FILTRI FILTRI PASSIVI I filtri passivi sono caratterizzati dalla presenza di soli elementi passivi quali capacità , induttanze e resistenze. Il valore del guadagno di un filtro passivo non può essere mai superiore ad uno se si escludono i filtri risonanti. FILTRI ATTIVI Sono realizzati con amplificatori operazionali ciò che permette di ottenere valori del guadagno superiori ad uno con una migliore selettività. NOTA : Di seguito analizzeremo i filtri attivi ossia quelli realizzati con l'amplificatore operazionale.

FILTRI DEL I ° ORDINE La funzione di trasferimento di un filtro del primo ordine è caratterizzata dalla presenza di un solo polo G(jw)= ___k____ jw + wt G(jw)= ___jwk___ jw + wt NOTA : Nelle formule sopra riportate i simboli assumono i seguenti significati : k : costante moltiplicativa wt : pulsazione di taglio E' possibile utilizzare anche le seguenti espressioni: G(jw) = k' / (1+ jwT) e G(jw) = k' jw / ( 1+jwT ) con le seguenti corrispondenze : k ' = k / wt wt = 1 / T In tutti i casi il denominatore di queste funzioni è una espressione di I° grado che ammette perciò una sola soluzione ,per l'appunto quell'unico polo che caratterizza i filtri del I° ordine. passa basso passa alto

FILTRO PASSA BASSO C R1 Vin R2 Vout - + NOTA : La funzione di trasferimento di questo filtro è : G(jw) = R2 / R1 (1+jwR2C) Essa si ricava utilizzando le formule della configurazione invertente realizzata con l'amplificatore operazionale.

DIAGRAMMA DI BODE filtro passa basso NOTA : Il diagramma di Bode è rappresentato da due spezzate ; la prima è determinata dal rapporto R2 / R1, la seconda da una retta con pendenza -20 dB per decade che parte dal valore wt = 1 / R2C.

FILTRO PASSA ALTO R2 C Vin Vout - R1 + NOTA : Il valore del guadagno è dato dalla seguente espressione : G(jw) = R2/R1 * jwR1C / (1+jwR1C) Anche in questo caso si deve ricorrere alle formule viste per la configurazione invertente.

DIAGRAMMA DI BODE filtro passa alto NOTA : Il diagramma di Bode è costituito da due spezzate ; la prima con pendenza +20 dB per decade interseca la seconda a partire dal valore di pulsazione wt = 1 / R1C.

FILTRI DEL II° ORDINE La funzione di trasferimento di un filtro del secondo ordine è caratterizzata dalla presenza di due poli G(jw) = ____kw'^2______________ (jw )^2 +jw w'/Q +w'^2 filtro passa basso G(jw) = ____k(jw)^2_____________ (jw )^2 +jw w'/Q +w'^2 filtro passa alto G(jw) = ____kjww'/Q_____________ (jw )^2 +jw w'/Q +w'^2 filtro passa banda NOTA : Il significato dei simboli è il seguente : k = costante moltiplicativa w' = pulsazione naturale Q = coefficiente di risonanza Notiamo che i denominatori delle varie espressioni sono identici; cambia invece la quantità al numeratore che è quindi l'elemento caratterizzante del filtro.Osserviamo che il denominatore è costituito da una equazione di II° grado che ammette quindi due soluzioni ossia i due poli che caratterizzano l'ordine di tali filtri. I filtri del II° ordine comprendono quindi anche i filtri passa banda e notch (escludi banda). G(jw) = ____k((jw)^2+w'^2)_______ (jw )^2 +jw w'/Q +w'^2 filtro esludi banda

FILTRI A REAZIONE MULTIPLA Struttura generale Y4 Y5 Y3 Vin -- Y1 Vout Y2 + NOTA: Notiamo che l'operazionale è ancora nella configurazione invertente; le Yi sono ammettenze che a seconda del tipo di filtro avranno natura resistiva o capacitiva. Applicando il I° principio di Kirchoff al nodo centrale si ricava il guadagno del circuito in funzione delle ammettenze : G(jw) = ________-Y1Y3___________ Y5(Y1+Y2+Y3+Y4) + Y3Y4

FILTRO PASSA BASSO DEL II° ORDINE C2 R2 Vin -- R1 Vout C1 + NOTA : Sostituendo ai valori delle ammettenze i simboli di resistenze e capacità si trova: - ___1____ G(jw) = __________R1R2C1C2______________________ (jw)^2 + jw(1/R1+1/R2+1/R3)*1/C1+1/R2R3C1C2 da cui si ricava : k = -R3/R1 w' = 1/(R2 R3C1C2)^.5 1/Q = (C2 /C1)^.5((R2R3)^.5/R1+(R3/R2)^.5+(R2/R3)^.5) Fissati k , w' , e Q si ricavano i valori delle R incognite e delle capacità imponendo ad esempio i valori di R1 e R2.Deve essere comunque C1>C2*4Q^2(1+k) con k preso positivo e Q>0.5

DIAGRAMMA DI BODE DEL P.B. z = 0,383 z = 0,707 z = 0,866 N0TA : Il fattore di smorzamento "zita" è legato al fattore di risonanza "Q" dalla seguente relazione : "zita" = 1 / 2Q A valori diversi di Q e quindi di "zita" corrispondono andamenti diversi del guadagno del filtro, in particolare una piattezza diversa della curva di risposta in banda passante e una diversa pendenza della curva oltre la frequenza di taglio. L' aprossimazione di Butterworth garantisce la massima piattezza di risposta in banda passante mentre quella di Chebyschev permette di ottenere un roll-off iniziale elevato.Infine l'aprossimazione di Bessel è quella che presenta nella curva di fase la migliore linearità ragione per la quale il filtro viene utilizzato come linea di ritardo.Il segnale di uscita di un filtro tipo Bessel risulta invariato riguardo la forma ma traslato per quanto riguarda l'asse dei tempi.

FILTRO PASSA ALTO DEL II° ORDINE C3 R2 C2 Vin -- C1 R1 Vout + NOTA : In questo caso la funzione di trasferimento risulta: G(jw) =_____________-C1/C3 (iw)^2_____________________ (jw)^2+jw / R2 (C1/C2C3+1/C2 +1/C3)+1/R1R2C2C3 dove : k' = - C1/ C3 w' = ( 1 / R1R2C2C3)^.5 1/Q = (R1 /R2)^.5 ( C1 / (C2C3)^.5 + (C2/C3)^.5 + (C3/C2)^.5 ) In questo filtro k' rappresenta il guadagno del filtro per w tendente all'infinito.Anche in questo caso la pendenza del guadagno e di 40 db/decade per w<w'. Per semplificare i conti di progetto è possibile imporre C1 e C2 uguali.

FILTRO PASSA BANDA + NOTA : C1 R3 C2 Vin -- R1 Vout R2 In questo caso la f.d.t. vale : G(jw) = _________-jw /_R1C1_________________________ (jw)^2+jw(1/C1+1/C2)1/R3+(1/R1+1/R2)1/R3C1C2 con : k = - C2R3/((C1+C2) R1) w' = ((1/R1+1/R2) 1/ R3C1C2)^.5 1/Q = (1/C1+1/C2)1/R3w' I valori tipici di Q sono compresi tra 10-15.Valori più elevati si ottengono disponendo più celle del II° ordine in cascata. E' possibile imporre C1 = C2 purchè si abbia Q^2 > k / 2. In alternativa al circuito sopra riportato è possibile utilizzare un filtro passa alto ed uno passa basso in cascata. Questo tipo di soluzione circuitale si presta per filtri con larghezza di banda estesa.

DIAGRAMMA DI BODE DEL FILTRO PASSA BANDA NOTA : Il diagramma di Bode del filtro Passa Banda è del tutto simile a quello di un filtro risonante ; all' aumentare del fattore Q la risonanza diviene via via più stretta e appuntita.La banda passante è data dalla relazione : B = w' / 6.28Q essa risulta inversamente proporzionale al fattore di risonanza. Per quanto riguarda la fase essa presenta una variazione di 180° in corrispondenza della w ' con fronti tanto più ripidi quanto elevato è il Q.

FILTRO ESCLUDI BANDA - vin FILTRO PASSA BANDA vout + NOTA : k Il filtro escudi banda si può realizzare sottraendo al segnale Vin il segnale uscente da un filtro passa banda. Per quanto riguarda il circuito pratico si può utilizzare un filtro passa banda a reazione multipla che è di per sè invertente e sostituire cosi il nodo sottrattore con un sommatore invertente. Globalmente il filtro notch risulta invertente. Per ottenere larghezze di banda più elevate è possibile utilizzare la somma delle risposte di un filtro passa basso e di uno passa alto.

DIAGRAMMA DI BODE DEL FILTRO NOTCH