : (n·m)t = nt·mt p2) Per qualsiasi n,m є N: n(m+t) = nm·nt p3) Per qualsiasi n,m є N : n(mt) = (nm)t Esempi: 511 = 5 (4+7) = 54 ·57 ; 3(2·2) = (32)2 = 92 = 81. p4) Per qualsiasi n,m є N : (n : m)t = nt : mt p5) Per qualsiasi n,m є N: n(m - t) = nm : nt

Per quanto detto nm è a questo modo definito solo se m non è 0 (cosa vorrebbe dire moltiplicare n per se stesso "0 volte"?). La proprietà p5) ci pone allora un piccolo problema: m-t ha senso anche quando m= t ? In questo caso si avrebbe: n(m - t) = n0 = nm : nt = nm : nm = 1 mentre avevamo detto che n0 non era definito. Quello che possiamo fare allora è di estendere la definizione precedente di elevamento a potenza, in modo da conservare vere le proprietà p1) - p5) anche in questo caso, ponendo : Per qualsiasi n є N, se n non è 0, si ha : n0 = 1 Sottolineiamo che resta invece privo di senso elevare 0 alla 0: il simbolo 00 non rappresenta nessun numero!