Riassunto delle puntate precedenti: Definizioni (informali) di enunciato, argomento, mondo possibile. Definizione (informale) di argomento corretto Definizione (formale) del linguaggio della logica enunciativa. Definizione (formale) del concetto di formula ben formata del linguaggio della logica enunciativa. Definizione (formale) dell’algoritmo delle tavole di verità.

Estensione della logica enunciativa: la logica dei predicati (o predicativa o del primo ordine) Con la logica dei predicati è possibile trattare la struttura logica di argomenti più complessi, in particolare di argomenti che contengono importanti operatori logici detti quantificatori (operatori che determinano l’estensione dell’insieme di oggetti che soddisfano una certa proprietà).

L’introduzione del linguaggio enunciativo permette di fornire un’analisi logica astratta di un’ampia classe di enunciati e delle loro condizioni di verità. Questo consente a sua volta di verificare la correttezza di argomenti che abbiano come premesse e conclusioni un certo numero di enunciati.

Riprendiamo tuttavia l’argomentazione Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo quindi Socrate è mortale e chiediamoci: 1) è possibile tradurre fedelmente l’argomentazione nel linguaggio enunciativo? 2) se è possibile, la traduzione è in grado di conservare la validità dell’argomento?

Traduzione in linguaggio enunciativo (LE) Linguaggio naturale LE Tutti gli uomini sono mortali p Socrate è un uomo q quindi  Socrate è mortale r Questa traduzione è l’unica possibile: gli enunciati dell’argomento sono atomici e devono quindi essere rappresentate da singole variabili enunciative.

Conservazione della correttezza? La traduzione in linguaggio enunciativo è dunque possibile: ma conserva anche la correttezza? Per la traduzione, conservare la correttezza significa che – anche per l’argomento in LE – se le premesse sono vere allora deve essere vera anche la conclusione. In realtà, tutto ciò che può fare la traduzione è formulare gli enunciati in linguaggio naturale come variabili enunciative, e di per sé le semplici lettere p e q non sono ‘costrette’ a implicare con necessità r.

In altri termini, non è contraddittorio ammettere che esista un assegnazione di valori di verità a p, q e r tale che p V q V  r F Dove sta il problema?

Il problema sta nel fatto che, nel linguaggio enunciativo, p, q e r devono essere rappresentate da variabili enunciative atomiche, perché non contengono alcun connettivo. Ma ciò che garantisce la validità dell’argomento Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo quindi Socrate è mortale dipende proprio dalla struttura interna di queste proposizioni.

Per estendere l’insieme di enunciati che è possibile analizzare dal punto di vista della logica, occorre allora analizzare la struttura interna degli enunciati atomici. Questo passo porterà ad estendere il linguaggio enunciativo verso un nuovo linguaggio artificiale, capace di rendere conto della validità di argomenti come Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo quindi Socrate è mortale

“essere verde”  predicato Per analizzare la struttura interna di un enunciato atomico, ricorreremo a uno strumento di antica tradizione, lo schema soggetto-predicato. Consideriamo il semplice enunciato “l’erba è verde”: in base allo schema soggetto-predicato, avremo “erba”  soggetto “essere verde”  predicato Il ‘predicato’ non è altro che una proprietà attribuita al soggetto.

Enunciati come “l’erba è verde” non sono tuttavia l’unico tipo di enunciati di cui possiamo indagare la struttura interna. Consideriamo infatti un enunciato come “Mario è più alto di Carlo” Un’applicazione dello schema soggetto-predicato prescriverebbe “Mario”  soggetto “essere più alto di Carlo”  predicato

“essere più basso di Mario”  predicato Il significato intuitivo dell’enunciato sembra però compatibile anche con la scomposizione “Carlo”  soggetto “essere più basso di Mario”  predicato Sembra dunque che uno stesso contenuto concettuale sia associato a due enunciati con due soggetti diversi: con quale criterio scegliere?

Contenuto concettuale dell’enunciato soggetto: Mario ? predicato: essere più alto di Carlo soggetto: Carlo predicato: essere più basso di Mario

Soluzione naturale: il contenuto concettuale dell’enunciato riguarda una relazione tra due soggetti. Questo implica che lo schema dovrà contemplare almeno due casi possibili: Predicato attribuito a un soggetto: si tratta di una proprietà di quel soggetto. Predicato attribuito a n soggetti: si tratta di una relazione che sussiste tra quei soggetti. Una generica proposizione atomica può parlare allora di uno o più soggetti: si definisce termine singolare ogni espressione che si riferisca a un soggetto singolo.

Termini Singolari Nomi propri (“Mario”, “Carlo”, ecc.) Pronomi dimostrativi ed espressioni che cominciano con un aggettivo dimostrativo (“questo”, “quel tavolo”) Pronomi personali singolari (“io”, “egli”, ecc.) Descrizioni definite, vale a dire espressioni che cominciano con un articolo determinativo singolare (“il presidente della Repubblica”, “il sindaco di Berlino”, ecc.) e che hanno un unico individuo come riferimento.

Consideriamo i seguenti esempi. Mario è alto Mario e Carlo sono fratelli Mario è più alto di Carlo Il predicato è ‘ciò che resta’ quando vengono eliminati dall’enunciato i termini singolari: Mario è alto

..... è alto Predicato a 1 posto (proprietà) ..... e ..... sono fratelli Predicato a 2 posti (relazione) ..... è più alto di ..... Predicato a 2 posti Attenzione! La relazione ‘essere fratelli’ è simmetrica (l’ordine non conta), ma quella ‘essere più alto di’ non lo è.

Il presidente del Senato La nozione di funtore Abbiamo già incontrato la nozione di ‘descrizione definita’: un’espressione come Il presidente del Senato denota un unico individuo e si comporta dunque ‘come’ un termine singolare. Possiamo però generalizzare la situazione e introdurre un’espressione come Il presidente di […] Questa espressione può essere associata a una ‘operazione’ che associa a un certo gruppo l’individuo che ne è il presidente.

Possiamo quindi rappresentare più in generale la situazione nel modo seguente: ‘Il presidente di’ : R  S In un caso particolare, possiamo quindi avere Senato Il presidente del Senato Il presidente di Questo tipo di operazioni sono casi particolari di un concetto più generale, quello di funzione.

Una funzione f: S  T è una corrispondenza tra due insiemi S e T, tale che a uno o più elementi dell’insieme S associa uno e un solo elemento dell’insieme T. Data la notazione f(x) = y, per x S e y T, x è detto l’argomento della funzione e y è detto il valore della funzione. L’insieme S è detto dominio della funzione, mentre l’insieme T è detto codominio della funzione. Attenzione: la definizione appena fornita consente il caso che S = T, cioè che dominio e codominio coincidano.

Esempio 1: Se S = insieme dei bambini di una scuola elementare (con maestra unica!) T = insieme delle maestre della scuola indichiamo con l’espressione ‘Maestra di’: S  T la funzione che assegna a ogni bambino la sua maestra. In questo caso S (il dominio) è diverso da T (il codominio).

Esempio 2 La funzione aritmetica ‘quadrato di’, che a ogni numero naturale (positivo) n associa il numero naturale (positivo) nn, può essere rappresentata come ‘quadrato di’: N+  N+ In questo caso, dominio e codominio coincidono.

Negli esempi 1 e 2, ciascuna funzione è definita per singoli valori, ma è possibile definire funzioni per coppie di argomenti. Esempio 3 La funzione ‘somma di’ è definita per coppie di numeri: se con N denotiamo l’insieme dei numeri naturali, la funzione associa a ogni coppia di numeri naturali n, m il numero naturale n + m. La notazione è la seguente: + : {N x N}  N + : {n,m}  n+m

Torniamo al nostro argomento Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo quindi Socrate è mortale Il linguaggio enunciativo non è in grado di esprimere la struttura interna di nessuna delle proposizioni dell’argomento, mentre lo schema soggetto-predicato ci permette di esprimere la struttura della seconda premessa e della conclusione. Come fare con la prima premessa?

Essa appare cruciale, perché esprime la validità di una proprietà per tutti gli individui di un certo insieme. Perché il linguaggio possa esprimere questo tipo di enunciati, sarà necessaria una riformulazione dell’enunciato stesso nei seguenti termini: Per ogni possibile x, se x è un uomo allora x è mortale. Questa riformulazione introduce due nozioni essenziali che dovranno far parte del linguaggio: le variabili e i quantificatori.

Una variabile non è altro che un termine singolare generico, cioè un termine che può assumere valori diversi. Quando per esempio si scrive x+y = y+x, si intende con ciò che quella uguaglianza è valida per qualunque numero si decida di sostituire a x e y.

Un quantificatore è invece un operatore logico presente in proposizioni che affermano per quanti individui di un dato insieme valgono una certa proprietà o una certa relazione. Saranno introdotti due quantificatori: Quantificatore universale  xPx  “per ogni x, x è P” Quantificatore esistenziale  xPx  “esiste un x che è P”

Linguaggio della logica predicativa (LP) Alfabeto logico: Connettivi enunciativi e quantificatori ,  Alfabeto descrittivo: AD-1) Un insieme infinito di variabili individuali x, y, z, ... (eventualmente con apici e indici) AD-2) Un insieme infinito di costanti individuali (eventualmente con apici e indici) AD-3) Un insieme infinito di costanti predicative P, Q, R, ... (eventualmente con apici e indici) AD-4) Un insieme infinito di costanti funtoriali f1, f2, …. Alfabeto ausiliario: Parentesi e virgole

Definizione ricorsiva di termine individuale di LP BASE: Sono termini individuali le variabili individuali e le costanti individuali. PASSO: Se t1, …, tn sono termini individuali e fn è una costante funtoriale n-aria, anche fn(t1, …, tn) è un termine individuale. CHIUSURA: Nient’altro è un termine individuale.

Formule atomiche di LP Se t1, …, tn sono termini individuali di LP e P è una costante predicativa n-aria di LP, allora P(t1, …, tn) è una formula atomica di LP.

Esempio 1 ‘Mario’ = m (costante individuale)  ‘Mario è alto’ = Am (predicato a 1 posto) formula atomica di LP Attenzione! Am è un esempio della forma generale P(t1,...,tn): infatti si pone P=A e t1 = m (in questo caso n=1).

‘Mario’, ‘Carlo’ = m, c Esempio 2 (costanti individuali)  ‘Mario e Carlo sono fratelli’ = F(m,c) ‘essere fratello’ = F (predicato a 2 posti) formula atomica di LP Attenzione! F(m,c) è un esempio della forma generale P(t1,...,tn): infatti si pone P=F, t1=m, t2=c (in questo caso n=2).

Definizione ricorsiva di formula ben formata di LP BASE: Ogni formula atomica di LP è una fbf di LP. PASSO: 1) Se a è una fbf di LP, allora anche  a è una fbf di LP. 2) Se a, b sono fbf di LP, allora anche a  b è una fbf di LP. 3) Se a, b sono fbf di LP, allora anche a  b è una fbf di LP. 4) Se a, b sono fbf di LP, allora anche a  b è una fbf di LP. 5) Se a è una fbf di LP e x una variabile individuale, allora anche x a è una fbf di LP. 6) Se a è una fbf di LP e x una variabile individuale, allora anche  x a è una fbf di LP. CHIUSURA: Nient’altro è una fbf di LP.

Variabili libere e vincolate In espressioni come xa, xa, la a potrebbe in generale contenere altre variabili oltre a x. Se poniamo per esempio a = Px  Qy, si ottengono le fbf [1] x(Px  Qy), [2]  x(Px  Qy) In generale, si dice che una variabile occorre vincolata quando dipende da un quantificatore (da cui, appunto, è ‘vincolata’), e libera altrimenti. Nelle [1] e [2] la x occorre vincolata, mentre la y occorre libera. Sempre la definizione di fbf in LP permette casi come xPy, dove a = Py. In questo caso, la quantificazione opera ‘a vuoto’ e si dice muta o vacua.

Una formula a che contiene almeno un’occorrenza libera di una variabile è detta formula aperta. Una formula a che non contiene occorrenze libere di alcuna variabile, cioè che - o non contiene alcuna variabile - o, se ne contiene, nessuna occorrenza di tali variabili in a è libera è detta formula chiusa (= enunciato). Esempi: P(r,t), xPx Qs, xy(Px  Qy) sono formule chiuse, mentre P(r,x), xPx Qy, xy(Px QyRz) sono formule aperte.

Dati una formula a, un termine t e una variabile x, si dice sostituzione di x con t in a la fbf che si ottiene rimpiazzando uniformemente ogni occorrenza libera di x con t: tale fbf sarà denotata dall’espressione a[x/t] Per esempio, data la fbf P(x)   P(x), la sostituzione in essa di x con r è la fbf P(r)   P(r).

Formalizzazione: qualche esercizio Linguaggio naturale LE p = «piove», n = «nevica» «Piove ma non nevica» p  n «Non è vero che sia piove sia nevica»  (p  n) «Piove se e solo se nevica» p  n «Se piove e nevica, allora nevica» (p  n)  n «O piove e nevica, o piove ma non nevica» (p  n)  (p   n)

Linguaggio naturale LP Bruno = b, Carla = c, Aldo =a amare = A, essere fabbro = F, vedere = V, essere medico = M presentare = P «Bruno non ama niente» x  Abx oppure x Abx «Un fabbro si ama» x (Fx  Axx) «Aldo vede ogni fabbro» x (Fx  Vax) «Se Bruno ama qualcosa, allora ama qualsiasi cosa» x Abx  x Abx «Aldo ha presentato un fabbro a un medico» x y ((Fx  My)  Paxy)