“Piano” Lab 1 – Fattorizzazione LU + pivoting Esercizi (+Sistemi sovradeterminati - Cholesky?) Lab 2 – Metodi iterativi: Gauss Seidel e Jacobi. Esercizi. Definizione di pseudoinversa Lab 3 – Soluzione classica e ai minimi quadrati. Esercizi. Calcolo degli autovalori.
Fattorizzazione LU A=LU L= U= Ax=b equivale a risolvere: Il vantaggio: si risolvono facilmente per sostituzione in avanti/indietro 1
Sostituzione in avanti NON NULLI!!!
Sostituzione indietro NON NULLI!!!
ESERCIZIO 1 Risolviamo Ax=b con: utilizzando la fattorizzazione LU (La soluzione esatta è x=[1 1 1 1]’)
“Qualità” della soluzione Se conosciamo la soluzione esatta xe possiamo valutare la norma dell’errore: Anche il residuo è un’indice della bontà della soluzione:
Condizionamento Consideriamo un sistema perturbato: Condizionamento: Stima errore relativo:
ESEMPIO 2 Usiamo la matrice di Hilbert: H=hilb(n); b=H*ones(n,1) Calcoliamo (sapendo che la sol esatta è [1 1 ..1]’):
Errore e condizionamento
Quando LU non funziona
Condizioni per la fattorizzazione LU Tutte le sottomatrici principali di A devono essere non singolari:
Pivoting (per righe) Scambio le righe di A per non avere pivot (ukk) nullo; lo scelgo in modo che sia il più grande possibile. K=1) Scambio le righe 1 e 3; aggiorno U
Pivoting (per righe) K=2) La riga due rimane al suo posto; K=3) La 4 va al posto della 3
Pivoting (per righe)
ESERCIZIO 2 Siano dati A e b: Effettuare la fattorizzazione LU con pivoting: quali righe vengono scambiate? Risolvere il sistema. Valutare errore e residuo relativo (sol. esatta [1 1 1 1]’)
ESERCIZIO 3 Risolvere il sistema dell’esercizio 1 eseguendo la fattorizzazione LU con pivoting. Calcolare errore e residuo relativo con e senza pivoting. Quale soluzione è più accurata? Perché?
Sistemi sovradeterminati Ho più equazioni che incognite Sistema di equazioni normali:
Fattorizzazione di Cholesky D’D è simmetrica definita positiva Posso fare la fattorizzazione di Cholesky cioè scomporre in: H’H (comando Matlab: chol) con H triangolare superiore. Si risolve come una normale LU