Gruppo Giovanni Prodi Convegno di Scienza e Fede 72° Fognano 22-24 novembre 2013 Epistemologia della matematica RUOLO DELLA MATEMATICA NELLA FISICA E LA FISICA COME SORGENTE DI NUOVE IDEE MATEMATICHE G. M. Prosperi

Roberto Grossatesta (1168-1253): Tutte le cause dei fenomeni naturali devono essere espresse per mezzo di linee, angoli e figure. Ruggero Bacone (1214-1292): Nella matematica c’è concesso di giungere a una verità completa senza errore e a una certezza universale senza ombra di dubbio … se nelle altre scienze vogliamo, come è nostro dovere, arrivare alla certezza che escluda ogni dubbio e alla verità che escluda ogni errore, è necessario che la matematica diventi il fondamento del nostro conoscere.   Galileo Galilei (1564-1642): La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto davanti agli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, a conoscere i caratteri ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica e i caratteri son triangoli, cerchi e altre figure geometriche, senza li quali mezzi è impossibile intenderne umanamente parola: senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

La Matematica come linguaggio L’affermazione più significativa di questi brani è che la Matematica costituisce il linguaggio stesso in cui la Fisica deve essere espressa. Questa affermazione, se vera per la Fisica dei tempi di Galileo, molto di più lo è per la Fisica attuale e l’averla posta in evidenza va considerata una grande scoperta. Le ragioni di questo ruolo sono certamente nella scelta di privilegiare gli aspetti quantitativi del mondo sensibile. Non meno importante è che la Matematica fornisce lo strumento logico con cui le ipotesi fondamentali di una teoria fisica possono essere formulate in modo inequivoco, le loro conseguenze essere elaborate e tradotte alla fine in predizioni precise e controllabili.

Per Grossatesta, Ruggero Bacone, Galileo il “linguaggio matematico” era innanzitutto quello della Geometria elementare. Questa era sufficiente per le costruzioni dell’ottica geometrica formulare i modelli cosmologici che erano discussi a quel tempo. Come la comprensione del mondo della natura ha proceduto, hanno dovuto essere impiegati tipi di linguaggio matematico sempre nuovi e avanzati. La formulazione della Meccanica come data da Newton nei suoi Principia non sarebbe stata semplicemente possibile senza l’introduzione delle prime idee di Analisi Infinitesimale. Anche così il lettore moderno che tenti di avvicinare l’opera originale di Newton resta interdetto di fronte alla farraginosità della trattazione che procede largamente per argomenti geometrici discorsivi, dove l’impiego delle nostre notazioni simboliche renderebbe il ragionamento molto più trasparente e diretto.

Phylosofiae Naturalis Principia Mathematica I. Newton Scritti sul modello degli Elementi di Euclide Assiomi o leggi del moto: Legge I: Ciascun corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, salvo che sia costretto a mutare quello stato da forze impresse. Legge II: Il cambiamento di moto è proporzionale alla forza motrice impressa, ed avviene lungo la linea retta secondo la quale la forza è stata impressa. Legge iii: Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria: ossia, le azioni di due corpi sono sempre uguali tra loro e dirette verso parti opposte. Seguono sei corollari tra cui: Il teorema di conservazione della quantità di moto.

Il vantaggio della riscrittura in formule I e II Legge: 𝑑 𝑚 𝑖 𝒗 𝑖 = 𝑭 𝑖 𝑑𝑡 III Legge: 𝑭 𝑖 = 𝑗 𝑭 𝑖𝑗 e 𝑭 𝑖𝑗 = − 𝑭 𝑗𝑖 , da cui segue 𝑖 𝑭 𝑖 =0 e quindi il teorema di conservazione: 𝑑 𝑖 𝑚 𝑖 𝒗 𝑖 =0.

Interi capitoli della Fisica non avrebbero potuto essere scrit- ti senza corrispondenti sviluppi nel calcolo infinitesimale. Il concetto di differenziale esatto Forza conservativa: il lavoro compiuto da una forza su una particella è indipendente dal cammino percorso da questa 𝛿𝐿= 𝐹 𝑥 𝑑𝑥+𝐹 𝑦 dy+F z 𝑑𝑧=𝑑𝑈 Conservazione dell’energia 𝑑 𝑑𝑡 1 2 𝑚 𝑣 2 +𝑈 =0 I principio della Termodinamica: concetto di energia interna 𝛿𝐿+𝛿𝑄=𝑑𝑈 II principio della Termodinamica: concetto di entropia 𝛿𝑄 𝑇 =𝑑𝑆

La Teoria della Relatività Ristretta ha acquistato grande trasparenza con l’uso del calcolo tensoriale. La Teoria della Relatività Generale non sarebbe stata possibile senza il ricorso alla geometria di Rieman e al calcolo differenziale assoluto di Ricci La Teoria Quantistica non avrebbe mai potuto raggiungere l’attuale completezza ed eleganza senza il concetto di spazio di Hilbert e lo studio delle proprietà degli operatori.

Nella Fisica Classica la relazione tra simboli matematici e realtà empirica è comunque molto diretta. Il punto materiale idealizza un corpo le cui dimensioni siano trascurabili alla scala considerata; le sue coordinate corrispondono a tipi di osservazioni concettualmente molto semplici, come quelle eseguite con comuni strumenti ottici. I campi elettrici e magnetici possono essere posti immediatamente in relazione con gli effetti prodotti su corpi di prova in quiete o in movimento. La distribuzione delle temperature in un fluido fa riferimento idealmente alle indicazioni di un sistema di termometri

Il grado di astrazione è invece molto maggiore nella Fisica Quantistica. In questo caso il linguaggio matematico non ha per se alcun corrispettivo immediato nell’intuizione ordinaria. Il formalismo appropriato è quello degli spazi di Hilbert e delle algebre di operatori. Noi associamo allo stato di un sistema un vettore unitario e ad un’osservabile un operatore autoaggiunto. Ma queste associazioni isolatamente prese non hanno alcun riferimento intuitivo e al di fuori dell’intero contesto a termini come stato e osservabile non si può dare alcun significato preciso. Il contatto con il mondo reale, con ciò che noi possiamo percepire o su cui possiamo agire, è dato da un insieme di regole matematiche astratte che acquistano senso solo nella loro unità. E’ solo con l’uso dell’intero complesso di queste regole che noi possiamo fare delle predizioni verificabili, “spiegare” determinati fenomeni, capire le loro connessioni con altri.

Postulati fondamentali Lo stato di un oggetto è specificato ad ogni istante da un vettore unitario ψ 𝑡 (vettore di stato) in un appropriato spazio lineare ad infinite dimensioni H (spazio di Hilbert). L’evoluzione temporale di ψ 𝑡 è determinata da un’equazione della forma iℏ∂ψ/∂t= 𝐻 ψ , dove 𝐻 è un opportuno operatore lineare di un tipo detto hermitiano (di cui l’operatore differenziale che appare al primo membro della equazione di Schroedinger per una particella è un esempio; hermitiano vuol dire nella sostanza reale). Ad ogni grandezza osservabile A è associato un operatore lineare hermitiano 𝐴 definito in H . Gli autovalori 𝛼 1 , 𝛼 2 , 𝛼 3 … e gli autovettori normalizzati 𝜑 1 , 𝜑 2 , 𝜑 3 ,… di 𝐴 (definiti dall’equazione 𝐴 𝜑 𝑗 = 𝛼 𝑗 𝜑 𝑗 ) danno i possibili valori assunti dalla grandezza A e gli stati (autostati) per i quali una misura di A dà con certezza il corrispondente autovalore. Se ad un certo tempo t l’oggetto si trova nello stato sovrapposizione, 𝜓 𝑡 = 𝑗 𝑐 𝑗 (𝑡) 𝜑 𝑗 la probabilità che una misura di A dia il valore 𝛼 𝑗 è data da 𝑃 𝐴= 𝛼 𝑗 ;𝑡 = | 𝑐 𝑗 (𝑡)| 2 . Se al tempo 𝑡 è stata eseguita una misura della grandezza A che ha dato il risultato 𝛼 𝑗 , ad un tempo immediatamente successivo il vettore di stato va ridefinito come 𝜓 𝑡+𝜀 = 𝜑 𝑗 (riduzione della funzione d’onda) .

Sono dovuti passare tre secoli dai tempi di Galileo perché i fisici potessero scoprire il linguaggio necessario per affrontare i fenomeni dell’estremamente piccolo o dell’estremamente grande, del mondo subatomico o dell’universo. Parlo di “scoperta” del linguaggio matematico necessario per affrontare “quei fenomeni”. Dobbiamo comprendere è che non esiste alcun criterio di scelta a priori; noi dobbiamo usare la matematica che risulta utile, quella che ci permette di costruire teorie che hanno successo. Per formulare una qualsiasi teoria fisica, che riguardi una certa classe di fenomeni, dobbiamo usare un linguaggio matematico appropriato e questo linguaggio va scoperto. Esso va poi riguardato in se stesso come una parte integrante e inscindibile della teoria.

Non sempre il fisico riesce a trovare nella Matematica esistente il formalismo che gli è necessario per costruire una nuova teoria e allora egli stesso deve crearselo. Molte volte proprio in questo modo sono stati aperti dei capitoli completamente nuovi della Matematica. E’ stato questo il caso - del concetto di derivata come introdotto da Newton, quello di serie di Fourier, quello di certi sviluppi della teoria degli operatori e della teoria delle distribuzioni, certi sviluppi della teoria dei gruppi ecc.

P. A. M. Dirac: Quantum Mechanics L’autore presuppone solo una matematica molto elementare e cerca di costruirsi il formalismo necessario assiomaticamente in stretto contatto con la teoria fisica. Perviene in tal modo ad un’estensione della teoria degli spazi di Hilbert che include certe classi di vettori di norma infinita e alla sua famosa nozione di funzione delta. La struttura matematica è così fatta emergere direttamente dalla Fisica. E’ noto che le idee introdotte in tal modo da Dirac sono state successivamente sviluppate da matematici di grande valore, come L. Schwartz o I. M. Gel’fand portando ad un capitolo della Matematica completamente nuovo e di grande interesse, la Teoria delle Distribuzioni.

In conclusione Ho cercato di mettere in evidenza sulla base di alcuni esempi significativi il ruolo essenziale del formalismo matematico nella costruzione delle Teorie fisiche. Ho voluto portar esempi di come lo sviluppo di alcuni capitoli sia avvenuto in maniera parallela ed abbia stimolato determinati sviluppi di carattere matematico. Ho cercato di mostrare come la costruzione di nuove teorie per l’interpretazione di un nuovo ambito di fenomeni abbia a volte richiesto lo sviluppo di teorie matematiche completamente nuove, altre ad approfondimenti di teorie esistenti che senza la motivazione fisica non avrebbero mai forse visto la luce.