PRIMI ELEMENTI DI GEOMETRIA NELLO SPAZIO Adriana Lanza . Liceo “Cavour” Roma

LA TERZA DIMENSIONE ESCHER RETTILI

L’esperienza sensoriale dei corpi che ci circondano suggerisce l’intuizione delle <<tre dimensioni>> : larghezza, lunghezza, altezza.

Un’osservazione più attenta ci porta a precisare questa affermazione, legata al semplice fatto che esistono punti non complanari , ovvero dato un piano, possiamo trovare almeno un punto fuori di esso proprio come i rettili di Escher, che escono dal foglio e da figure piane si trasformano in figure solide

Qual è il numero massimo di punti sicuramente complanari? L’esperienza e l’intuizione ci dicono :tre In Geometria questo fatto viene assunto come postulato Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano

SISTEMA DI RIFERIMENTO Nello Spazio, come nel piano,è possibile introdurre un sistema di riferimento che permette di individuare la posizione di ogni punto. A tale scopo si scelgono tre rette non appartenenti al medesimo piano e passanti per uno stesso punto O Le coordinate sono chiamate ascissa (x), ordinata (y) e quota (z)

RIFERIMENTO CARTESIANO NELLO SPAZIO

Ecco per esempio la costruzione del punto P(2,2,3) Inseriti i tre versori fondamentali la costruzione del punto, mediante le tre coordinate, è una facile estensione della costruzione di un punto nel piano cartesiano

Tutti conosciamo la difficoltà che si incontra nel rappresentare una figura spaziale su un piano (un foglio, la lavagna o il video di un computer), dove la terza dimensione deve essere simulata

ECCO ALCUNE FIGURE , ESEGUITE CON CABRI 3D, CHE RIPRODUCONO SITUAZIONI CHE CREANO SPESSO DIFFICOLTA’ AGLI STUDENTI

CUBO INSCRITTO IN UNA SFERA Come si può far capire che il cubo è inscritto nella sfera?

SFERA INSCRITTA IN UN CONO

Basta osservare che i due triangoli VHB e VKC sono simili Quale relazione lega il raggio della sfera all’altezza , al raggio di base e all’apotema del cono? Basta osservare che i due triangoli VHB e VKC sono simili

QUALI SONO LE SEZIONI OTTENUTE SU UN CUBO ; CON UN PIANO PERPENDICOLARE AD UNA DIAGONALE? Triangoli ed esagoni Triangolo ed esagono di area massima

La rappresentazione grafica piana di figure solide è oggetto della Geometria Descrittiva e ha costituito per lungo tempo un interessante arco di collegamento tra Arte e Geometria

Le tecniche più note, la prospettiva e l’assonometria ,si basano sulle operazioni geometriche di proiezione e sezione, Prospettiva (proiezione centrale) Assonometria (proiezione parallela)

PROIEZIONE CENTRALE Non conserva in generale il parallelismo

Un celebre disegno prospettico Raffaello- La scuola d’Atene

PROIZIONE PARALLELA Conserva il parallelismo

Un mosaico che utilizza la rappresentazione assonometrica Pietro Cavallini,Annunciazione, 1291, S. Maria in Trastevere, Roma

La realizzazione di tali disegni non può tuttavia essere posta alla base di affidabili processi deduttivi poiché è troppo labile il confine tra le immagini di oggetti geometrici propri e la rappresentazione di illusioni ottiche o di disegni impossibili.

La nostra consuetudine ad osservare i corpi tridimensionali può indurci ad interpretare in modo ambiguo alcune figure Cosa vedi? Un cubo?....

O 3 rombi?

O un triedro con gli spigoli tra loro perpendicolari?

UN ESEMPIO DI FIGURA AMBIGUA IL CUBO DI NECKER . Diversamente dalla rappresentazione prospettica di un cubo in cui la superficie della faccia anteriore è più grande di quella della faccia posteriore, il cubo di Necker è disegnato in modo che le due facce siano di uguali dimensioni. Quale faccia è in primo piano? ABB'A' oppure DCD'C'?

Doppio orientamento Questa situazione produce sulla retina un'immagine che il cervello può interpretare in due modi che corrispondono a una proiezione del cubo visto da posizioni diverse. Di fronte al problema di quale sia la posizione in cui si trova il cubo, il cervello non “sceglie” e continua a oscillare tra l'una e l'altra.

. Louis Albert Necker, studioso svizzero di cristallografia, analizzò per primo il disegno nel 1832 e individuò i fattori che contribuiscono a generare questo paradosso visivo

Concavo e convesso L’ ambiguità della rappresentazione bidimensionale di figure tridimensionali, spesso fonte di paradossi, ha ispirato alcune delle opere più famose di Escher un gioco di ombre porta al rovesciamento percettivo tra l'interno e l'esterno della figura.

Motivi analoghi si trovano anche in alcuni mosaici dell’antica Roma, come in questo pavimento pompeiano

FIGURE IMPOSSIBILI Viceversa, l’abitudine ad interpretare come oggetti spaziali alcune figure bidimensionali, porta alla costruzione delle cosiddette figure impossibili Escher- Belvedere

Il Cubo impossibile Il giovane seduto sulla panchina sta osservando una forma cubica impossibile, suggerita dal cubo di Necker, la cui immagine compare nel disegno poggiato sul pavimento

DUE INDOVINELLI Un giochino abbastanza facile Un <<rompicapo>> Usando 6 bacchette uguali tra loro, costruire 4 triangoli equilateri uguali, aventi per lato una bacchetta Soluzione E’ possibile disporre questi due oggetti in modo da costruire una piramide? Soluzione

Soluzione del primo indovinello Si deve “uscire “ dal piano e costruire un tetraedro

Soluzione del secondo indovinello I due solidi sono stati ottenuti tagliando un tetraedro con il piano che contiene i punti medi degli spigoli

COSA CAMBIA QUANDO SI GUADAGNA UNA DIMENSIONE? Qualche esempio

ESISTONO SU UNA RETTA 3 PUNTI A DUE A DUE EQUIDISTANTI? OVVIAMENTE NO Il punto medio M è equidistante da A e da B ma la distanza tra Ae B è diversa da quella tra Aed M o tra B ed M

Basta considerare i vertici di un triangolo equilatero E NEL PIANO ? OVVIAMENTE SI’ Basta considerare i vertici di un triangolo equilatero

ESISTONO NEL PIANO 4 PUNTI A DUE A DUE EQUIDISTANTI? OVVIAMENTE NO Il centro del triangolo equilatero è equidistante dai tre vertici, ma i segmenti OC, OA, OB non sono congruenti ai lati

Basta considerare i vertici di un tetraedro regolare E NELLO SPAZIO? OVVIAMENTE SI’ Basta considerare i vertici di un tetraedro regolare

NEL PIANO DUE RETTE CHE NON HANNO PUNTI IN COMUNE, HANNO NECESSARIAMENTE LA STESSA DIREZIONE? SI’. Poiché , essendo per definizione parallele, formano angoli uguali con l’asse delle ascisse

E NELLO SPAZIO? NO, potrebbero essere sghembe

Rette Perpendicolari Nel piano esiste una ed una sola perpendicolare ad una determinata retta in un suo punto

E NELLO SPAZIO? Ne esistono infinite

LA SIMMETRIA ASSIALE Nel piano è una isometria inversa, che cambia il verso di percorrenza delle figure Non esiste alcun movimento rigido, internamente al piano, che porti a far coincidere i due triangoli

Nello Spazio invece… è una rotazione!

LA SIMMETRIA ASSIALE Si trovano nel lato posteriore del piano!… La faccia del triangolo A’B’C’ in cui i vertici si presentano in verso orario, come quelli del triangolo ABC

PARTE SECONDA PARTE SECONDA PROPRIETA’ DELLE FIGURE COSTRUZIONI CON CABRI 3D

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO Piano per tre punti non allineati Intersezione di due piani Fascio di piani Stella di piani Parallelismo Perpendicolarità

PIANO PER TRE PUNTI SCEGLIAMO TRE PUNTI A B C 1° caso: i tre punti appartengono tutti al piano iniziale a

2° caso: Se invece solo A e B appartengono al piano iniziale a, i tre punti individuano un altro piano b a e b hanno in comune la retta AB

3° Caso Solo A appartiene al piano iniziale a Anche in questo caso a e b hanno in comune una retta ( passante per A)

FASCIO DI PIANI Ritorniamo al caso N° 2 e, lasciando A e B sul piano a , scegliamo un altro punto D nello spazio A, B e D individuano un terzo piano d passante sempre per la retta AB Spostando il terzo punto possiamo cioè costruire infiniti piani passanti per la stessa retta AB Questo insieme prende il nome di FASCIO DI PIANI

STELLA DI PIANI L’insieme di piani passanti tutti per uno stesso punto A si dice invece STELLA

POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO AD UN PIANO Se una retta ha due punti in comune col piano allora giace sul piano Se ha un solo punto in comune col piano si dice incidente Se non ha punti in comune col piano è parallela al piano, Per costruire una retta parallela al piano, per un punto C fuori di esso, è sufficiente condurre da C la parallela ad una retta del piano

PIANI PARALLELI L’osservazione precedente suggerisce che da un punto esterno si possono condurre infinite rette parallele ad un piano a Tutte queste rette giacciono su piano b che non può avere alcun punto in comune con a I piani a e b si dicono paralleli

TEOREMA “DEL TETTO” Se due piani secanti contengono due rette tra loro parallele, allora la loro intersezione à una retta parallela alle prime due

Perpendicolarità r Nello spazio esistono infinite rette perpendicolari ad una determinata retta r in un suo punto P. Esse giacciono tutte in uno stesso piano , il piano perpendicolare ad r Se r è perpendicolare a due rette del piano passanti per P, è perpendicolare a tutte le rette del fascio di centro P

Teorema delle 3 perpendicolari Se dal piede di una retta perpendicolare ad un piano si conduce la perpendicolare ad una qualunque retta dello stesso piano, quest'ultima retta è perpendicolare al piano delle prime due.

VERO o FALSO? Una piramide ha per base un triangolo rettangolo ed uno spigolo perpendicolare al piano di base. Anche le 3 facce laterali sono triangoli rettangoli VERO!

VERO o FALSO? Le diagonali interne del cubo sono a due a due perpendicolari FALSO!

FINE