Corso di Fisica - Cinematica Prof. Massimo Masera Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Anno Accademico 2011-2012 dalle lezioni del prof. Roberto Cirio Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia

La lezione di oggi La cinematica Velocità Accelerazione Il moto del proiettile Salto verticale

Meccanica e cinematica Meccanica: studio del moto gli oggetti forze esterne dimensioni massa distribuzione della massa Cinematica (dal greco kinema, moto): studio del moto indipendentemente da cosa lo ha causato unidimensionale: moto lungo una linea retta moto uniforme e accelerato

Posizione, cammino, spostamento Velocità, accelerazione Il moto rettilineo uniforme in 2D Il generico moto in 2D Il moto del proiettile

Sistema di coordinate cartesiane direzione 1 2 3 4 5 6 7 8 9 scala origine verso unità di misura m

Sistema di coordinate cartesiane m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xfinale è maggiore di xiniziale xfinale > xiniziale xf > xi

Sistema di coordinate cartesiane m 9 8 7 6 5 4 3 2 1 xfinale è minore di xiniziale xfinale < xiniziale xf < xi

La persona in figura è alla posizione x = 3 m m 9 8 7 6 5 4 3 2 1 La persona in figura è alla posizione x = 3 m

Cammino CAMMINO (quantità sempre positiva) lunghezza complessiva del tragitto Casa amico  Casa tua  Drogheria Cammino = 2.1 km + 4.3 km = 6.4 km

Spostamento SPOSTAMENTO (positivo o negativo) Dx = xfinale – xiniziale Cambiamento di posizione = (Posizione finale – Posizione iniziale) Dx = xfinale – xiniziale Dx = xf – xi

Esercizio cammino totale = 6 caselle = 6 x 2.5 cm = 15 cm Un giocatore di scacchi esegue la sua mossa, spostando la regina di 4 caselle verso nord e di 2 caselle verso ovest (lato casella = 2.5 cm). Determinare il cammino totale percorso dalla regina e lo spostamento. N E S W cammino totale = 6 caselle = 6 x 2.5 cm = 15 cm spostamento = √ 16 + 4 = 4.5 caselle = 4.5 x 2.5 cm = 11.25 cm

Posizione, cammino, spostamento Velocità, accelerazione Il moto rettilineo uniforme in 2D Il generico moto in 2D Il moto del proiettile

Moto rettilineo. Legge oraria Descrive la posizione di un oggetto in funzione del tempo A fianco è data una rappresentazione grafica di un esempio di legge oraria Questa rappresentazione è utile per introdurre il concetto di velocità Velocità media Unità di misura: m/s

Velocità media è la pendenza della retta che unisce due punti sulla curva x(t) La velocità è una grandezza vettoriale.

Velocità media Moto rettilineo lungo x Dimensioni: [L T-1] Unità di misura (Sistema Internazionale): m s-1 NOTA Tempo impiegato è sempre > 0 Spostamento può essere < > 0 Velocità media può essere < > 0

Velocità istantanea Il corpo varia la sua posizione in modo continuo da un punto al successivo, percorrendo in “piccoli” intervalli di tempo “piccole” traiettorie.

in 1 secondo, la velocità è variata di tot metri al secondo Accelerazione media Unità di misura (Sistema Internazionale): m s-2 La interpreto come: in 1 secondo, la velocità è variata di tot metri al secondo

Accelerazione istantanea NOTA Quando parleremo di velocità e accelerazione, intenderemo SEMPRE velocità istantanea e accelerazione istantanea. Se si tratta di velocità (accelerazione) media, lo si deve indicare esplicitamente

Le equazioni del moto uniformemente accelerato x x aumenta con il quadrato del tempo x0 t v v aumenta linearmente con il tempo v0 t a a = cost t

Velocità vs. spazio

Esercizio Un bambino lancia dal balcone una pallina verso l’alto, verticalmente, con velocità iniziale di 6 m/s. Determinare: l’altezza massima raggiunta dalla pallina (spazio totale percorso dall’oggetto in salita) il tempo impiegato dalla pallina per raggiungere la massima altezza

Esercizio Soluzione Per determinare l’altezza massima raggiunta dalla pallina nel suo moto verticale, si prende in considerazione la legge oraria del moto uniformemente accelerato (con so = 0; a = -g = -9.8 m/s2 ) s = hmax = (6 m/s)2 / (2×9.8 m/s2) = 1.8 m Il tempo impiegato dalla pallina a raggiungere l’altezza massima si ricava da: v0 -g

Vettori posizione e spostamento Vettore Posizione ovvero sono nel punto P1 Vettore Spostamento ovvero vado da P1 a P2 P2 P1

e sono paralleli Vettore velocità Dt è uno scalare La velocità istantanea è tangente alla traiettoria in ogni istante

Il vettore accelerazione e sono paralleli... ... ma ... cosa importantissima ... mentre segue il moto, in generale non lo segue  l’accelerazione non è generalmente parallela alla velocità

Determinare la velocità media del camion. Esercizio Un camion si muove di moto rettilineo uniforme percorrendo una distanza pari a 110 km in 57 minuti. Determinare la velocità media del camion. spazio percorso Dx = 110 km tempo impiegato Dt = 57 min = (57 / 60) = 0.95 h Soluzione vmedia = Dx / Dt = 110 km / 0.95 h = 116 km/h

Posizione, cammino, spostamento Velocità, accelerazione Il moto rettilineo uniforme in 2D Il generico moto in 2D Il moto del proiettile

Il moto in due dimensioni e.g.: il moto del proiettile Si applica a qualunque corpo sottoposto solo alla forza gravitazionale (forza peso)  accelerazione costante Proiettile  Generico corpo Il segreto: Applicare le equazioni del moto unidimensionale lungo i due assi cartesiani

Moto rettilineo uniforme in 2D

Moto rettilineo uniforme in 2D

Moto rettilineo uniforme in 2D

Moto rettilineo uniforme in 2D A O

Moto rettilineo uniforme in 2D A O

Moto rettilineo uniforme in 2D

Moto rettilineo uniforme in 2D

Moto rettilineo uniforme in 2D Condizioni al contorno  Metodo ‘1’

Moto rettilineo uniforme in 2D Condizioni al contorno  Metodo ‘2’

Moto rettilineo uniforme in 2D: equazioni generali

Composizione dei moti: esempio Una persona sta scendendo dalla scaletta di un vagone merci. Il vagone si muove di moto rettilineo uniforme con v=0.70 m/s, e la persona scende con moto rettilineo uniforme con v=0.20 m/s. Quali sono modulo e verso della velocità della persona rispetto al suolo? Vts velocità del treno rispetto al suolo Vpt velocità della persona rispetto al treno Vps velocità della persona rispetto al suolo q

Esercizio Soluzione Si esprimono in componenti i vettori velocità del treno rispetto al suolo (vts) e della persona rispetto al treno (vpt): Il vettore velocità della persona rispetto al suolo è quindi Modulo e verso di questo vettore sono dati rispettivamente da …

Posizione, cammino, spostamento Velocità, accelerazione Il moto rettilineo uniforme in 2D Il generico moto in 2D Il moto del proiettile

Generico moto in 2D con accelerazione costante Nota Questo sistema di equazioni permette la soluzione di qualunque problema di cinematica in 2 dimensioni (accelerazione costante)

Posizione, cammino, spostamento Velocità, accelerazione Il moto rettilineo uniforme in 2D Il generico moto in 2D Il moto del proiettile

Il moto di un proiettile Un proiettile è un qualunque corpo che, avendo una certa velocità iniziale, sia sottoposto esclusivamente al campo gravitazionale

Moto di un proiettile Ipotesi: Ho solo accelerazione di gravità trascuro la resistenza dell’aria (piuma vs. ferro) L’accelerazione di gravità è costante (quota) trascuro la rotazione della Terra (missili intercontinentali) Ho solo accelerazione di gravità (sulla Terra g = 9.81 ms-2), diretta verso il basso

Relatività galileiana Moto di un proiettile L’accelerazione è uguale nei 2 casi Relatività galileiana Caduta di un grave

Equazioni del moto di un proiettile L’ipotesi è che:

Lancio ad angolo 0o V0,x

La traiettoria è parabolica parabola

Gittata: (velocità scalare media) x (tempo di caduta) La gittata Domanda: Dove atterra un proiettile lanciato orizzontalmente,da altezza h e con velocità v0x? Risposta: Posso calcolare la distanza, imponendo la condizione che la yfin del proiettile sia 0 Gittata: (velocità scalare media) x (tempo di caduta)

Esercizio n. 54, pag. M115 Walker Un lanciatore del peso lancia il peso con una velocità iniziale di modulo 3.50 m/s da un’altezza di 1.50 m dal suolo. Calcolare qual è la gittata del lancio se l’angolo è: 20° 30° 40o

Soluzione Un lanciatore del peso lancia il peso con una velocità iniziale di modulo 3.5 m/s da un’altezza di 1.5 m dal suolo. Calcola qual è la gittata del lancio se l’angolo è: 20o 30o 40o Risolvo per q = 20o Per q = 30o Per q = 40o

Lancio con un angolo qualunque e x0=y0=0 Gittata (y=0):

Lancio con un angolo qualunque e con posizione iniziale qualunque Uguale al caso precedente, ma ri-compaiono x0 e y0

Moto parabolico (Moto di un proiettile con e senza aria)

Dimostrare che il delfino riesce a prendere la palla. Esercizio Un delfino salta dall’acqua con v0 = 12 ms-1, verso l’allenatrice che è a d = 5.50 m e h = 4.10 m. Nell’istante in cui il delfino esce dall’acqua, l’allenatrice lascia cadere una palla. Dimostrare che il delfino riesce a prendere la palla.

Esercizio Soluzione Comincio a calcolare q

Il delfino raggiunge la distanza della palla quando xd = d = 5.50m Esercizio Il delfino raggiunge la distanza della palla quando xd = d = 5.50m ... e questo evento succede al tempo t = 0.572 s

Al tempo t = 0.572 s il delfino si troverà ad un’altezza... Esercizio Al tempo t = 0.572 s il delfino si troverà ad un’altezza... Al tempo t = 0.572 s il delfino si troverà ad un’altezza di 2.50 m

Al tempo t = 0.572 s la palla si troverà ad un’altezza... Esercizio Al tempo t = 0.572 s la palla si troverà ad un’altezza... Al tempo t=0.572 s la palla si troverà ad un’altezza di 2.50 m

Moto circolare uniforme (1) Un oggetto che si muove lungo una traiettoria circolare con velocità costante in modulo è in moto circolare uniforme. Il vettore velocità varia continuamente la propria direzione. Quindi l’oggetto è sottoposto ad accelerazione. Il vettore accelerazione è diretto verso il centro della circonferenza  accelerazione centripeta Il tempo impiegato a descrivere una circonferenza di raggio r è detto periodo

Moto circolare uniforme (2) yP  xP Questi calcoli non sono presenti nei testi consigliati

Moto circolare uniforme (3) Modulo dell’accelerazione centripeta Questi calcoli non sono presenti nei testi consigliati

Moto circolare uniforme (4) L’accelerazione è effettivamente diretta verso il centro della circonferenza. Infatti: Quindi =  il vettore accelerazione ha direzione radiale ed è rivolto al centro. Questi calcoli non sono presenti nei testi consigliati

Accelerazione radiale e tangenziale In generale, la velocità cambia per intensità e direzione lungo la traiettoria Vettore velocità: sempre tangente alla traiettoria Vettore accelerazione può essere espresso come: con versore tangenziale versore normale alla traiettoria, diretto verso il centro di curvatura Accelerazione tangenziale Accelerazione radiale La dimostrazione è nelle 2 slide seguenti (non c’è nel testo) Il raggio dei cerchi tratteggiati è il raggio di curvatura della traiettoria nei punti A, B e C

Accelerazione radiale e tangenziale f x y C Ora occorre dimostrare che df/dt=v/R ….

Accelerazione radiale e tangenziale (1) Nel tempo dt, il punto percorre un cammino elementare ds=vdt  arco di circonferenza ds=Rdf (2) f x y C f+df df R Quindi, sostituendo la (2) nell’espressione ricavata per l’accelerazione, si ottiene:

Moto armonico (1) Questo argomento non è presente nei testi consigliati Nel moto circolare uniforme la velocità angolare è costante: In un periodo T viene descritto un angolo giro, quindi La proiezione del punto P sull’asse x (o y) descrive un moto armonico: yP  xP

Moto armonico (2)

Moto relativo unidimensionale Se i due sistemi di riferimento si muovono a velocità costante l’uno rispetto all’altro, si ha: L’accelerazione del punto materiale P è la stessa nei due sistemi di riferimento

Moto relativo bidimensionale derivando rispetto al tempo, si trova: Se è costante, allora:

Con la cinematica 2D risolvo il problema del Riassumendo Con la cinematica 2D risolvo il problema del moto di un proiettile Prossima lezione: Le leggi di Newton