Crittografia e numeri primi I incontro lunedì 8 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Svetonio – Vita di Cesare Restano quelle [le lettere] a Cicerone, così come quelle ai familiari sugli affari domestici, nelle quali, se doveva fare delle comunicazioni segrete, le scriveva in codice, cioè con l'ordine delle lettere così disposto che nessuna parola potesse essere ricostruita: se qualcuno avesse voluto capire il senso e decifrare, avrebbe dovuto cambiare la quarta lettera degli elementi, cioè D per A e così via per le rimanenti.

Extant et ad Ciceronem, item ad familiares domesticis de rebus, in quibus, si qua occultius perferenda erant, per notas scripsit, id est sic structo litterarum ordine, ut nullum verbum effici posset: quae si qui investigare et persequi velit, quartam elementorum litteram, id est D pro A et perinde reliquas commutet.

Svetonio – Vita di Ottaviano Augusto Non rispettava l'ortografia, cioè l'arte di scrivere le parole correttamente seguendo le regole dei grammatici, e sembrava piuttosto seguire l'opinione di coloro che pensano che si debba scrivere come parliamo. […] Tutte le volte poi che scriveva in codice, sostituiva la A con la B, la B con la C e con lo stesso criterio le altre lettere; e la X veniva sostituita da una doppia A.

Orthographiam, id est formulam rationemque scribendi a grammaticis institutam, non adeo custodit ac videtur eorum potius sequi opinionem, qui perinde scribendum ac loquamur existiment. […] Quotiens autem per notas scribit, B pro A, C pro B ac deinceps eadem ratione sequentis litteras ponit; pro X autem duplex A.

CRITTOSISTEMA

Funzione biunivoca Una funzione si dice biunivoca se a ogni elemento del domino corrisponde uno e un solo elemento del codominio e viceversa a b c d e A B C D F

In una funzione biunivoca non può dunque accadere che due elementi distinti del dominio abbiano la stessa immagine ab ab AB AB

abcdefghilmnopqrstuvz DEFGHILMNOPQRSTUVZABC

DEFINIZIONE Due numeri che hanno lo stesso resto nella divisione per n si dicono congruenti modulo n (o mod n). Se due numeri a, b Z sono congruenti modulo n, scriviamo a b mod n

(- 7) = < < = 21 (- 6)

Per determinare a quale classe di equivalenza appartiene un numero intero negativo si dovrà eseguire la divisione tra un numero negativo e un numero positivo Il quoziente sarà quindi negativo essendo gli operandi discordi Si sceglie come quoziente quel numero negativo tale che il prodotto tra il divisore e il quoziente risulti il più grande tra i multipli negativi del quoziente che siano minori del dividendo In questo modo il resto è sempre positivo

DEFINIZIONE Sia n un intero positivo fissato. Due numeri a, b Z sono congruenti modulo n se e solo se a – b è un multiplo di n, ovvero, a b mod n (a – b) = n h per qualche h Z

Verifichiamo lequivalenza delle due definizioni Consideriamo gli interi a e b Dividendoli per n, otteniamo a = q 1 n + r 1, b = q 2 n + r 2, con 0 r 1, r 2 < n

Consideriamo gli interi a e b Dividendoli per n, otteniamo a = q 1 n + r 1, b = q 2 n + r 2, con 0 r 1, r 2 < n Se r 1 = r 2, allora a – b = (q 1 – q 2 )n cioè a – b è un multiplo di n Viceversa, se a – b = hn (per qualche h Z), da cui a = b + hn = q 2 n + r 2 + hn = (q 2 + k)n + r 2 Verifichiamo lequivalenza delle due definizioni

Chiamiamo congruenza la relazione definita sugli interi dallessere congruenti. 1.Ogni numero è congruente a sé stesso, modulo qualsiasi n: dunque per la congruenza vale la proprietà riflessiva 2.a b mod n (a – b) = n h (b – a) = n (- h) b a: dunque per la congruenza vale la proprietà simmetrica 3.a b mod n, cioè (a – b) = n h e b c mod n, cioè (b – c) = n k, allora (a – c) = (a – b + b – c) = n h + n k = n (h + k) e dunque a c mod n. Dunque per la congruenza vale la proprietà transitiva 4.La congruenza modulo n è una relazione di equivalenza

Tramite la relazione di congruenza possiamo suddividere linsieme dei numeri interi Z in sottoinsiemi che sono classi di equivalenza e che prendono il nome di classi resto. Linsieme delle classi resto modulo n si indica con Zn, cioè Z n :={[0]. [1].[2]…..,[n-1]}

Determina lopposto dei seguenti elementi negli insiemi indicati: 14 in Z in Z 25 5 in Z in Z in Z in Z 96

Leon Battista Alberti (Genova, 1404 – Roma, 1472)

0a0a 1b1b 2c2c 3d3d 4e4e 5f5f 6g6g 7h7h 8i8i 9l9l 10 m 11 n 12 o 13 p 14 q 15 r 16 s 17 t 18 u 19 v 20 z 5m5m 3m3m