I triangoli

Il triangolo è un poligono che ha tre lati e tre angoli;

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

Punti notevoli del triangolo L’altezza E’il segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto. Ogni triangolo ha tre altezze che si incontrano in un punto detto ortocentro . B O A C H

Punti notevoli del triangolo C La mediana E’ il segmento condotto da un vertice al punto medio del lato opposto. Ogni triangolo ha tre mediane che si incontrano in un punto detto baricentro. G A B

Punti notevoli del triangolo La bisettrice è il segmento che divide l’angolo in due parti congruenti e che ha come estremi un vertice e un punto del lato opposto Ogni triangolo ha tre bisettrici che si incontrano in un punto detto incentro. C I A B

Punti notevoli del triangolo C L’asse è la retta perpendicolare al lato e passante per il suo punto medio.Ogni triangolo ha tre assi che si incontrano in un punto detto circocentro. B A

Triangolo Isoscele Angolo al vertice Lato obliquo Angoli alla base

Triangolo equilatero 60° 60° 60°

Triangolo rettangolo Ipotenusa Cateto minore 90° Cateto maggiore

Triangoli congruenti Dalla definizione di figure uguali, due triangoli sono congruenti se esiste un movimento rigido con il quale essi possono essere sovrapposti in modo da coincidere. Le due figure avranno tre angoli uguali e tre lati uguali. I criteri di congruenza riducono a tre gli elementi affinchè due triangoli siano uguali, di cui almeno uno sia un lato

1° Criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso Hp AB =A’B’, AC = A’C’ ^ ^ BAC =B’A’C’ Ts ABC = A’B’C’ A’ A B C B’ C’

Dimostrazione secondo Euclide Se il triangolo ABC è sovrapposto a A’B’C’ e il punto A viene a coincidere con A’ e la retta AB con la retta A’B’,anche il punto B coinciderà con B’ essendo AB =A’B’; anche la retta AC coinciderà con A’C’, essendo l’angolo BAC=A’B’C’, cosicchè pure il punto C coinciderà con C’, essendo AC=A’C’. Tuttavia anche B ha coinciso con B’, cosicchè la base BC coinciderà con B’C’. Quindi i due triangoli sono congruenti A B C A’ B’ C’ c.d.d. Dper edei deixai

2° Criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno congruente un lato e i due angoli ad esso adiacenti. …dimostriamolo per assurdo!!!

Procediamo per assurdo, quindi neghiamo la tesi … Per ipotesi abbiamo: AB ~ A'B' CAB ~ C'A'B' ABC ~ A'B'C' ^ ^ C ^ ^ C’ A’ B’ B A Procediamo per assurdo, quindi neghiamo la tesi …

…supponiamo quindi che i due triangoli non siano congruenti => AC ≠ A'C'. Ad esempio sia AC > A'C' => esisterà su AC un punto D tale che AD ~ A'C' … C D C’ A’ B’ B A

Consideriamo i triangoli ABD e A'B'C' Essi hanno: ^ ^ BAC =B’A’C’ per ipotesi AD ~ A’C’ per costruzione AB ~ A'B' per ipotesi I due triangoli sono quindi congruenti per il primo criterio, in particolare risulta ABD ~ A'B'C' D C’ A’ B’ …MA…

…ricordiamo che per ipotesi A'B'C' ~ ABC ^ ^ …ricordiamo che per ipotesi A'B'C' ~ ABC C A B C’ A’ B’ D …dalla diapositiva precedente risulta che ^ ^ ABD ~ A'B'C' …quindi per la proprietà transitiva si ha ^ ^ ABD ~ ABC

^ ^ ^ …ma affermare che ABD ~ ABC, è assurdo, perchè ABD è una parte di ABC, in quanto, per costruzione, la semiretta BD, di origine B, è interna all’angolo ABC. ^ ^ C A B C’ D B’ A’

Siamo giunti ad una contraddizione!!!!! …dobbiamo quindi concludere che non è possibile negare la tesi, che quindi risulta essere necessariamente vera… I due triangoli ABC e A'B'C' sono congruenti!!! c.v.d.

Una conseguenza di questi due teoremi è che: Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali In ogni triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è perpendicolare alla base e passa per il suo punto medio

3° Criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti i tre lati.

A A’ Trasporto il primo triangolo sotto al secondo in modo da far coincidere la base C’ B’ B C Unisco i due vertici Si vengono a formare due triangoli isosceli A’B’A” e A’C’A” che avranno gli angoli alla base A’A” uguali. Ergo gli angoli B’A’C’ e B’A”C’ saranno uguali A” ^ ^ c.v.d. Conseguenza di ciò è che i triangoli A’B’C’ e A”B’C’ saranno congruenti per il I criterio (due lati e l’angolo compreso uguali). Ma allora anche i triangoli ABC e A’B’C’ saranno congruenti in quanto ABC e A”B’C’ sono congruenti per costruzione.

La dimostrazione precedente è stata redatta da Filone di Bisanzio nel III secolo a.C.

Teorema dell’angolo esterno In un triangolo qualunque ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni ad esso non adiacenti C D A B

ABC è triangolo Hp CBD è angolo esterno Ts CBD  ACB e CBD  CAB ^ ^ ^ ^ ^ C F E A B D Conduco il segmento AF per il punto medio di CB, con AE =EF, e unisco F con B. Si vengono a formare due triangoli AEC e EBF

AEC = EBF Per il I criterio E A B C D F AE =EF per costruzione CE = EB per costruzione AEC=BEF opposti al vertice ^ ^ ACE=CBF ^ ^ Allora CBD  ACB Ora dimostriamolo per l’altro angolo

c.v.d. ADC = DBF Per il I criterio Dal vertice C conduco il segmento CF per il punto medio di AB, con AD = DB, e unisco F con C Si vengono a formare due triangoli ADC e DBF che risultano uguali in quanto D c.v.d. G ADC = DBF Per il I criterio F AD =DB per costruzione CD = DF per costruzione ADC=BDF opposti al vertice ^ ^ CAD=DBF ^ ^ ^ ^ ^ ^ Allora GBD  DBF , ma DBG = CBE perchè opposti al vertice, ergo CBE  CAD ^ ^

II teorema dell’angolo esterno In un triangolo qualsiasi la somma di due angoli interni è minore di un angolo piatto A B C D ^ ^ Ts ACB + CBA  180° ^ ^ ^ CBD ACB per il teorema precedente, sommo ABC ad entrambi i membri CBD +ABC  ACB +ABC ovvero 180°  ACB +ABC ^ ^ ^ ^ ^ ^ c.v.d.

Retta perpendicolare ad una retta data Per un punto di un piano passa una ed una sola retta perpendicolare a una retta data nello stesso piano Distinguiamo due casi

Primo caso: il punto appartiene alla retta Dato O  AB, si conduca la bisettrice di AOB, essa è unica perché è unica la semiretta che divide in due parti uguali un angolo. La bisettrice di un angolo piatto è un angolo retto O A B

Secondo caso: il punto non appartiene alla retta Dato C esterno ad AB, lo si congiunga con D AB. Costruisco dall’altra parte di AB ADP = ADC e DP = DC ^ ^ Il triangolo CDP è isoscele e DH È la bisettrice che è anche l’altezza Ergo: per C esiste la retta AB. C H K D B A c.v.d. Essa è unica perché se ce ne fosse un’altra, per esempio CK, Il triangolo CHK avrebbe due angoli retti P