Effetti delle Deformazioni e delle Iperfezioni Corso di aggiornamento sul D.M. 14 gennaio 2008 per il progetto di costruzioni in acciaio - 21 maggio 2010 - Effetti delle Deformazioni e delle Iperfezioni sulle Strutture in Acciaio Valutazione dei Fenomeni di Instabilità Introduzione sulla stabilità delle aste Effetti delle imperfezioni e delle deformazioni Valutazione del moltiplicatore critico dei carichi (acr) - Casi di applicazione di analisi globali di 1° o del 2° ordine Ing. Jacopo Morganti – Ing. Niccolò Lucia – Ing. Andrea Gheri

FASI DEL PROCESSO DI PROGETTAZIONE DI UNA STRUTTURA Considerazioni introduttive FASI DEL PROCESSO DI PROGETTAZIONE DI UNA STRUTTURA dimensionamento preliminare  analisi globale  verifiche degli elementi Geometria dell’edificio Carichi esterni Condizioni di vincolo Ingombri strutturali Caratteristiche della sollecitazione (N, M, T) Analisi globale Tensioni negli elementi strutturali. Coefficienti di utilizzo delle aste. Verifiche Effetti delle imperfezioni Effetti delle deformazioni (analisi del 2° ordine) Verifiche di stabilità delle aste compresse

Considerazioni introduttive L’acciaio è un materiale da costruzione con caratteristiche di elevata rigidezza e resistenza. Questo comporta l’adozione di sezioni contenute e quindi di aste che tendono ad essere snelle e quindi soggette a deformazioni flessionali. E’ necessario pertanto limitare la deformabilità sia per i singoli elementi che la deformata complessiva della struttura: la verifica del rispetto dei limiti di deformabilità può rappresentare la verifica condizionante il dimensionamento delle sezioni, più della verifica di resistenza. Per la singola trave inflessa di solaio il tipico rapporto fra freccia e luce è di f < 1/250 L Per gli edifici intelaiati ci sono dei limiti complessivi per le frecce orizzontali dovute ai carichi orizzontali (vento). Per edifici comuni si impone un limite allo spostamento interpiano δ < 1/300 h ed un limite allo spostamento orizzontale massimo pari a Δ < 1/500 H

Considerazioni introduttive Le deformazioni possono essere di due tipi: deformazioni elastiche dovute a carichi orizzontali (vento, sisma, carichi mobili, ecc.) difetti iniziali, indipendenti dai carichi esterni, dovute alle tolleranze di costruzione (imperfezioni, errori di montaggio, ecc.) Le deformazioni possono rappresentare un pericolo per le strutture compresse: lo scostamento dalla configurazione rettilinea comporta infatti l’insorgenza di momenti parassiti dovuti al braccio del carico di compressione che aggravano lo stato di sollecitazione dell’asta e possono comprometterne la resistenza o la stabilità.

Considerazioni introduttive

Considerazioni introduttive Le deformazioni dovute alle imperfezioni possono essere trattate assimilandole a deformazioni elastiche dovute a carichi esterni fittizi aggiunti a quelli di calcolo. E’ quindi sempre necessario analizzare le strutture in acciaio applicando dei carichi orizzontali, anche nel caso in cui i carichi esterni siano modesti o addirittura assenti, aggiungendo i carichi esterni fittizi per tenere conto delle tolleranze di costruzione. Le imperfezioni iniziali della singola asta, in particolare la sua curvatura iniziale, è generalmente già considerate implicitamente nelle verifiche di stabilità. Le imperfezioni possono però sommarsi generando effetti globali che devono essere valutati nell’analisi dell’edificio, imponendo carichi fittizi orizzontali ai vari impalcati di piano.c Per strutture ordinarie tali effetti sono comunque modesti e generalmente trascurabili. Nell’edilizia tradizionale si adottano comunemente analisi elastiche delle strutture che ignorano la presenza delle eccentricità di carico: le caratteristiche della sollecitazione vengono calcolate applicando il carico esterno sulla configurazione iniziale indeformata della struttura e non su quella deformata. Si dice in questo caso che si sta conducendo una analisi “del primo ordine”.

Parte Prima: STABILITÀ DELLE ASTE

Stabilità delle aste La teoria classica di Eulero delle aste compresse ricorre in molti punti dell’NTC 2008, in particolare per quanto riguarda gli effetti delle imperfezioni, gli effetti delle deformazioni, le analisi globali, le verifiche si elementi compressi o inflessi. Sono frequenti i riferimenti al Carico Critico (Ncr), alla Snellezza Critica (λcr) e alla Snellezza Adimensioneale (λ soprasegnato) Consideriamo un caso elementare: un’asta scarica incernierata agli estremi.

Stabilità delle aste Consideriamo un secondo caso: asta incernierata agli estremi sottoposta ad un carico N di trazione.

Stabilità delle aste Consideriamo il caso di asta incernierata agli estremi sottoposta ad un carico N di compressione. L’esperienza porta a dirci che sono possibili due diverse situazioni: 1) Asta compressa con un carico N “molto piccolo”: il comportamento dell’asta è identico al caso già visto di asta scarica; 2) Asta compressa con un carico N “molto grande”: l’equilibrio è impossibile (collasso).c

Stabilità delle aste

Stabilità delle aste

Stabilità delle aste

Stabilità delle aste

Stabilità delle aste Nelle aste reali l’instabilità si manifesta prima del raggiungimento del carico critico, per la presenza di imperfezioni geometriche, tensioni interne, eccentricità del carico. Sono state quindi individuate delle curve sperimentali che tengono conto delle imperfezioni.

Stabilità delle aste χ = 1/ω Curve di stabilità sperimentali secondo CNR 10011/88. χ = 1/ω

Stabilità delle aste Confronto fra le curve di stabilità sperimentali del CNR 10011 (linee tratteggiate) e delle NTC 2008 (linee continue). In nero è riportata per confronto la curva ideale di Eulero.

Stabilità delle aste Confronto fra applicazione del coefficiente χ e del coefficiente ω. Introduzione del moltiplicatore critico αcr (inverso del coeff. di utilizzo per instabilità)

Stabilità delle aste Formule per il calcolo approssimativo dei raggi di inerzia dei profili a doppio T: Profili HEA ρmax = (h/2) / 1,15 ρmin = (h/2) / 2

Stabilità delle aste Formule per il calcolo approssimativo dei raggi di inerzia dei profili a doppio T: Profili HEA ρmax = (h/2) / 1,2 ρmin = (h/2) / 2

Stabilità delle aste Formule per il calcolo approssimativo dei raggi di inerzia dei profili a doppio T: Profili HEA ρmax = (h/2) / 1,2 ρmin = (h/2) / 4,5

Stabilità delle aste Tutto quanto visto fin’ora vale per l’asta di Eulero con entrambi gli estremi incernierati. Nella realtà si possono avere un gran numero di condizioni di vincolo. Per poter ricondurre le aste comunque vincolate alla teoria di Eulero si introduce la Lunghezza Libera di Inflessione, L0, ovvero quella lunghezza nella quale l’asta presenta una deformata critica assimilabile a quella della doppia cerniera. L0 = β L

Stabilità delle aste β=2

EFFETTI DELLE IMPERFEZIONI Parte Seconda: EFFETTI DELLE IMPERFEZIONI

Effetto delle imperfezioni Le singole aste che si trovano in una struttura presentano sempre un certo grado di imperfezioni che posso essere ricondotte principalmente a: - errori di rettilineità del singolo profilo; errori di allineamento delle aste (tolleranze di costruzione); tolleranze dei collegamenti (asolature dei fori, eccentricità dei giunti); tensioni residue nel materiale. Le imperfezioni dei singoli elementi possono essere generalmente trascurati e si considerano inclusi nelle verifiche di stabilità delle aste. Tuttavia devono essere considerate se l’asta che si considera è molto sensibile agli effetti del secondo ordine, ovvero se presenta un αcr modesto (< 4) e presenta un certo grado di incastro (abbia un vincolo rotazionale ad almeno un estremo. Le imperfezioni dei singoli elementi, sommandosi insieme, possono determinare uno scostamento significativo della forma della struttura dalla sua configurazione progettuale. E’ ciò che si indica con il termine “imperfezioni globali”. La norma considera in particolare due sistemi strutturali sensibili alle imperfezioni globali: - gli edifici intelaiati  collasso per instabilità delle colonne; i controventi di piano o di falda  collasso per instabilità dei correnti compressi;

Effetto delle imperfezioni: telai Consideriamo ad esempi il caso delle colonne negli edifici intelaiati: la norma stabilisce che per tenere conto delle imperfezioni si può assumere che la colonna presenti uno scostamento dalla verticale dell’ordine di φ = 1/200 dell’altezza. Ne deriva uno scostamento della testa della colonna e quindi un momento dato dalla coppia del carico di punta. Il momento può essere rappresentato con una coppia di forze orizzontali fittizie φN applicate sulla configurazione indeformata della struttura.

Effetto delle imperfezioni: telai In generale le imperfezioni saranno distribuite in modo casuale nell’edificio. A fini cautelativi è opportuno tuttavia considerare che le imperfezioni siano disposte nel modo peggiore possibile, ovvero siano tutte disposte nello stesso senso e assecondino la forma di instabilità globale della struttura. Lo studio della struttura può essere condotto imponendo le deformazioni pari alle imperfezioni oppure applicando i carichi fittizi φN che riproducono le sollecitazioni indotte dalle imperfezioni.

Effetto delle imperfezioni: telai Lo studio della struttura può essere condotto imponendo le deformazioni pari alle imperfezioni oppure applicando alla struttura indeformata dei carichi fittizi φN che riproducono le sollecitazioni indotte dalle imperfezioni. I carichi vanno applicati ad ogni piano e considerando singolarmente i vari telai che compongono la struttura (piani verticali). φQ3 q3 q3 q2 φQ2 q2 q1 q1 φQ1

Effetto delle imperfezioni: telai Come abbiamo detto le imperfezioni sono distribuite casualmente nella struttura. La norma ammette quindi che sia troppo gravoso estendere all’intero edificio il difetto di verticalità di 1/200. Ammette pertanto di poter ridurre il difetto di verticalità introducendo due parametri riduttivi. Il primo αh tiene conto del numero complessivo di piani dell’edificio,il secondo αm del numero di colonne presente in ogni telaio verticale. Il coefficiente αh vale 1,0 per edifici di un solo piano (h<4m); vale 0,8 per edifici a due piani (h=6-7 m); vale 0,7 per edifici con 3 piani o più (h>3m). Il coefficiente αm dipende dal numero di pilastri in ogni stilata, con esclusione di quelli scarichi, che contribuiscono poco all’instabilità globale. Nel caso di edificio con molti pilastri può assumere il valore minimo pari a 0,7. Tuttavia già nel caso di telaio con 3 colonne vale 0,8. In generale si può pertanto assumere che esso valga 0,8. In definitiva nei calcoli si può assumere, in prima approssimazione:

Effetto delle imperfezioni: telai Se la struttura è naturalmente soggetta a sensibili sollecitazioni orizzontali (vento, sisma) allora le forze fittizie φN dovute alle imperfezioni diventano irrilevanti rispetto ai carichi esterni ed il loro contributo può essere trascurato: l’edificio è già concepito per resistere ai carichi orizzontali esterni ed è quindi in grado di assorbire i piccoli momenti aggiuntivi dovuti ai difetti di verticalità.

ESEMPIO:Telaio multipiano in acciaio 1 – Ipotesi progettuali Serie di telai come in figura posti ad interasse 5 m. Edificio per uffici (sovraccarico 350 kg/m²) 2 – Analisi dei Carichi PERMANENTI: Gk = 4 kN/m2 VARIABILI: Qk = 3,5 kN/m2 Qvento = 0,6 kN/m2 COMBINAZIONE SLU carico distribuito di piano: qSd = 53,25 kN/m carico orizzontale piano 1°: F1Sd = 18 kN carico orizzontale piano 2°: F2Sd = 9 kN

3 – Effetti delle imperfezioni globali ESEMPIO:Telaio multipiano in acciaio 3 – Effetti delle imperfezioni globali Difetto di verticalità delle colonne: per edificio a due piani: f ~ 1/300 Calcolo delle forze fittizie Heq dovute a f: Heq = f × (qSd × L) = (53,25 × 6)/300 = 0,96 kN Nelle analisi andranno considerate le seguenti forze orizzontali applicate ai nodi del telaio: F’1Sd = F1Sd + Heq = 18 + 0,96 = 18,96 kN F’2Sd = F2Sd + Heq = 9 + 0,96 = 9,96 kN

Effetto delle imperfezioni: controventi Un altro caso in cui le imperfezioni possono dar luogo a sollecitazioni rilevanti sono i controventi di piano, ovvero quegli elementi destinati a dare rigidezza al piano e a contenere i fenomeni di instabilità dei correnti o delle piattabande compresse. Poiché i correnti dei controventi sono compressi, se hanno un errore di linearità nascono forze dovute al braccio di applicazione del carico di punta. Si considera che il corrente compresso presente una freccia iniziale dell’ordine di 1/500 della luce. Anche in questo caso si considera un coefficiente riduttivo αm che dipende dal numero di elementi (a.e. capriate) coinvolte nel controvento. Se gli elementi controventati sono solo 2 αm vale 0,9; se sono maggiori di 2 si può assumere che valga 0,8 e pertanto la freccia iniziale si può generalmente assumere: L/600

Effetto delle imperfezioni: controventi

Effetto delle imperfezioni: controventi Anche nel caso delle imperfezioni dei controventi, come in quello dei telai, la norma consente di trattare le imperfezioni come un sistema di forze esterne fittizie aggiuntive. Per i controventi di piano la norma indica di applicare su un corrente del controvento un carico distribuito uniforme qd che tiene conto sia delle imperfezioni che degli effetti del 2° ordine della deformazioni elastica.

Effetto delle imperfezioni: controventi

ESEMPIO: Controvento di falda Dati generali: luce capriate L = 20 m interasse capriate i = 5 m numero complessivo capriate ntot = 7 Profilo diagonali: L100×10 ANALISI DEI CARICHI ESTERNI QVENTO = 77 kg/m2 QTRASCINAMENTO = 3,85 kg/m2 NEd (massima compressione nei correnti delle capriate) = 28325 kg n (numero elementi controventati) = 7

ESEMPIO: Controvento di falda ANALISI DEL CARICO DOVUTO ALLE IMPERFEZIONI Per determinare il carico distribuito equivalente qd deve essere prima calcolato il valore di dq, freccia massima del sistema di controvento dovuta ai carichi esterni (si può ignorare nel caso si conduca una analisi del 2° ordine). PASSO 1 Si calcola il valore della freccia elastica dovuta ai carichi esterni dq. PASSO 2 Si calcola il carico fittizio qd tenendo conto sia della freccia dovuta alle imperfezioni e0 che della freccia elastica dq dovuta ai carichi esterni. PASSO 3 Si aggiunge il carico fittizio qd ai carichi esterni e si conduce una analisi elastica lineare della struttura.

ESEMPIO: Controvento di falda Risultato fornito dal programma di calcolo a seguito di analisi elastica del primo ordine Forza nodale associata al carico qd La formula semplificata comunemente adottata per i controventi di falda prevede l’applicazione di carichi orizzontali aggiuntivi applicati ai nodi pari a:

ESEMPIO: Controvento di falda Sollecitazioni (valutazione semplificata) (Vento+Trascinamento+DQ) Nmax =13’373 kg Sollecitazioni (NTC 2008) (Vento+Trascinamento+ qd) Nmax = 11’642 kg Nmax La tensione massima delle diagonali, calcolata con le NTC 2008, è inferiore del 13% rispetto alla valutazione semplificata tradizionale.

Effetto delle imperfezioni: controventi

EFFETTI DELLE DEFORMAZIONI Parte Terza: EFFETTI DELLE DEFORMAZIONI (effetti del 2° ordine)

Effetti delle deformazioni Si è già visto che nel caso in cui un’asta presenti una deformata, sia essa dovuta a spostamenti elastici, che a imperfezioni, questa altera lo schema statico della struttura generando delle sollecitazioni aggiuntive, note come effetti del 2° ordine. Generalmente gli effetti del 2° ordine sono modesti, tuttavia è opportuno valutare prima dell’analisi se la struttura è sensibile o meno agli effetti delle deformazioni ed in questo caso condurre una analisi globale che tenga conto anche degli effetti del 2° ordine.

Effetti delle deformazioni L’NTC 2008 impone al progettista di condurre una valutazione preliminare della struttura valutandone la sensibilità alle deformazioni. Il parametro assunto per la valutazione è il moltiplicatore critico dei carichi αcr. Il moltiplicatore indica di quanto possono essere aumentati i carichi agenti sulla struttura prima che essa raggiunga il carico critico per collasso globale. La norma stabilisce che, se αcr è minore di 10 (per analisi elastiche) è necessario condurre una analisi del 2° ordine. Nel caso di telai ordinari il moltiplicatore critico αcr di un edificio intelaiato è approssimabile con l’αcr della colonna più sollecitata posta al piano più basso, ovvero con il rapporto fra il carico critico della colonna Ncr ed il suo carico di progetto NEd. Infatti i pilastri al piano terreno sono quelli soggetti ai carichi maggiori, ovvero più prossimi al carico critico, e presentano una deformata critica comune fra di loro per la presenza degli impalcati rigidi. Il moltiplicatore critico è poco sensibile all’azione dei carichi orizzontali di piano. Una prima valutazione del moltiplicatore critico globale si può quindi ottenere con una stima del carico critico delle colonne del piano terreno. Il coefficiente β della colonna sarà assunto pari a 1 se gli impalcati sono sufficientemente rigidi da mantenere la verticalità delle colonne nei nodi. Per edifici alti o impalcati poco rigidi, il coefficiente β andrà aumentato in conseguenza.

Effetti delle deformazioni Consideriamo un caso semplice: edificio a telaio a corpo triplo di 4 piani. Carico di piano: 800 kg/mq. Interasse tipico fra i pilastri: 5m Carico di punta tipico di piano sul pilastro: 20 t. Carico di punta massimo sul pilastro P.T. = 80 t. Colonne HEB320, travi HEA280. Altezza colonne piano terra: 5m. Calcoliamo il moltiplicatore critico assumendo le travi infinitamente rigide rispetto alle colonne.

Effetti delle deformazioni αcr calcolato per via analitica: 9,57 αcr calcolato con analisi di buckling: 9,23

Effetti delle deformazioni Ipotizziamo adesso di modificare il grado di vincolo della base dei pilastri, ipotizzando di avere delle cerniere invece che incastri (a.e. plinti isolati).

Effetti delle deformazioni αcr calcolato per via analitica: 2,39 αcr calcolato con analisi di buckling: 2,38

Effetti delle deformazioni Consideriamo infine il caso in cui il telaio si presenti irregolare per forma e per carichi, con asimmetrie. I telai si considerano incastrati alla base. Effettuiamo il calcolo analitico di αcr rispetto alla colonna più caricata del piano terreno. Il risultato non cambia rispetto al caso già esaminato.

Effetti delle deformazioni αcr calcolato per via analitica: 9,57 αcr calcolato con analisi di buckling: 12,01 (nel caso di telaio regolare: 9,23)

Effetti delle deformazioni La circolare esplicativa prevede un metodo semplificato per il calcolo del moltiplicatore critico. Esso suppone la conoscenza dello spostamento di interpiano δ oltre che dei carichi complessivi di piano del carico orizzontale HEd e verticale Ved. Il metodo è applicabile solo se le travi di piano sono poco caricate, in pratica se il loro αcr>11

Effetti delle deformazioni Ipotesi di origine della formula semplificata: L’NTC semplifica ulteriormente la formula eliminando il coeff. 0,8 e così facendo non va in favore di sicurezza. Nel caso dell’edificio esaminato in precedenza si hanno le seguenti valutazioni di αcr: - con calcolo analitico: 9,57 - con analisi di buckling: 9,23 - con formula semplificata: 9,86 secondo formula semplificata dell’NTC 2008: 12,32 (stima non cautelativa).

Analisi del 2° ordine Nel caso in cui il moltiplicatore critico della struttura sia maggiore di 10 (o 15 per analisi plastiche), è necessario condurre l’analisi della struttura includendo gli effetti del 2° ordine. Le analisi del secondo ordine possono essere eseguite seguendo due procedure diverse: Si effettua direttamente una analisi non lineare iterativa del 2° ordine con le apposite funzioni previste nei programmi di calcolo strutturale FE; Metodo semplificato: si effettua una tradizionale analisi elastica lineare, dove però si procederà ad amplificare le caratteristiche di sollecitazione dovute ai soli spostamenti orizzontali di un coefficiente β che può essere calcolato per telai regolari come: il metodo semplificato è applicabile solo se la struttura non è eccessivamente sensibile agli effetti del secondo ordine, ovvero nel caso in cui αcr, è maggiore di 3. Il metodo semplificato consente di evitare una analisi del 2° ordine, tuttavia necessita di condurre una doppia analisi in modo da calcolare la parte delle sollecitazioni dovuta agli spostamenti orizzontali

Analisi del 2° ordine - esempio ESECUZIONE DELL’ANALISI GLOBALE NON LINEARE DEL 2° ORDINE CON EF MOMENTO Analisi del primo ordine MOMENTO Analisi del secondo ordine M = 97,66 kNm M =103,92 kNm Incremento del 6% rispetto ai momenti del primo ordine

Analisi del primo ordine applicata su telaio a nodi fissi Analisi del 2° ordine - esempio Esecuzione dell’analisi globale del secondo ordine con metodo semplificato Si deve amplificare solo l’aliquota di momento dovuta agli spostamenti laterali, cioè la differenza fra il momento ricavato per il telaio a nodi mobili e il momento ricavato per lo stesso telaio a nodi fissi. Facendo girare nuovamente il programma dopo aver bloccato gli spostamenti laterali delle travi si ottiene, per il pilastro considerato, un valore del momento flettente che dovrà essere sottratto a quello ricavato dall’analisi di primo ordine dello stesso telaio a nodi mobili. Analisi del primo ordine applicata su telaio a nodi fissi M = 39,09 kNm Si deve amplificare il momento: M’ = 97,66 – 39,09 = 58,57 kNm Il pilastro va verificato a momento: MSd = 39,09 + (1,113 × 58,57) = 104,27 kNm Il valore così ottenuto è vicino a quello calcolato con l’analisi non lineare del 2° ordine (103,92 kNm).