Un sistema di equazioni di primo grado (lineari) ammette soluzioni (una o infinite) se e solo se il rango (caratteristica) della matrice completa è uguale al rango (caratteristica) della matrice incompleta. Inoltre possiamo dire che, se i ranghi uguali della matrice completa ed incompleta sono inferiori al numero delle incognite allora il sistema ammette infinite soluzioni Non solo, ma possiamo affermare che, se le incognite sono 3 e il rango vale s (con s<3) allora le soluzioni sono infinito alla 3-s. Il ragionamento fatto per i sistemi di 3 equazioni di primo grado in tre incognite potrà essere esteso in modo semplice ai sistemi di n equazioni in n incognite.

Insomma per risolvere un sistema di 3 equazioni di primo grado in tre incognite dobbiamo: Controllare la matrice completa ed incompleta e vedere se il loro rango vale 3: se vale 3 allora posso usare Cramer per trovare la soluzione Se i ranghi sono diversi il sistema non ammette soluzioni Se i ranghi sono uguali ma inferiori a 3 allora devo scegliere le equazioni corrispondenti al determinante il cui valore sia diverso da zero e considerare solo un numero di incognite uguale al numero di equazioni considerate spostando le altre incognite dopo l'uguale trattandole come fossero parametri e risolvere il sistema che ottengo con il metodo di Cramer (o di sostituzione)

distinguiamo i tre casi: k > n k = n k < n Sistema di k equazioni in n incognite Come argomento teorico raccoglie un p0' tutto quanto fatto sinora senza aggiungere cose significative; distinguiamo i tre casi: k > n k = n k < n

Sistema di k equazioni in n incognite k > n Per semplicità facciamo un esempio pratico: Supponiamo di avere 8 equazioni in 5 incognite Se non ho equazioni linearmente dipendenti allora il sistema non ammette soluzioni. Ho 8 equazioni in 5 incognite quindi 3 equazioni portano informazioni in contrasto con le altre ed i ranghi delle matrici completa ed incompleta saranno diversi Il sistema non amette soluzioni nemmeno se ho solamente una o due equazioni linearmente dipendenti da altre perché i ranghi della matrice completa ed incompleta sarebbero diversi. avrei 7 equazioni indipendenti in 5 incognite oppure 6 equazioni indipendenti in 5 incognite, il che significa che qualche informazione è in contrasto con altre ed anche qui i ranghi della matrice completa ed incompleta sono diversi.

Se ho tre equazioni lineamente dipendenti da altre il sistema si riduce a 5 equazioni in 5 incognite e quindi, se le equazioni sono compatibili, ammette una sola soluzione In questo caso le informazioni portate dalle 5 equazioni detrminano le 5 incognite e i ranghi delle matrici completa ed incompleta sono uguali a 5 Se le equazioni sono compatibili e quelle linearmente dipendenti sono 4,5,6,... allora il mio sistema avrà infinito alla 1, 2, 3 ... soluzioni Come già visto avremo che alcune equazioni daranno le stesse informazioni di altre e quindi alcune incognite vanno portate dopo l'uguale per avere tante equazioni linearmente indipendenti quante sono le incognite. in tal caso i ranghi delle matrici completa ed incompleta saranno uguali a 4, 3, 2... in ogni caso comunque basterà che due equazioni portino informazioni in contrasto fra loro (siano incompatibili) per avere un sistema impossibile.

Per semplicità facciamo anche qui un esempio pratico: Sistema di k equazioni in n incognite k < n Per semplicità facciamo anche qui un esempio pratico: supponiamo di avere 5 equazioni in 7 incognite In tal caso scelgo 5 incognite e porto le altre 2 dopo l'uguale come se fossero dei parametri e poi mi comporto come per un sistema di n equazioni in n incognite. Mi conviene scegliere, se possibile, le incognite da matenere prima dell'uguale in modo tale che il determinante della matrice incompleta risultante sia diverso da zero: mi risparmierò parecchi problemi

Sistema di k equazioni in n incognite k = n In questo caso, essendo il numero di equazioni pari a quello delle incognite possiamo rifarci ad un sistema di n equazioni in n incognite

Calcolare il determinante Determinare il rango