Crittografia e numeri primi Piano Lauree Scientifiche Crittografia e numeri primi IV incontro lunedì 29 novembre 2010

Costruzione del messaggio cifrato 1: Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto. Elimino gli spazi : Questomessaggiononèpiùsegreto. Per il nostro esempio possiamo pensare di eliminare accenti e punteggiatura, Altrimenti dovremmo inserire altri caratteri… Questomessaggiononepiusegreto

Costruzione del messaggio cifrato 2: Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto. Questomessaggiononepiusegreto Dvido il testo in blocchi di tre lettere : Que sto mes sag gio non epi use gre to Aggiungo un carattere finale per fare in modo che tutti i blocchi abbiano lo stesso numero di lettere (di solito si aggiungono tante x quanti sono i caratteri mancanti, noi possiamo aggiungere le z) Que sto mes sag gio non epi use gre toz

Costruzione del messaggio cifrato 3: Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto. Que sto mes sag gio non epi use gre toz Traduco il messaggio utilizzando la tabella : Que sto mes sag gio non 141804 161712 100416 160006 060812 111211 epi use gre toz 041308 181604 061504 171220

Costruzione del messaggio cifrato 4: Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto. 141804 161712 100416 160006 060812 111211 041308 181604 061504 171220 Applico la funzione (Codice Cesare): f : Z1000000 Z1000000 | [m]  [m]+ [k] k=909090

Costruzione del messaggio cifrato 5: Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto. 141804 → 141804 + 909090 = 1050894 → 050894 161712 → 161712 + 909090 = 1070802 → 070802 100416 160006 060812 111211 041308 181604 061504 171220

Costruzione del messaggio cifrato 6: Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto. 141804 161712 100416 160006 060812 111211 041308 181604 061504 171220 050894 070802 009506 069096 969902 020301 950398 090694 970594 080310

f-1 : Z1000000 Z1000000 | [m’]  [m’]+ [k’] Decifratura del messaggio cifrato 7: Testo da decifrare: 050894 070802 009506 069096 969902 020301 950398 090694 970594 080310 Determino la funzione inversa di decifratura f-1 : Z1000000 Z1000000 | [m’]  [m’]+ [k’] k’=1000000-k= =1000000-909090=090910

Decifratura del messaggio cifrato 8: Testo da decifrare: 050894 → 050894 + 090910 = 141804 070802 → 070802 + 090910 = 161712 009506 069096 969902 020301 950398 090694 970594 080310 Una volta convertito il messaggio numerico utilizzo nuovamente la tabella dei caratteri per tradurre

f : Z1000000 Z1000000 | [m] [a] [m]+ [b] Costruzione del messaggio cifrato 9: Questo messaggio non è più segreto. 141804 161712 100416 160006 060812 111211 041308 181604 061504 171220 Se invece avessi voluto utilizzare una funzione affine: f : Z1000000 Z1000000 | [m] [a] [m]+ [b] Devo verificare che MCD([a],[n])=1 Devo calcolare [a]-1 Lavoriamo con numeri più semplici (costruiamo per esempio blocchi da due caratteri): n=1191, [a]=[46]

Utilizzando il metodo delle divisioni successive, calcola MCD (1191, 46) a b resto = * quoziente + 1191 46

a b resto = * quoziente + 1191 46 41 25 5 1 8 MCD (1191, 46) = 1

Ricostruisci ora l’identità di Bézout: MCD =

Ricostruisci ora l’identità di Bézout: MCD 1 = 41 – 5*8 41 – (46 – 41*1)*8 41 – 46*8 + 41*8 41*9 – 46*8 (1191 – 46*25)*9 – 46*8 1191*9 – 46*225 – 46*8 1191*9 – 46*233 In conclusione si può riscrivere: 1 = * + MCD s a t b Quindi l’inverso di 46, modulo 1191, è _______

Ricostruisci ora l’identità di Bézout: MCD 1 = 41 – 5*8 41 – (46 – 41*1)*8 41 – 46*8 + 41*8 41*9 – 46*8 (1191 – 46*25)*9 – 46*8 1191*9 – 46*225 – 46*8 1191*9 – 46*233 In conclusione si può riscrivere: 1 = 9 * 1191 + – 233 46 MCD s a t b Quindi l’inverso di 46, modulo 1191, è [– 233 ] = [958]

Quanti sono gli elementi invertibili di Z5? Quante sono le chiavi per cifrare con la moltiplicazione p  [a]  [p] modulo 5?

Se n è primo, quanti sono gli elementi invertibili di Zn? Se n è primo, quante sono le chiavi per cifrare con la moltiplicazione p  [a]  [p] modulo n?

Fai l’elenco dei numeri a con 0 < a < 15 e tali che MCD (a, 3) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________ Fai l’elenco dei numeri a con 0 < a < 15 e tali che MCD (a, 5) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________

{ _______________________ }. Quanti sono? ______________ Fai l’elenco degli a con 0 < a < 15 tali che MCD (a, 3) > 1 e MCD (a, 5) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________ Quanti sono i numeri a con 0 < a < 15 tali che MCD (a, 15) = 1 (quanti sono cioè gli invertibili in Z15)? ________________

Fai l’elenco dei numeri a con 0 < a < 21 e tali che MCD (a, 3) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________ Fai l’elenco dei numeri a con 0 < a < 21 e tali che MCD (a, 7) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________

{ _______________________ }. Quanti sono? ______________ Fai l’elenco degli a con 0 < a < 21 tali che MCD (a, 3) > 1 e MCD (a, 7) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________ Quanti sono i numeri a con 0 < a < 21 tali che MCD (a, 21) = 1 (quanti sono cioè gli invertibili in Z21)? ________________

Sia n il prodotto di due primi distinti: n = p  q Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che sono divisibili per p? ________________ Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che sono divisibili per q? ________________

Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che NON sono coprimi con n? _____________________________ Quanti sono gli elementi invertibili in Zn?

Elevamento a potenza

Potenze in Z5

Potenze in Z5 1 2 4 3 x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^10   x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^10 1 2 4 3 Osservazioni: gli esponenti pari non producono una funzione biunivoca ci sono colonne particolari [1] le potenze si ripetono con ciclicità – alcune funzioni coincidono…

Perché [m]2 non funziona? [1]2=[1] [n-1]2= (n-1)2=n2-2n+1

[x]11=[x]4*2+3 =[x]4*2[x]3 = =([x]4)2[x]3= =[1]2[x]3=[x]3 Potenze in Z5 [x]11=[x]4*2+3 =[x]4*2[x]3 = =([x]4)2[x]3= =[1]2[x]3=[x]3

Potenze in Z7 1 2 4 3 6 5 x x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13   x x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 1 2 4 3 6 5

Potenze Modulo 10   x x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 1 2 4 8 6 3 9 7 5

Potenze in Z11 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 1 2 4 8 5 10 9 7 3 6 12

Potenze modulo 21 x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^10 x^11 x^12   x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^10 x^11 x^12 x^13 x^14 x^15 x^16 x^17 x^18 x^19 x^20 1 2 4 8 16 11 3 9 6 18 12 15 5 20 17 7 10 13 19 14

Decifratura con Potenze in Z5 Quale potrebbe essere la funzione di decifratura?   x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^10 1 2 4 3

Decifratura con Potenze in Z5 x 1 2 3

Decifratura con Potenze in Z5   x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^10 1 2 4 3

Teorema di Fermat