Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 4 1

NUMERI INDICI ELEMENTARI n.i. elementari a base fissa Data la serie storica X t osservata per t=1,2,...,N, si chiama serie indice a base fissa t=r la seguente (a) la serie indice a base fissa è una serie a-dimensionale, cioè indipendente dall'unità di misura del fenomeno; (b) la serie indice a base fissa, dato che è ottenuta da quella originaria dividendo ciascun suo valore per la stessa costante X r (detta anche base della serie), conserva l'andamento della serie originaria. Tutto questo implica che se si vuole confrontare l'evoluzione di più serie misurate con unità di misura diverse, basta confrontare le rispettive serie con base tutte allo stesso tempo t=r;

(d) nota la serie degli indici r IX t e nota la base X r della serie si può sempre risalire alla serie originaria visto che NOTARE: è possibile cambiare base passando, per esempio alla base s; per fare questo basta dividere ciascun elemento di r IX t per r IX s (c) r IX t misura la variazione che è intervenuta nel fenomeno rispetto al tempo base r, più in particolare:

Data la serie X t, t=1,2,...,N, la serie degli indici a base mobile si ottiene dividendo ciascun elemento di X t per quello immediatamente precedente X t -1. In simboli Di solito t-1 IX t viene moltiplicata per 100 la serie degli indici a base mobile è costituita da N-1 valori; misura le variazioni che intercorrono fra il periodo corrente t e quello immediatamente precedente t-1 e quindi mette in evidenza variazioni di breve periodo dato { t-1 IX t, X 1-1 } possiamo sempre risalire iterativamente ad X t : n. i. elementari a base mobile

Operatore allindietro (backward) B Data una serie storica loperatore B serve a trasformare un termine di tale sequenza in uno che lo precede di uno o più posti: Operatore in avanti (forward) F Operatore inverso di B : stessa definizione, salvo che F trasforma in avanti: OPERATORE ALLINDIETRO

OPERATORE ALLE DIFFERENZE Ad esempio: cioè

A COSA SERVONO ? Se la serie Z t ha un trend lineare, la serie Z t è stazionaria in media: Z t = a+bt Z t = a+bt-[a+b(t-1)] = a+bt-a-bt+b = b Se la serie Z t ha un trend quadratico, la serie 2 Z t è stazionaria in media: Z t = a+bt+ct 2 Z t = a+bt+ct 2 -[a+b(t-1)+c(t-1) 2 ] = a+bt+ct 2 -a-bt+b-ct 2 +2ct-c =b-c+2ctRETTA 2 Z t =2c

IN GENERALE: Se la serie Z t ha un trend polinomiale di grado p, la serie p Z t è stazionaria in media QUINDI: Nel caso di serie con trend polinomiale le differenze prime, eventualmente iterate, servono a raggiungere la stazionarietà in media. La differenziazione di un polinomio ne riduce il grado di una unità OVVIAMENTE: Le serie storiche reali non presentano andamenti deterministici

Effetto di su valori anomali Supponiamo che la serie X t presenti al tempo s un valore eccezionalmente grande. In termini formali si può, anche se solo approssimativamente, supporre che sia dove -a è una costante positiva molto più elevata di Ys -Y t è la serie che si otterrebbe se da X t fosse rimosso il valore eccezionale

Quando si applicano le differenze prime: quindi, se si costruisce il grafico di Z t questo presenterà due picchi uno per t=s ed uno per t=s+1. In particolare, per a >0: Z s sarà eccezionalmente grande Z s+1 sarà eccezionalmente piccolo |Z s ||Z s+1 |.

Se in X t, per t=s, vi è un valore eccezionalmente piccolo, quanto abbiamo detto continua a valere con l'unica differenza che Z s risulta piccolo mentre Z s+1 grande

Supponiamo che la serie X t presenti una variazione del suo livello medio complessivo a partire dalla osservazione Xs+1. In termini formali: Effetto di su variazioni di livello dove : a è una costante positiva se il nuovo livello è maggiore di quello precedente e negativa nel caso opposto Y t è la serie che si sarebbe osservata se in X t non si fosse avuto il cambiamento di livello.

Questo vuol dire che: - se a è positivo, il grafico di Z t presenta un valore eccezionalmente alto, dovuto all'aumento del livello in s ; - se a è negativo, lo stesso grafico presenta un valore eccezionalmente basso, dovuto ad una diminuzione del livello in s. Quando si applicano le differenze prime: