Parte IV: Dinamica del Punto 2a parte Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina Parte IV: Dinamica del Punto 2a parte Energia Lavoro Energia Cinetica Energia Potenziale Principio di Conservazione dell’Energia Applicazioni: urti

Energia B A B A A B B A B B A B A A B B A A B B A B A A B A B A B L’Energia è una grandezza fondamentale in tutti i campi della Fisica (e non solo!) Un corpo deve possedere energia per poter esercitare delle forze su di un altro L’Energia può essere in generale pensata come le risorse a disposizione di un sistema fisico L’Energia può essere trasferita da un sistema fisico ad un altro, da un sottosistema ad un altro, da un corpo ad un altro Normalmente i trasferimenti di energia avvengono tramite l’azione di forze B A B A A B B A B B A B A A B B A A B B A B A A B A B A B

Lavoro Vogliamo studiare gli effetti dell’applicazione delle forze Si definisce lavoro di una forza il seguente integrale curvilineo: L’integrale curvilineo va esteso solo alla traiettoria e, in generale, non è possibile calcolarlo analiticamente A B Si noti che la forza può variare punto per punto e che non necessariamente è l’unica forza agente sul corpo, perché potrebbero esserci forze vincolari, di attrito e/o altre forze esterne

Le unità fisiche del lavoro si chiamano Joule (MKS) o erg (CGS) Solo in casi particolari il lavoro è facilmente calcolabile, di solito casi monodimensionali in cui forza e spostamento hanno la stessa direzione In un caso monodimensionale supponiamo che un corpo si sposti dalla posizione x=0 alla posizione x=X0, sotto l’azione di una forza F(x)=-kx x=X0 F(x)=-kx=-kX0 x=0 F=-kx=0 x=0 Si ha: Siccome il risultato è minore di zero si parla di LAVORO RESISTENTE Se la forza fosse stata concorde con lo spostamento avremmo avuto un LAVORO MOTORE

Il Teorema del Lavoro e dell’ Energia Cinetica Si può compiere lavoro solo possedendo energia, anzi il lavoro è l’energia che si trasferisce da un sistema fisico (sottosistema, corpo, particella, etc.) ad un altro per mezzo delle forze Questo fatto è messo in evidenza dal seguente teorema: Il lavoro compiuto dalla risultante di tutte le forze agenti su di un corpo è SEMPRE pari alla variazione di Energia Cinetica del corpo Nell’ultimo passaggio si è introdotta la definizione di Energia Cinetica

Commenti su Lavoro ed Energia L’Energia Cinetica è evidentemente una proprietà del corpo: essa esiste per il solo fatto che il corpo è dotato di una massa m e si muove con velocità v L’Energia Cinetica è definita positiva, e può essere nulla solo se è nulla la velocità Lo “zero” dell’Energia è quindi arbitrario almeno quanto la scelta di un sistema di riferimento inerziale (l’energia cinetica è nulla se il corpo è in quiete) Le dimensioni e le unità di misura (Joule o erg) dell’energia sono le stesse del lavoro, ma lavoro ed energia sono concetti completamente diversi Il lavoro è la quantità di energia che a causa dell’azione di forze passa da un sistema fisico ad un altro, mentre l’energia può essere posseduta da un corpo indipendentemente dall’essere sottoposto a forze Non si può compiere lavoro se non si possiede energia L’energia cinetica è solo una possibile forma di energia. In generale quest’ultima può essere anche negativa

Energia Potenziale Un corpo può possedere energia per il solo fatto di stare in una certa posizione Supponiamo che un corpo cada da una quota h1 ad una quota h2 per effetto della forza peso h1 h2 Il lavoro della forza peso è facile da calcolare, poiché forza e spostamento giacciono sulla stessa direzione

Posso ora definire la funzione del punto dello spazio (quota): Le proprietà di questa funzione (tecnicamente si chiama campo scalare) sono le seguenti Quindi, dato che in tutti i punti esiste la forza peso, e per tutti i punti dello spazio è definibile la quota h, la funzione U riassume la seguente proprietà fisica: una massa m libera di cadere ad altezza h possiede energia per il solo fatto di trovarsi alla quota h. Tale energia va sotto il nome di Energia Potenziale (della forza peso). Il concetto di energia potenziale è, evidentemente, completamente differente da quello di energia cinetica (e.g un corpo fermo può possedere energia potenziale ma non cinetica)

Calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza peso quando un corpo scivola lungo un piano inclinato senza attrito ma passa sempre dalla quota h1 ad h2. q y x h1 h2 dl Fp=-mg I vettori Fp e dl possono essere decomposti lungo gli assi cartesiani Ora il prodotto scalare ed il lavoro possono essere calcolati

Il principio di conservazione dell’Energia È interessante notare che la variazione di energia potenziale nel caso del piano inclinato è la stessa di quella della traiettoria verticale. Siccome l’energia potenziale dipende SOLO dalla quota il risultato non può cambiare se cambia la traiettoria. Abbiamo dunque scoperto che il lavoro della forza peso non dipende dalla traiettoria ma solo dalle quote iniziali e finali Ciò è principalmente dovuto al fatto che la forza peso è costante, e ciò fa sì che valessero le quattro proprietà della Energia Potenziale. In particolare la terza dice che il lavoro infinitesimo della forza peso è pari (a parte il segno) al differenziale esatto dell’energia potenziale. Le quattro proprietà possono valere anche per forze non uniformi, ma variabili nei diversi punti dello spazio (campi di forze). Se tali forze esistono si dicono conservative. Per le forze conservative è sempre possibile definire una energia potenziale tale che

Per un corpo che cade l’energia potenziale della forza peso diminuisce proporzionalmente all’altezza. Tuttavia siccome aumenta la sua velocità aumenta l’energia cinetica. L’azione della forza peso quindi trasforma continuamente l’energia potenziale in energia cinetica. Se il grave fosse scagliato verso l’alto l’azione della forza peso sarebbe quella di frenare il corpo fino a fermarlo, e ciò trasforma la sua energia cinetica in potenziale (aumenta la quota) Se il sistema fosse isolato, ovvero la forza peso fosse pari alla risultante di tutte le forze esterne (no attrito, no reazioni vincolari, etc.), e per tutte quelle forze che godono della proprietà 3 potremmo applicare il teorema del lavoro e della energia cinetica Interessantemente l’ultimo passaggio ci dice che la somma della energia cinetica e della energia potenziale, che è detta Energia Meccanica Totale, E=K+U, è la stessa in tutti i punti della traiettoria e a tutti i tempi, cioè si conserva

In un sistema isolato, quindi, nel quale agiscono solo forze conservative (interne) l’energia meccanica non si crea e non si distrugge Per effetto delle forze (conservative) l’energia si trasforma continuamente da cinetica a potenziale o viceversa, ma l’energia totale del sistema non cambia Sembrerebbe, poiché abbiamo trovato questo risultato per le forze conservative, che il principio di conservazione dell’energia valga solo per queste forze. Vedremo che con un opportuno ampliamento del concetto di energia che travalichi gli angusti limiti della Meccanica, che questo principio è molto più generale (I Principio della Termodinamica). In realtà si può dimostrare (Teorema di Noether) che esso è una diretta conseguenza del Postulato di Omogeneità del Tempo (e.g. se non si cambiano le condizioni esterne un fenomeno fisico avviene sempre e sempre alla stessa maniera). Analogamente il Principio di Conservazione della Quantità di Moto è una diretta conseguenza del Postulato di Omogeneità dello Spazio (e.g. se non si cambiano le condizioni esterne un fenomeno fisico avviene dovunque e dovunque alla stessa maniera).

Urti All’atto della collisione di due corpi si stabiliscono delle forze di contatto che agiscono solo per il breve intervallo di tempo in cui i corpi si “toccano” Tali forze sono dette impulsive e si definisce impulso la quantità Per la seconda legge cioè l’impulso è pari alla variazione delle quantità di moto

Dunque a causa dell’urto, se non vi sono altre forze esterne, l’impulso ceduto dal primo corpo è pari alla variazione della quantità di moto del secondo Se i due corpi possono essere considerati un sistema isolato la quantità di moto totale si deve conservare. Pertanto, nell’urto i due corpi si scambiano quantità di moto Ma anche l’energia meccanica si potrà conservare. Ciò non accadrà se per effetto di forze non conservative parte dell’energia viene trasferita a gradi di libertà microscopici. Ciò di solito avviene perché le superfici di contatto si deformano nell’urto, e magari gli atomi di cui esse sono costituite cominciano a vibrare come tante piccole molle (questo è il meccanismo che fa propagare il suono nei solidi) Nei casi in cui si potranno trascurare gli effetti di queste piccole dissipazioni (si pensi a palle di biliardo) si parlerà di urti elastici. Se le variazioni di energia totale sono invece significative si parlerà di urti anelastici

Molte cose possono accadere dopo un urto: v1 m2 v2 m1 v1 m2 v2 1) La velocità di uno dei corpi si inverte 2) Ci può essere un trasferimento di massa m3 v3 m4 v4 3) I corpi si spezzano i vari pezzi m3 v3 m4 v4 m2 v2 m1+m2 v 4) Le due masse coalescono 5) etc.

Urto con una parete Una massa m urta contro una parete e rimbalza. Trascurando tutti i possibili attriti e dissipazioni, calcolare la velocità della massa dopo l’urto (la parete resta immobile). Bisogna realizzare che nel caso unidimensionale la parete esercita una forza di contratto immensa sulla massa. La conservazione dell’energia sostiene che La soluzione è banale in tal caso: la particella rimbalza e va via dalla parete con velocità uguale ed opposta a quella iniziale. L’impulso sarà dunque Siccome il tempo dell’interazione è estremamente breve, F deve essere molto grande affinché il suo prodotto con Dt sia finito Il caso più interessante è quello in cui il corpo incide sulla parete con un angolo acuto a

Visto dall’alto: pf b? y x a pi La forza di contatto alla parete sarà sempre perpendicolare alla parete stessa. Pertanto la seconda legge darà: La prima equazione è l’analogo del caso unidimensionale: la forza di contatto fa cambiare il verso alla componente perpendicolare (alla parete) della quantità di moto

La seconda dice invece che la componente tangenziale della quantità di moto si deve conservare Dalla conservazione dell’energia Sostituendo si trova Il risultato trovato è noto ai giocatori di biliardo: l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione

Urto con uno scalino Una massa m trasla con velocità v su un piano senza attrito che presenta uno piccolo scalino arrotondato di altezza h. La massa incide sullo scalino lungo una retta che fa un angolo a con la perpendicolare al gradino e lo scavalca. Sul piano superiore la traiettoria è una linea retta che forma un angolo b con la perpendicolare al piano. Calcolare b e dire se è maggiore o minore di a. y x a pi b? pf Anche in questo caso la forza di contatto sarà perpendicolare al gradino e sarà l’unica forza esterna. In presenza della forza peso, però, l’energia potenziale della massa dopo aver salito il gradino sarà aumentata di mgh

Il principio di conservazione dell’energia dà: Siccome la componente tangenziale della quantità di moto si deve conservare, come nel problema precedente: Queste ultime formule rispondono ai quesiti del problema. Si noti però che: Se la massa si fosse mossa dal piano superiore verso l’inferiore si sarebbe ottenuto esattamente il contrario; L’attrito può alterare sensibilmente questo scenario; Se h è molto grande, l’argomento della radice può diventare negativo: ciò corrisponde al caso della parete, ovvero la massa non sale sul piano superiore.

Collisione frontale Un tir di massa M ed una automobile di massa m hanno una collisione frontale. Le velocità dei veicoli subito prima dello scontro sono Vi (in direzione x) e vi (in direzione –x). Una frazione P dell’energia cinetica Ki dei veicoli è dissipata nel danno ai veicoli stessi. Calcolare le velocità Vf e vf dei veicoli dopo l’urto. Imponendo la conservazione della quantità di moto e dell’energia si avrà un sistema di equazioni di secondo grado nelle incognite Vf e vf: Risolvendo:

Si ottiene: Si pone ora il problema di quali segni delle radici vadano scelti Bisogna realizzare che “velocità positiva” indica che il veicolo viaggia verso destra mentre “velocità negativa” indica il contrario. Se dopo l’urto Vf>0 e vf<0, significa che entrambi i veicoli continuano a muoversi nella stessa direzione, ovvero che passano l’uno attraverso l’altro. Benchè tale caso sia possibile per particelle quantistiche non è certo il caso di un tir ed una automobile, quindi vanno scelti i segni che rendono Vf<0 e vf>0, ovvero “+” nella prima e “-” nella seconda. Si noti che il segno “-” nella prima lascia vf>0, tuttavia non sarebbe verificata la disequazione