Piano Lauree Scientifiche a.s. 2011/2012 Costruzioni con riga e compasso : i problemi classici dell’antichità Prof.ssa Vittoria Sacco

“Se vuoi costruire una nave, non radunare gli uomini per raccogliere il legno e distribuire i compiti, ma insegna loro la nostalgia del mare ampio e infinito” Saint Exupèry

Laboratori PLS 2010/2012 La matematica dell’incerto (ref. B. Carbonaro, ref. scuole) 1° anno  In questo laboratorio si comincerà trattando dell'incertezza dei contenuti delle percezioni e dei risultati delle misure. Si passerà poi all'analisi dell'incertezza delle leggi di natura in quanto legami funzionali tra risultati di misure. Inoltre, sarà presa in esame la nozione di “probabilità” come misura del grado di fiducia nei diversi possibili esiti degli esperimenti (e, conseguentemente, nelle diverse formulazione delle leggi di natura). Si passerà poi alla probabilità matematica e alle sue proprietà generali. Saranno forniti esempi e realizzati “giochi” con gli alunni mentre con i docenti sarà analizzata la probabilità nei modelli matematici dei fenomeni naturali. Costruzioni geometriche con riga e compasso: i problemi classici dell’antichità (ref. E. Ferrara Dentice, ref. scuole) 2° anno In questo contesto, affronteremo i problemi classici dal punto di vista geometrico ed algebrico, mostreremo il motivo per cui con riga e compasso non si possono risolvere, ma anche che, con l’ausilio di curve algebriche o trascendenti, tali costruzioni sono in realtà possibili. Inoltre, vedremo che esistono metodi “meccanici” di risolvere tali problemi, mediante l’ausilio di macchine matematiche. In conclusione, non è detto che sia impossibile quadrare il cerchio: dipende da quale metodo vogliamo utilizzare per risolvere il problema!

Come sono stati selezionati gli alunni……. Per la scelta degli alunni ( delle classi terze e quarte) è stato predisposto ,dai referenti delle quattro scuole coinvolte e dai coordinatori dell’università, un questionario composto da domande a risposta multipla di geometria, logica, algebra,statistica, calcolo delle probabilità …. e da domande aperte di tipo motivazionali. Dagli esiti del questionario è stata stilata una graduatoria da cui sono stati scelti i primi venti alunni suddivisi in due gruppi da dieci per ciascun laboratorio.

Obiettivi trasversali acquisizione di conoscenze a livelli più elevati di astrazione e di formalizzazione; attitudine a ricercare il confronto, ad apprezzare la discussione delle idee per accettare le condizioni della realtà senza privilegiare solo il proprio punto di vista; sviluppare consapevolezza delle proprie attitudini, dei propri interessi ed inclinazioni; saper costruire e gestire iter alternativi, quando sia possibile, per risolvere una medesima questione; acquisire ed ampliare la capacità di collaborazione nei gruppi di lavoro; far approfondire sul campo un metodo di lavoro da usare anche in altri contesti; saper usufruire delle conoscenze ed abilità come mezzo di interpretazione e modificazione dei contesti; sviluppare lo spirito di ricerca e potenziare il sapere scientifico.

Obiettivi Specifici conoscere il significato di costruzione eseguita con riga e compasso; realizzare costruzioni geometriche elementari utilizzando strumenti diversi; individuare e riconoscere proprietà di figure del piano; analizzare i limiti delle costruzioni geometriche realizzate; individuare e riconoscere l’equazione di alcune coniche; far riflettere sul concetto di impossibilità matematica; inquadrare l’argomento trattato in chiave storica ed interdisciplinare.

Metodologie problem-solving; suddivisione in gruppi; problem-solving; analisi del problema proposto con stimolo iniziale; apprendimento attraverso il fare, l’operare e attraverso le azioni ( learning by doing); coinvolgimento in un ambiente e in situazioni diverse da quelle quotidiane ( outdoor training); E-Learning.

Attività svolte a scuola Fase 1 ( Ricerca storica) Tempi: 4 ore Descrizione dell’attività: Gli alunni suddivisi in gruppi hanno effettuato via internet una ricerca storica sulle costruzioni con riga e compasso e sui problemi classici dell’antichità, quali: quadratura del cerchio, duplicazione del cubo, trisezione dell’angolo, la costruzione di un poligono regolare. Dopo aver fatto tale lavoro, hanno letto e sintetizzato le parti più importanti ed hanno implementato una presentazione in powerpoint.

Divertiamoci con riga e compasso Tempi: 2 ore Fase 2 Strumenti: scheda di lavoro; software Geogebra Descrizione dell’attività: Agli studenti è stata proposta una scheda di lavoro in cui è stato richiesto di realizzare semplici costruzioni con riga e compasso e di descrivere la procedura escogitata a partire da alcuni disegni indicativi della possibile strategia. Alcune di queste sono state realizzate anche con l’uso del software geometrico Geogebra. In un secondo momento, a partire dalle costruzioni effettuate, gli alunni sono stati invitati a proporre una possibile soluzione delle trisezione dell’angolo, della duplicazione del cubo e della quadratura del cerchio.

Scheda di lavoro Fase 2 Individuare con riga e compasso la costruzione del sottomultiplo di un segmento dato. 2) Costruzione di un quadrato con area doppia di uno dato Prima soluzione Disegnare un quadrato, tracciare una diagonale, costruire un quadrato sulla diagonale, tracciare le diagonali del nuovo quadrato. Il primo è diviso in …. triangoli rettangoli congruenti, l’altro in …… triangoli rettangoli congruenti ed un triangolo è comune ad entrambi i quadrati, quindi Q2 ha superficie doppia di Q1

Possibili soluzioni per la duplicazione del cubo Tempi: 6 ore Fase 3 Strumenti: scheda di lavoro; software Geogebra Descrizione dell’attività: Dopo aver affrontato nella fase 1 i problemi classici dell’antichità dal punto di vista storico, agli alunni è stata proposta una scheda di lavoro guidata, attraverso la quale e con l’ausilio del software Geogebra, sono state analizzate le possibili soluzioni della duplicazione del cubo. In questa fase gli studenti hanno incontrato alcune curve algebriche di cui hanno scritto l’equazione cartesiana ed hanno sviluppato le costruzioni geometriche che risolvono, attraverso esse, il problema della duplicazione del cubo.

Qual è la possibile ricaduta didattica? PROBLEMA 2 ( P.N.I. 2009/10) Nel piano riferito ad un sistema Oxy di coordinate cartesiane siano assegnate le parabole d’equazioni: y2 = 2x e x2 = y. a) Si disegnino le due parabole e se ne determinino le coordinate dei fuochi e le equazioni delle rispettive rette direttrici. Si denoti con A il punto d’intersezione delle due parabole diverso dall’origine O. b) L’ascissa di A è ; si dica a quale problema classico dell’antichità è legato tale numero Quesito n° 8 ( Liceo scientifico di ordinamento e P.N.I. 2011/12) In che cosa consiste la quadratura del cerchio? Perché è citato così spesso?