Filosofia della matematica… matematica della filosofia

Matematica in letteratura “La vita, istruzioni per l’uso” di Georges Perec. In questo romanzo Perec racconta come in un istantanea la vita di alcune persone che abitano in un condominio con 100 appartamenti: 10 piani con 10 appartamenti per piano. Supponendo che ad ogni azione o situazione della vita di tali persone corrispondano ad esempio delle lettere e dei numeri, si osserva che il condominio 10x10 è una quadrato alfanumerico: infatti sulla medesima riga o colonna non compare mai due volte la stessa lettera o lo stesso numero. Perec era membro di una associazione di cui facevano parte letterati che s’interessavano di matematica e viceversa matematici interessati di letteratura, l’ OuLiPo, Ouvrois de Littérature Potentielle. “La disparition”, lipogramma di Georges Perec. È interessante osservare come in tutto il romanzo, che supera le trecento pagine, non faccia mai uso della lettera “e”. La cosa divertente è che prima che si capisse a cosa si riferiva il titolo, la scomparsa, i critici avanzarono numerose ipotesi, e solo dopo che Perec stesso svelò il segreto si accorsero che a scomparire era stata proprio la lettere “e”!.

Matematica in letteratura “Se una notte d’inverno un viaggiatore”, Italo Calvino “Le avventure di Alice nel paese delle meraviglie”, Lewis Carrol “Attraverso lo specchio e ciò che alice vi trovò”, Lewis Carroll Possono essere letti come semplici romanzi, ma in cui un lettore “competente” può facilmente notare la presenza di una struttura legata alla matematica, nonché di continui riferimenti alla matematica od anche alla scienza.

Matematica in letteratura La presenza di “influenze matematiche” in letteratura è stata raccolta in un antologia: “Racconti Matematici” curata da C. Bartocci.

Kant “anticipa” Gödel Nella “Critica della Ragion Pura”, Immanuel Kant evidenzia la presenza di tre idee trascendentali, che sorgono quando l’uomo spinge “al limite” alcuni aspetti di sé stesso o della realtà che conosce. Le tre idee sono: Mondo Anima Dio

Kant “anticipa” Gödel Kant osserva che quando si cerca di trarre una conclusione a partire da tali idee o di dimostrare qualcosa riguardante le idee trascendentali si giunge a una contraddizione. Ad esempio fornisce una dimostrazione del fatto che l’universo è finito, mentre subito dopo riesce a dimostrare il contrario.

Kant “anticipa” Gödel Ciò può essere considerato come un esempio “ante litteram” dell’indecidibilità Gödeliana. Ovvero è impossibile da essere umani, all’interno del nostro “sistema”, decidere se le proposizioni che si spingono “al limite”, come quelle riguardanti le idee trascendentali, siano vere o false. Esse sono infatti indecidibili.

Russel e Frege Frege era un logicista: ovvero sosteneva che tutta la matematica poteva ricondursi alla logica. Dunque attraverso la logica si potevano dedurre i fondamenti e i “comportamenti” della matematica. Questo deriva dall’ipotesi che tutti i “processi” matematici siano di fatto analitici.

Russel e Frege Definizione di numero per Frege: Il numero n è la classe che raccoglie tutti gli insieme di n elementi. Ma nella definizione del concetto di numero si fa riferimento al concetto stesso. Si utilizza quindi la corrispondenza biunivoca, giungendo alla seguente definizione

Russel e Frege I numeri sono classi di insiemi che hanno la seguente proprietà: tutti gli insiemi della medesima classe possono essere messi in corrispondenza biunivoca, ovvero: Se A,B appartengono alla medesima classe, ad ogni elemento di A corrisponde uno e un solo elemento di B.

Russel e Frege Ma Bertrand Russel si accorse di una contraddizione, di un problema nella definizione di insieme e di classe di insiemi, che rendeva vano il tentativo logicista di Frege per “formalizzare logicamente” la matematica. La contraddizione è evidenziabile nella nota antinomia di Russel.

Russel e Frege Si provi a definire il seguente insieme come: “L’insieme che contiene tutti gli insiemi che non contengono sé stessi come elemento”. La contraddizione a cui si giunge è evidente. Il problema nella definizione di insieme rende allora vana anche tutta la formalizzazione che da tale concetto scaturisce.

Funzioni ricorsive Consideriamo la funzione definita nel modo seguente: Questa è la formulazione ricorsiva (implicita) della famosa sequenza di Fibonacci. Si osserva come sia una funzione che vada dai naturali ai naturali. E se volessimo una formulazione esplicita f(n)=…?

Funzioni ricorsive La forma esplicita della funzione è: Dove Φ è il numero aureo: È interessante dunque osservare che per passare dalla formulazione implicita a quella esplicita i numeri naturali, all’interno di cui la funzione stessa è definita, non bastano più: compare infatti la radice quadrata di 5, un numero irrazionale!

Funzioni ricorsive Consideriamo ora questa funzione in forma implicita: Proviamo dunque a calcolarla effettivamente: È evidentemente una serie infinita di condizioni!

Funzioni ricorsive Si osserva però che la forma esplicita di tale funzione è davvero semplicissima! Dunque è importante anche la forma con cui viene espressa una funzione matematica. Forme diverse hanno conseguenze diverse: si veda l’esempio precedente in cui, per una formulazione esplicita della serie di Fibonacci, non bastavano più i numeri naturali.

Il “ruolo” delle dimostrazioni Le dimostrazioni servono ad “accertare” (appunto dimostrare) la verità di un teorema, di un asserto matematico. Sono dunque la garanzia, la prova effettiva della verità. Ma sono soltanto questo?

Il “ruolo” delle dimostrazioni No! Infatti si può giungere allo stesso risultato (la verità di un teorema) attraverso diverse “strade”, con diversi metodi dimostrativi. Dimostrazioni diverse possono portare a sviluppi diversi in quell’ambito di studio!

Il “ruolo” delle dimostrazioni La serie armonica converge? Apparentemente, sembra convergere, visto che il termine ennesimo, diviene sempre più piccolo. Di ciò fu data una “dimostrazione” visiva (falsa).

Il “ruolo” delle dimostrazioni Sommando spicchietti sempre più piccoli: Sembra si ottenga una area limitata..in realtà…

Il “ruolo” delle dimostrazioni È possibile raggruppare gli elementi della serie armonica in gruppi aventi per somma un valore maggiore di ½: Dunque la serie armonica maggiora la serie ½+½+½+…, la cui somma evidentemente diverge, dunque a maggior ragione deve divergere anche la serie armonica!

Il “ruolo” delle dimostrazioni I numeri primi sono infiniti? Euclide dimostrò per primo che essi sono infiniti.

Il “ruolo” delle dimostrazioni Siano p1, p2 , p3 , … , pn gli unici n numeri primi. Costruiamo allora il numero: p1p2p3·…·pn+1 È evidente che tale numero non è divisibile per nessuno dei numeri primi conosciuti. Dunque o esiste un altro primo per cui esso sia divisibile, o è esso stesso un primo.

Il “ruolo” delle dimostrazioni Reiterando il processo, si giunge alla conclusione che i primi non possono essere finiti, ma sono necessariamente infiniti. Non è però l’unica dimostrazione. Eulero dimostrò la stessa cosa in modo completamente diverso…

Il “ruolo” delle dimostrazioni Partiamo dall’assunto che la serie armonica diverge. Ipotizziamo ora, per assurdo, che esista un solo numero primo. Allora tutti i numeri sono esprimibili come potenze di quell’unico numero primo. La serie armonica diventa dunque:

Il “ruolo” delle dimostrazioni Ma questa è una serie geometrica di ragione 1/p, e poiché p>1, converge ed ha per somma:

Il “ruolo” delle dimostrazioni Si conclude che la serie armonica converge: il che è evidentemente assurdo, dunque i numeri primi sono più di uno. E se fossero due?

Il “ruolo” delle dimostrazioni Se vi fossero due numeri primi p e q, allora tutti i numeri dovrebbero essere fattorizzabili secondo prodotti di potenze di p e di q. In tal caso la serie armonica si può riscrive nel modo seguente:

Il “ruolo” delle dimostrazioni Ovvero:

Il “ruolo” delle dimostrazioni Ma entrambi i termini fra parentesini sono progressioni geometriche di ragione <1, dunque convergono. Il prodotto di termini finiti è ancora finito: si giunge nuovamente ad un assurdo. In generale dunque se i primi sono finiti si ha:

Il “ruolo” delle dimostrazioni Dunque se i primi sono finiti, la serie armonica dovrebbe convergere. Dal momento che si dimostra che la serie armonica diverge, i numeri primi non possono essere finiti. Si giunge alla stessa conclusione di Euclide: i primi sono infiniti!

Il “ruolo” delle dimostrazioni La dimostrazione di Eulero fu però molto più importante per il futuro della matematica. Si arriverà in seguito infatti a definire una funzione molto importante, detta zeta di Riemann:

Esempi di incompletezza “Ogni intero sta fra due quadrati consecutivi”. Utilizzando la notazione [x] per indicarne la parte reale si ha infatti:

Esempi di incompletezza In questo caso però, partendo da un asserto che riguarda solo i numeri interi, la dimostrazione ricorre ai numeri irrazionali… È una dimostrazione per così dire “impura”.

Esempi di incompletezza “La radice di 2 è razionale?” La domanda si traduce matematicamente: Con X e Y interi. Una prima possibile dimostrazione dell’irrazionalità della radice quadrata di due è la seguente:

Esempi di incompletezza Da cui risulta che x dev’essere pari, in quanto il suo quadrato è pari. Dunque possiamo porre: Ma allora anche y è necessariamente pari: ciò significa che la frazione x/y non è ridotta ai minimi termini. Si può quindi procedere all’infinito senza trovare una frazione ridotta ai minimi termini. Radice di 2 non è razionale.

Esempi di incompletezza Altra dimostrazione: X2 è un quadrato, dunque, scomposto in fattori primi, avrà tutti gli esponenti dei suoi fattori primi PARI. Lo stesso vale per Y2. Ciò vale dunque anche per l’esponente relativo al fattore 2: m ed n sono pari.

Esempi di incompletezza Ma allora si ottiene l’uguaglianza: Dove m è pari ed n+1 è dispari: non è possibile dunque che i due numeri siano uguali!!!

Esempi di incompletezza Possiamo ora considerare un sistema formale costruito a partire da proprietà comuni ai reali e agli interi: ad esempio proprietà commutativa dell’addizione..ecc. Consideriamo la proposizione:

Esempi di incompletezza Essa è vera per gli interi, ma non è più vera per i reali. Nel sistema formale da noi creato, è una proposizione indecidibile!!!

Filosofia e Matematica La matematica dunque contiene già in sé il “germe” della filosofia, in quanto medita sempre su sé stessa. Le dimostrazioni non sono soltanto una prova della verità,

Filosofia e Matematica bensì sono già una prima meditazione sulla matematica stessa, sono esse stesse proposizioni “metamatematiche”.

Dunque: MEDITATE GENTE, MEDITATE!