Costruibilità di un quadrilatero I quadrilateri Il quadrilatero è il più comune tra i poligoni ed è presente nelle forme e negli oggetti che ci circondano. Costruibilità di un quadrilatero DOMANDA

Attività didattica: Costruiamo dei quadrilateri con cartoncino e graffette a farfalla e facciamo notare che i quadrilateri sono figure deformabili rispetto ai triangoli. Domande: Quanti vertici hanno? Quanti lati hanno? Quanti angoli hanno? Quante diagonali hanno? I lati, gli angoli e i vertici sono in ugual numero? Definizione: Un poligono con quattro lati e quattro angoli si dice quadrilatero.

Possiamo notare che il quadrilatero può essere visto come la somma di due triangoli: La somma degli angoli interni di un quadrilatero è sempre 360°. Osservazione

Il trapezio Osserviamo questi oggetti ed individuiamo tra essi i trapezi presenti: Definizione: Il trapezio è un quadrilatero particolare avente 2 lati paralleli; se gli altri due non sono paralleli si dicono lati obliqui.

Possiamo notare che le rette r ed r’, parallele tra loro, se tagliate da due trasversali s ed s’, formano coppie di angoli coniugati interni che sono supplementari. I trapezi possono essere classificati in tre categorie: isoscele scaleno rettangolo Trapezio scaleno Non gode di particolari proprietà; i lati obliqui non sono congruenti

Trapezio rettangolo I lati obliqui non sono congruenti ed uno di essi è perpendicolare alle basi Trapezio isoscele Il trapezio isoscele ha i lati obliqui congruenti

DOMANDA Cosa si può dedurre? Attività didattica: Creiamo, con cartoncino e forbici, un trapezio isoscele e disegniamo la perpendicolare alle due basi passante per i punti medi. Procediamo come in figura: Ripiegando il cartoncino lungo la perpendicolare MN, notiamo che le due parti coincidono. DOMANDA Cosa si può dedurre? Riutilizziamo il trapezio precedente e disegniamo le due perpendicolari AH e DK. Come prima ripieghiamo il cartoncino lungo la perpendicolare MN.

DOMANDA Cosa si può dedurre? Adesso creiamo un altro trapezio, in carta velina, uguale al primo e tracciamo le diagonali come in figura. Ribaltando orizzontalmente il secondo trapezio e sovrapponendolo sul primo, notiamo che le diagonali coincidono

Le diagonali di un trapezio isoscele sono congruenti DOMANDA Le diagonali di un trapezio isoscele sono congruenti Cosa si può dedurre? OSSERVAZIONE: Possiamo osservare che un trapezio rettangolo, isoscele o scaleno, può essere ottenuto tagliando un triangolo rispettivamente rettangolo, isoscele o scaleno con una retta parallela alla base:

Il parallelogramma Definizione: Si dice parallelogramma un quadrilatero avente i lati opposti a due a e paralleli. Ovviamente il parallelogramma possiede le proprietà dei trapezi a cui si aggiungono le seguenti: 1. In un parallelogramma gli angoli opposti sono congruenti sono angoli coniugati interni rispetto a coppie di rette parallele tagliate da una trasversale e quindi supplementari

2. In un parallelogramma i lati opposti sono congruenti Consideriamo un parallelogramma e la sua diagonale AC: questa lo divide in due triangoli che sono congruenti per il III criterio di congruenza dei triangoli. Come conseguenza possiamo dire che gli angoli B e D sono congruenti. Se consideriamo la diagonale BD, faremmo le stesse deduzioni per cui otterremmo che anche gli angoli A e C sono congruenti.

3. In un parallelogramma le diagonali si incontrano in un punto che le divide in due parti congruenti (punto medio) Consideriamo il parallelogramma ABCD e le sue diagonali: notiamo che si incontrano in un punto O. Tagliamo il parallelogramma in due triangoli secondo la diagonale AC. I due triangoli ACD e ABC sono congruenti per il primo criterio, quindi posso sovrapporli facendoli coincidere perfettamente. Osserviamo quindi che: OB = OD. La stessa considerazione possiamo farla tagliando il parallelogramma lungo la diagonale DB constatando ancora che: ADB = DBC per cui AO = OC. Quindi possiamo affermare che un parallelogramma è diviso da ciascuna delle diagonali in due triangoli congruenti.

Il rettangolo Definizione: Il rettangolo è un parallelogramma avente i quattro angoli congruenti (e quindi retti). DOMANDA Quali tra i seguenti poligoni è un rettangolo? I seguenti poligoni sono tutti dei rettangoli!

I lati opposti sono congruenti e paralleli a due a due Ovviamente il rettangolo possiede le proprietà dei parallelogrammi a cui si aggiunge la seguente: Dimostrazione: I triangoli DAB e DCB sono congruenti poiché hanno cateti congruenti e di conseguenza anche AC=BD. Le diagonali di un rettangolo sono congruenti. Riassumiamo le tutte le proprietà di cui gode il rettangolo: I lati opposti sono congruenti e paralleli a due a due I quattro angoli sono congruenti e quindi retti Le diagonali sono congruenti e si bisecano (si incontrano nel punto medio)

Il rombo Definizione: Il rombo è un parallelogramma avente tutti e quattro i lati congruenti. Poiché i rombi sono particolari parallelogrammi, per essi devono valere tutte le proprietà relative ai parallelogrammi, alle quali si aggiungono le seguenti: Le diagonali sono perpendicolari Le diagonali sono bisettrici degli angoli interni opposti

Riassumendo le proprietà del rombo sono: Attività didattica: Costruiamo, in carta velina, un rombo come in figura e proviamo le due proprietà: Pieghiamo il rombo lungo le diagonali e notiamo che i triangoli DOC, COB, BOA, AOD sono congruenti e che l’angolo in O di ciascun triangolo è di . Pertanto le diagonali risultano perpendicolari tra loro. Dalla congruenza dei 4 triangoli DOC, COB, BOA, AOD segue anche che: Riassumendo le proprietà del rombo sono: quindi le diagonali sono bisettrici degli angoli interni opposti. I 4 lati sono tutti tra loro congruenti, e paralleli a due a due Gli angoli sono a due a due congruenti, due acuti e due ottusi Le diagonali sono perpendicolari, sono bisettrici degli angoli e si bisecano tra loro

Il quadrato Definizione: Il quadrato è un parallelogramma avente tutti i lati congruenti e tutti gli angoli retti e quindi congruenti. Possiamo considerare il quadrato come un parallelogramma che gode sia delle proprietà del rettangolo sia delle proprietà del rombo. Riassumiamole: I lati sono tutti e 4 quattro congruenti e a due a due paralleli Gli angoli sono tutti retti Le diagonali sono congruenti, sono perpendicolari, sono bisettrici degli angoli e si bisecano E’ un poligono regolare

L’esame dei quadrilateri e dei suoi sottoinsiemi può essere visualizzato con un diagramma di Eulero-Venn: QUADRILATERI TRAPEZI PARALLELOGRAMMI ROMBI QUADRATI RETTANGOLI

MAPPA CONCETTUALE QUADRILATERI POLIGONI DELTOIDI TRAPEZI PARALLELOGRAMMI ROMBI QUADRATI RETTANGOLI SCALENO ISOSCELE RETTANGOLO sono possono essere