Campo Elettrico Definizione operativa di campo elettrico: Il vettore campo elettrico associato ad una determinata carica sorgente Q, posta in un punto a dello spazio, in un punto P è dato dalla forza esercitata su una carica di prova q0 posta nel punto P divisa per la carica q0. A + + Il campo elettrico è diretto radialmente rispetto alla carica che lo ha generato ed è proporzionale alla carica che lo ha generato. Tale definizione di campo elettrico è indipendente dalla carica di prova (purchè sia piccola e/o molto lontana dalle cariche che generano E) e prescinde dal manifestarsi di una forza misurabile. Proprio in virtù dell’equazione (1) il campo elettrico potrà essere valutato misurando la forza esercitata su una carica di prova

Nel caso di una carica puntiforme è facile verificare che il campo elettrico è diretto radialmente rispetto alla carica sorgente che lo ha generato ed è proporzionale alla carica che lo ha generato. A +

A - - A - +

Il Campo elettrico è un vettore definito in ogni punto dello spazio che circonda la carica sorgente. Dire che è definito significa dire che in ogni punto ne conosco l’intensità, la direzione e il verso. Nel caso di una distribuzione di cariche il campo elettrico in un punto è la somma dei singoli campi elettrici generati dalle singole cariche, così come la forza risultante è data dalla somma delle diverse forze agenti su una caria esplorativa posta in quel punto

Nel caso di corpi carichi non puntiformi la determinazione del campo elettrico è un po’ più complessa: possiamo determinarla sperimentalmente attraverso una carica di prova possiamo considerare il corpo carico come un insieme di infinite porzioni di carica che possono essere considerate cariche puntiformi e calcolare il campo elettrico in ogni punto sommando i campi elettrici generati dalle singole porzioni di cariche. Ogni carica modifica lo spazio nel senso che genera un campo di forze: ogni carica esplorativa posta in un qualunque punto dello spazio è attratta o respinta da una forza elettrostatica che varia al variare della posizione, direttamente proporzionale alla carica sorgente

È possibile rappresentare il campo elettrico attraverso le linee di campo o di forze. Sono delle curve orientate, tangenti punto per punto al vettore campo elettrico generato da una certa sorgente, aventi lo stesso verso del campo elettrico

In ogni punto passa una e una sola linea di campo Le linee di forza del campo elettrico partono dalla carica positiva e confluiscono nella carica negativa (o all’infinito). Le linee non si creano e non si distruggono nello spazio tra le cariche. - q + q + 2q L’intensità del campo elettrico in ogni punto è proporzionale al numero di linee che intercettano perpendicolarmente l’area unitaria

Alcuni esempi di linee di forza

Flusso di un campo vettoriale Un modo per valutare l’intensità del campo vettoriale è quello di valutare quante linee di flusso fluiscono attraverso una superficie ben definita nello spazio. Questo dipende dalla estensione della superficie e anche da come la superficie è orientata rispetto alla direzione del campo. Consideriamo un campo vettoriale costante e una superficie S piana e indichiamo con il versore perpendicolare a S. Le linee di campo attraversano perpendicolarmente la su-perficie, i vettori e sono paralleli e concordi. FLUSSO MASSIMO = Le linee di campo attraversano perpendicolarmente la su-perficie, i vettori e sono paralleli e concordi. FLUSSO MINIMO = Le linee di campo giacciono sulla la superficie, i vettori e sono perpendicolari. FLUSSO NULLO

Le linee di campo attraversano obliquamente la superficie, il vettore ha due componenti, la componente perpendicolare al piano e la componente parallela al piano. Solo la componente perpendicolare al piano Vn attraversa la superficie quindi il flusso è dato da dove è l’angolo formato tra i vettori e . In generale, possiamo definire il flusso di un campo vettoriale costante su una superficie piana come :

per ogni calottina calcoliamo il flusso parziale: Se il campo vettoriale non è costante o la superficie S non è piana allora possiamo suddividere la superficie S in tante porzioni Δsi dove sono rispettate le condizioni. ΔSi Dividiamo S in n elementi Si che si possano considerare piani, in cui sia circa costante. Più precisamente sono “così piccoli” che l’errore, che si commette approssimando la calottina con una superficie piana Δsi e il campo elettrico su tale porzione con il valor medio , può essere considerato trascurabile. Questo accade se il numero n è molto grande o meglio tende a infinito. per ogni calottina calcoliamo il flusso parziale:

troviamo il flusso totale come somma di tutti i contributi: Teorema di Gauss: il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa (gaussiana) è direttamente proporzionale alla somma algebrica delle cariche interne alla superficie.

Il valore del flusso non dipende: dalla forma della superficie  (purché chiusa). A questo proposito si fa notare che la superficie gaussiana è una superficie geometrica e non necessariamente fisica. da come è distribuita la carica interna. dalle eventuali cariche esterne. Per entrambe le superfici,  = 3q/.

Se la distribuzione delle cariche è simmetrica il teorema permette di calcolare molto rapidamente l’intensità del campo elettrico. La dimostrazione del teorema è piuttosto complessa, possiamo però mostrane una versione semplificata. Consideriamo il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q positiva. Sappiamo che il campo elettrostatico è radiale, che le linee di campo sono orientate verso l’esterno e che il campo elettrico ha uguale intensità in punti posti alla stessa distanza da Q, quindi scegliamo come superficie gaussiana S una sfera con centro in Q e passante per il punto dove vogliamo calcolare il campo elettrico. Dividendo  in n parti, si avranno Si ed Ei entrambi con direzione radiale verso uscente quindi Tutti gli Ei hanno lo stesso valore e dove è l’angolo solido che sottende

Il flusso parziale è È da notare che il flusso parziale non dipende da r ma solo dalla carica Q e dall’angolo solido . Il flusso totale è: La dimostrazione può essere estesa ad una qualunque superficie gaussiana che passa per P, infatti si riesce comunque a dimostrare che il flusso infinitesimo su una porzione non dipende dalla distanza dalla carica ma solo dall’apertura dell’angolo solido che sottende . Se abbiamo più cariche il campo elettrico risultante è dato dalla somma dei singoli campi elettrici quindi il flusso su una qualunque superficie gaussiana che le racchiude entrambe è:

Se la superficie gaussiana non racchiude cariche, ma è semplicemente immersa in un campo elettrico esterno si può dimostrare che il flusso totale è nullo Il conetto di vertice Q ha in comune con la superficie in due calottine di superficie e Non dobbiamo dimenticare che il flusso infinitesimo dipende solo dall’apertura dell’angolo solido del conetto e dalla carica Q, quindi: Q Quindi: Questo risultato è vero per ogni conetto di vertice Q quindi il flusso totale è nullo.

Campo elettrico generato da un filo uniformemente carico Abbiamo mostrato, anche se in maniera poco rigorosa, come il flusso totale del campo elettrostatico su una qualunque superficie chiusa è direttamente proporzionale alle cariche racchiuse dalla superficie. Utilizzando il teorema di Gauss calcolare il campo elettrico in prossimità di distribuzioni di carica dotate di particolari simmetria. Campo elettrico generato da un filo uniformemente carico Consideriamo un filo di lunghezza infinita, uniformemente carico, di densità lineare di carica λ Si dimostra che, per motivi di simmetria, il campo elettrico è radiale, nel nostro caso orientato verso l’esterno. Sempre per motivi di simmetria il campo elettrico ha la stessa intensità in tutti i punti aventi la stessa distanza r dal filo. Come superficie gaussiana passante per un punto P è

è parallelo alla superficie conveniente considerare una superficie cilindrica, avente per asse il filo stesso e per raggio di base la distanza r di P dal filo. Calcoliamo il flusso del campo elettrico generato dal tratto di filo racchiuso dalla superficie: Quindi: Per il teorema di Gauss , quindi L’intensità del campo elettrostatico è direttamente proporzionale alla densità di carica e inversamente proporzionale alla distanza del filo. è parallelo alla superficie Ei è costante

Ovviamente non esistono fili di lunghezza infinita, ma tale modello può essere applicato per un punto P che si trova lungo l’asse del filo o nel caso di una distanza r dal filo così piccola da poter considerare il filo infinitamente lungo. Campo elettrico generato da una lamina uniformemente carica Consideriamo una lamina infinita, uniformemente carica, di densità superficiale di carica σ Si dimostra che, per motivi di simmetria, il campo elettrico è perpendicolare alla superficie, nel nostro caso orientato verso l’esterno. Sempre per motivi di simmetria il campo elettrico ha la stessa intensità in tutti i punti P dello spazio. Come superficie gaussiana passante per un punto P è

Per il teorema di Gauss , quindi conveniente considerare una superficie cilindrica, avente per asse una retta perpendicolare alla lamina e area di base ΔS. Calcoliamo il flusso del campo elettrico generato dalla porzione di lamina ΔS : Per il teorema di Gauss , quindi L’intensità del campo elettrostatico dipende solo dalla densità superficiale di carica ed è indipendente dalla distanza dalla lamina. è parallelo alla superficie laterale è perpendicolare alle superfici di base

Ovviamente non esistono lamine di dimensioni infinite, ma tale modello può essere applicato per un punto P che si trova lungo l’asse di una lamina o a una distanza dalla lamina così piccola rispetto alle dimensioni della lamina stessa da poter considerare la lamina infinita.

Q + + Campo elettrostatico generato da una sfera conduttrice carica Consideriamo una sfera metallica di raggio R carica. Si verifica sperimentalmente che le cariche si distribuiscono uniformemente sulla superficie esterna, sia nel caso di sfere cave che nel caso di sfere piene. Calcoliamo il campo elettrico all’esterno della sfera. Si dimostra che a causa della simmetria della distribuzione di carica il campo elettrico è radiale e che possiede la stessa intensità in punti P posti alla stessa distanza dal centro della sfera carica. Consideriamo un punto P posto alla distanza r dal centro della sfera carica, con r > R Q + + + r R Come superficie gaussiana è conveniente prendere una superficie sferica, concentrica con la sfera carica: il campo elettrico è costante su tutta la superficie e perpendicolare ad essa. Calcoliamo il flusso:

Applichiamo il teorema di Gauss: Quindi Il campo elettrostatico è identico a quello generato da una carica puntiforme posta nel centro della sfera. Calcoliamo il campo elettrico all’interno della sfera: qualunque superficie gaussiana non contiene cariche quindi il campo elettrico è nullo (è stato già verificato sperimentalmente e dimostrato con la legge di Coulomb) E R r

Campo elettrostatico generato da una sfera uniformemente carica Consideriamo una sfera di materiale isolante di raggio R, uniformemente carica e indichiamo con ρ la densità di carica per unità di volume. Possiamo immaginare la sfera uniformemente carica composta da infiniti gusci concentrici uniformemente carichi. Calcoliamo il campo elettrico all’esterno della sfera. Data la simmetria della distribuzione di carica il campo elettrico è radiale e possiede la stessa intensità in punti P posti alla stessa distanza dal centro della sfera carica. Consideriamo un punto P posto alla distanza r dal centro della sfera carica, con r > R, analogamente a quanto abbiamo visto per la sfera conduttrice carica si dimostra che Q + + + r R

Q’ è la quantità di carica racchiusa dalla sfera quindi vale Consideriamo un punto P all’interno della sfera, posto quindi a una distanza r dal centro minore del raggio della sfera. Consideriamo come superficie gaussiana una sfera concentrica passante per P. Tale superficie divide la sfera carica in due parti: una sfera carica di raggio r e una corona sferica di spessore (R-r) La corona sferica possiamo considerarla come l’unione di infiniti gusci sferici carichi aventi raggi r’ r<r’ <R Ciascuno di questi gusci genera un campo nullo in P quindi il campo elettrostatico in P è dato solo dagli infiniti gusci che costituiscono la sfera di raggio r, quindi sarà radiale e avrà intensità P Q’ è la quantità di carica racchiusa dalla sfera quindi vale

Sostituendo si ottiene L’intensità del campo è direttamente proporzionale alla densità di carica e alla distanza dal centro. Ricordando che Si ha: Qundi il campo elettrostatico risulta

E r R