Il Laboratorio di Matematica ( non-solo-computer ) Mariolina Bartolini Bussi Laboratorio delle Macchine Matematiche Università di Modena e Reggio Emilia bartolini@unimore.it - http://www.mmlab.unimore.it

Fino dall’antichità gli strumenti sono stati parte dell’attività matematica

Fino dall’antichità gli strumenti sono stati parte dell’attività matematica

Fino dall’antichità gli strumenti sono stati parte dell’attività matematica Eratostene Nicomede

Fino dall’antichità gli strumenti sono stati parte dell’attività matematica Descartes Newton

Collezioni degli istituti Fino dall’antichità gli strumenti sono stati parte dell’attività matematica Collezioni degli istituti matematici

Laboratorio di Matematica (dal Curricolo Matematica 2003 Oggi Laboratorio di Matematica (dal Curricolo Matematica 2003 – dell’UMI – CIIM) Il laboratorio di matematica non costituisce un nucleo di contenuto né uno di processo, ma si presenta come una serie di indicazioni metodologiche trasversali, basate certamente sull’uso di strumenti, tecnologici e non, ma principalmente finalizzate alla costruzione di significati matematici.

Che cos’è il laboratorio di matematica Oggi Che cos’è il laboratorio di matematica Il laboratorio di matematica non è (necessariamente) un luogo fisico diverso dalla classe, è piuttosto un insieme strutturato di attività volte alla costruzione di significati degli oggetti matematici. Il laboratorio, quindi, coinvolge persone (studenti e insegnanti), strutture (aule, strumenti, organizzazione degli spazi e dei tempi), idee (progetti, piani di attività didattiche, sperimentazioni). Laboratorio di Matematica (dal Curricolo Matematica 2003 – dell’UMI – CIIM)

L’ambiente del laboratorio di matematica è Oggi L’ambiente del laboratorio di matematica è in qualche modo assimilabile a quello della bottega rinascimentale, nella quale gli apprendisti imparavano facendo e vedendo fare, comunicando fra loro e con gli esperti. La costruzione di significati, nel laboratorio di matematica, è strettamente legata, da una parte, all'uso degli strumenti utilizzati nelle varie attività, dall'altra, alle interazioni tra le persone che si sviluppano durante l’esercizio di tali attività. Laboratorio di Matematica (dal Curricolo Matematica 2003 – dell’UMI – CIIM)

È necessario ricordare che uno strumento è Oggi È necessario ricordare che uno strumento è sempre il risultato di un'evoluzione culturale, che è prodotto per scopi specifici e che, conseguentemente, incorpora idee. Sul piano didattico ciò ha alcune implicazioni importanti: innanzitutto il significato non può risiedere unicamente nello strumento né può emergere dalla sola interazione tra studente e strumento. Laboratorio di Matematica (dal Curricolo Matematica 2003 – dell’UMI – CIIM)

Il significato risiede negli scopi per i quali lo strumento è usato, Oggi Il significato risiede negli scopi per i quali lo strumento è usato, nei piani che vengono elaborati per usare lo strumento; l’appropriazione del significato, inoltre, richiede anche riflessione individuale sugli oggetti di studio e sulle attività proposte. Laboratorio di Matematica (dal Curricolo Matematica 2003 – dell’UMI – CIIM)

Esempi riguardanti la geometria Materiali poveri Macchine matematiche Oggi Esempi riguardanti la geometria Materiali poveri Macchine matematiche Software di geometria dinamica Laboratorio di Matematica (dal Curricolo Matematica 2003 – dell’UMI – CIIM)

Una macchina matematica (geometria) è un artefatto che ha uno scopo fondamentale (indipendente dall’uso che poi se ne farà): obbligare un punto, o un segmento, o una figura qualsiasi (sostenuti da un opportuno supporto materiale che li renda visibili) a muoversi nello spazio o a subire trasformazioni seguendo con esattezza una legge astrattamente, matematicamente determinata. (Marcello Pergola, 1992)

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nel Laboratorio di Modena

nella scuola

Il prospettografo nella scuola elementare (MO) Età degli allievi: 4a e 5a elementare Obiettivi della ricerca: studio di processi per la costruzione del significato di piramide visiva .. Durata: circa un anno Ambiente e strumenti utilizzati: classe, laboratorio informatico, mostra; prospettografo di Dürer, carta e matita, fonti storiche, animaz. fotoreal. Modalità di organizzazione: individuale; piccoli gruppi; grande gruppo (discussione matematica); visita guidata alla mostra ecc.

Strumenti matematici e strumenti quotidiani (Australia) Età degli allievi: “terza media” Obiettivi della ricerca: studio di processi nella produzione di congetture e dimostrazioni Durata: molti mesi Ambiente e strumenti utilizzati: classe, laboratorio informatico, strumenti vari, animazioni…. Modalità di organizzazione: individuale; a coppie; con insegnante.

Studio di elissografi (MO-TO) Età degli allievi: terza liceo scientifico Obiettivi della ricerca: studio di processi nella produzione di congetture e dimostrazioni Durata: una sessione di due ore Ambiente e strumenti utilizzati: carta, matita, elissografo .. Modalità di organizzazione: piccolo gruppo

Macchine mentali: l’ellisse come sezione conica (MO-PI) Età degli allievi: 3-4 anno Università Obiettivi della ricerca: Come si mobilizzano le conoscenze in una situazione conflittuale? .. Durata: una sessione di due ore Ambiente e strumenti utilizzati: carta, matita, forbici, nastro adesivo….. Modalità di organizzazione: piccolo gruppo; intervento in un dialogo storico immaginario. (Durer, 1525)

Strumenti matematici e strumenti quotidiani (Australia) Età degli allievi: “terza media” Obiettivi della ricerca: studio di processi nella produzione di congetture e dimostrazioni Durata: molti mesi Ambiente e strumenti utilizzati: classe, laboratorio informatico, strumenti vari, animazioni…. Modalità di organizzazione: individuale; a coppie; con insegnante. In questo esperimento didattico si usano strumenti reali e strumenti “modellati” (virtuali)

Strumenti matematici e strumenti quotidiani (Australia) Età degli allievi: “terza media” Obiettivi della ricerca: studio di processi nella produzione di congetture e dimostrazioni Durata: molti mesi Ambiente e strumenti utilizzati: classe, laboratorio informatico, strumenti vari, animazioni…. Modalità di organizzazione: individuale; a coppie; con insegnante. Il modelling può essere anche l’oggetto dell’esperimento

Il modelling sta alla base del quadro di riferimento per la matematica dell’indagine OCSE – PISA Mathematical Literacy: capacità di un individuo di identificare e comprendere il ruolo che la matematica gioca nel mondo reale, di operare valutazioni fondate, di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa in modi che rispondono alle esigenze della vita di quell’individuo in quanto cittadino che esercita un ruolo costruttivo, impegnato e basato sulla riflessione

Concezione “ingenua” modelling Mondo extramatematico Matematica applicazioni

modelling Mondo 1 Mondo 2 applicazioni

dei tracciatori di curve Esempio: un’applicazione della teoria ‘classica’ Il parabolografo di Cavalieri Geometria cinematica dei tracciatori di curve Geometria delle sezioni coniche applicazioni

Esempio: un’applicazione della teoria ‘classica’ Il parabolografo di Cavalieri incorpora, come propria legge, il sintomo di Menecmo. La proporzione di Menecmo diviene operante, governa la macchina, costruisce la conica nel piano.

Menecmo DE : EB = EB : FE. VHA simile a EAF, AV : FE = HA : AE = 2 HA : 2 AE = IA : 2 AE = DE : 2 AE. AV : FE = DE : 2 AE. 2 AE AV = FE DE = EB EB. 2 AV AE = EB EB.

Menecmo DE : EB = EB : FE. VHA simile a EAF, AV : FE = HA : AE = 2 HA : 2 AE = IA : 2 AE = DE : 2 AE. AV : FE = DE : 2 AE. 2 AE AV = FE DE = EB EB. 2 AV AE = EB EB. applicazione teoria

Menecmo DE : EB = EB : FE. VHA simile a EAF, AV : FE = HA : AE = 2 HA : 2 AE = IA : 2 AE = DE : 2 AE. AV : FE = DE : 2 AE. 2 AE AV = FE DE = EB EB. 2 AV AE = EB EB. applicazione teoria

Menecmo Cavalieri DE : EB = EB : FE. AE : EB = EB : EK VHA simile a EAF, AV : FE = HA : AE = 2 HA : 2 AE = IA : 2 AE = DE : 2 AE. AV : FE = DE : 2 AE. 2 AE AV = FE DE = EB EB. 2 AV AE = EB EB. AE : EB = EB : EK E, posto: y = EB; x = AK, si scrive (variabili) y2 = 2px Equazione canonica della parabola.

modelling Matematica Cabri-geometria Costruire in Cabri un modello virtuale del parabolografo di Cavalieri, che simuli il funzionamento dello strumento reale e tracci un arco di parabola.

Passi del processo: 1: Comprendere il compito ed esaminare lo strumento; Comprendere, anche misurando, che vi sono vincoli (guida di scorrimento; punti fissi; aste di lunghezza fissa; angoli fissi) e movimenti. 2: Comprendere che alcune parti e/o caratteristiche sono inessenziali per una modelliz. geometrica (le viti, lo spessore, le fessure nelle aste, ecc.) Costruire in Cabri un modello virtuale del parabolografo di Cavalieri, che simuli il funzionamento dello strumento reale e tracci un arco di parabola.

3: segnare sul foglio Cabri gli elementi fissi (punti, guida) Passi del processo: 3: segnare sul foglio Cabri gli elementi fissi (punti, guida) e scegliere il valore del parametro (asta di lunghezza fissa EK); scegliere un punto direttore da cui dipenderà il moto. 4: costruire ‘intorno’ agli elementi già segnati il resto dello strumento; questa costruzione è vincolata dalla logica del software. E K Costruire in Cabri un modello virtuale del parabolografo di Cavalieri, che simuli il funzionamento dello strumento reale e tracci un arco di parabola.

5. Interpretare il modello, muoverlo (dragging), Passi del processo: 5. Interpretare il modello, muoverlo (dragging), Verificare se l’arco di parabola è tracciato 6. Validare il modello, verificando se il suo funzionamento corrisponde a quanto desiderato. Studiare limiti (traccia lo stesso arco?) e potenzialità (es. cambiare il parametro); Ci sono variazioni al variare della lunghezza delle aste? 7. Presentare il modello E K Costruire in Cabri un modello virtuale del parabolografo di Cavalieri, che simuli il funzionamento dello strumento reale e tracci un arco di parabola.

Concezione “ingenua” o, almeno, incompleta

Un utilizzo ‘realistico’ del risultato della modellizzazione: Stabilire la lunghezza delle aste e la grandezza della tavoletta per costruire un modello di legno.

applicazioni Geometria delle sezioni coniche Geometria cinematica dei tracciatori di curve Cabri geometria modelling

grazie per l'attenzione! Mariolina Bartolini Bussi bartolini@unimore.it www.mmlab.unimore.it