I solidi

FAI UN CLIC CON IL TASTO SINISTRO DEL MOUSE CLASSIFICAZIONE DELLE FIGURE SOLIDE PER ANDARE AVANTI FAI UN CLIC CON IL TASTO SINISTRO DEL MOUSE

sfera POLIEDRI Se consideriamo le loro facce Osserva i solidi geometrici disegnati sfera POLIEDRI Se consideriamo le loro facce alcuni solidi sono limitati da SUPERFICI PIANE alcuni da SUPERFICI PIANE e da SUPERFICI CURVE uno di essi da una sola SUPERFICIE CURVA : la sfera Circondiamo con una linea rossa tutti i solidi delimitati solamente da facce piane. Abbiamo formato l’insieme dei POLIEDRI

I POLIEDRI PRISMI Possiamo distinguere: Quelli che hanno una sola base di appoggio: le PIRAMIDI Quelli che hanno due basi di appoggio CONGRURENTI e PARALLELE Circondiamo con una linea rossa tutti i poliedri che hanno due basi congruenti e parallele. Abbiamo formato l’insieme dei PRISMI

Abbiamo formato l’insieme dei PARALLELEPIPEDI I PRISMI PARALLELEPIPEDI Circondiamo con una linea rossa tutti i prismi che hanno per basi dei parallelogrammi Abbiamo formato l’insieme dei PARALLELEPIPEDI

RIASSUMIAMO CON IL DIAGRAMMA AD ALBERO SOLIDI GEOMETRICI POLIEDRI NON POLIEDRI PIRAMIDI PRISMI PARALLELEPIPEDI CUBO

I solidi Un solido è una parte di spazio delimitata da una superficie chiusa. I solidi delimitati da poligoni vengono chiamati poliedri. I solidi che hanno superfici curve vengono chiamati solidi rotondi.

I poliedri Si dice poliedro un solido delimitato da poligoni, situati su piani diversi e disposti in modo che ognuno dei lati sia comune a due di essi. I poligoni si dicono facce del poliedro; i loro lati si dicono spigoli del poliedro. due facce con uno spigolo comune si dicono facce adiacenti. i loro vertici si dicono vertici del poliedro;

1. I POLIEDRI /15 Prisma Piramide Poliedro LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE /15 DEFINIZIONE Poliedro Un poliedro è una figura solida limitata da un numero finito di poligoni appartenenti a piani diversi e tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido. Prisma La distanza fra il vertice (o la base superiore) e il piano della base (inferiore) si chiama altezza. L’altezza delle facce laterali di una piramide retta è detta apotema. Piramide 9

2. POLIEDRI REGOLARI E SOLIDI DI ROTAZIONE LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE /15 DEFINIZIONE Poliedro regolare Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari congruenti e anche i suoi angoloidi e i suoi diedri sono congruenti DEFINIZIONE Solido di rotazione Si chiama solido di rotazione un solido generato dalla rotazione di una figura piana intorno a una retta r 10

Relazione di Eulero per i poliedri Osserviamo il poliedro della figura a fianco. Indichiamo con: • V il numero dei vertici • F il numero delle facce • S il numero degli spigoli Osserviamo che per tutti i poliedri vale la seguente relazione: Relazione di Eulero V + F − S = 2 o anche V + F = S + 2

Alcuni esempi Prova tu • Quanti spigoli ha il poliedro a fianco? I vertici sono 12 e le facce 8. Sostituiamo i numeri che conosciamo nella relazione di Eulero: V + F = S + 2 12 + 8 = S + 2 Il numero degli spigoli è: S = 12 + 8 − 2 = 18 Prova tu • Quanti spigoli ha un poliedro con 6 facce e 8 vertici? ……………………………. V + F = S + 2 S = V + F − 2 S = 8 + 6 − 2 = 12 Il poliedro ha 12 spigoli

I prismi Si chiama prisma un poliedro delimitato da due poligoni congruenti, detti basi, situati su piani paralleli e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati di ciascuno dei due poligoni. pentagonale quadrangolare Un prisma prende il nome dal numero dei lati del poligono di base. triangolare

I prismi retti Un prisma si dice retto se i suoi spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi. Un prisma si dice regolare se è retto e ha per basi due poligoni regolari. quadrato triangolo equilatero esagono regolare

Apriamo… un prisma Consideriamo il modello in cartone di un prisma retto a base triangolare. Se lo tagliamo lungo i suoi spigoli in modo da poterlo distendere su un piano, otteniamo una figura piana che si chiama sviluppo della superficie del prisma. La superficie di tutte le facce di un solido è detta superficie totale, mentre quella delle sole facce laterali è detta superficie laterale.

Alcuni esempi Prova tu P Il solido P è un prisma quadrangolare regolare, quindi è retto, le facce laterali sono 4 rettangoli R congruenti e le sue basi sono due quadrati Q congruenti. Qui sotto è disegnato lo sviluppo della superficie del solido P. Prova tu Disegna lo sviluppo della superficie di un prisma triangolare regolare.

piramide quadrangolare Le piramidi faccia laterale Si dice piramide un poliedro limitato da un poligono qualunque, detto base, e da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono, aventi tutti un vertice comune. piramide pentagonale piramide triangolare piramide quadrangolare Una piramide prende il nome dal numero di lati del poligono di base.

Piramidi rette e regolari Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrittibile a una circonferenza, il cui centro coincide con il piede dell’altezza. Una piramide si dice regolare se è retta e se ha per base un poligono regolare. QUADRATO PENTAGONO REGOLARE TRIANGOLO EQUILATERO

Alcuni esempi Il solido P è una piramide quadrangolare regolare, quindi è retta; il piede dell’altezza coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base. Le sue facce laterali sono quattro triangoli T isosceli congruenti, la sua base è un quadrato Q. Prova tu • Quante sono le facce laterali di una piramide regolare esagonale? ……. Ogni faccia è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati? …………………….. 6 isoscele

Poliedri regolari Un poliedro si dice regolare se: tutte le sue facce sono poligoni regolari congruenti; tutti gli angoli diedri, formati da facce adiacenti, sono congruenti. Tetraedro regolare 4 facce (triangoli equilateri) 4 vertici, 6 spigoli Dodecaedro regolare 12 facce (pentagoni regolari) 20 vertici, 30 spigoli Cubo (esaedro regolare) 6 facce (quadrati) 8 vertici, 12 spigoli Icosaedro regolare 20 facce (triangoli equilateri) 12 vertici, 30 spigoli Ottaedro regolare 8 facce (triangoli equilateri) 6 vertici, 12 spigoli

Esercitati • Un poliedro è un ......................... delimitato da ........................ posti in .............. diversi e disposti in modo che ognuno dei lati sia comune a ................. di essi. Indicando con V il numero di ......................., con F quello delle ........................ e con S quello degli ......................., la relazione di Eulero stabilisce che: V + F − S = ....... solido piani due vertici facce spigoli 2 poligoni • Osserva la figura del poliedro e inserisci i nomi che indicano le sue parti. Determina il numero di spigoli, vertici e facce del poliedro in figura e verifica per questo la relazione di Eulero. faccia vertice spigolo S = 12 V = 6 F = 8 6 + 8 − 12 = 2

Esercitati • Collega il nome dei solidi con la loro definizione e con il loro sviluppo. 2), b) 3), a) 1), c)

Esercitati • Completa scegliendo tra i termini e i simboli regolare, retta, poligono circoscrivibile, poligono regolare. Una piramide si dice ................ se ha per base un ................ ..................................... e il piede dell’altezza coincide con il centro della circonferenza circoscritta. Una piramide si dice ...................... se è ............. e ha per base un ................................. regolare retta poligono regolare poligono circoscrivibile • Traccia le altezze delle seguenti piramidi e stabilisci quale delle tre è regolare e quale è retta: ………….. retta regolare

I solidi rotondi Alcuni solidi hanno una caratteristica forma “rotonda” e la loro superficie non è costituita da poligoni. Per esempio: cilindri cono sfera Facendo ruotare di 360° una figura piana intorno a una retta (detta asse di rotazione) otteniamo i solidi di rotazione. Non tutti i solidi rotondi sono solidi di rotazione.

Solidi di rotazione Ruotando di 360° un rettangolo attorno a un suo lato, si genera un cilindro retto. Ruotando di 360° un triangolo rettangolo attorno a uno dei suoi cateti, si genera un cono retto. Ruotando di 360° un semicerchio attorno al suo diametro, si genera una sfera.

Apriamo… un solido di rotazione È sempre possibile ottenere lo sviluppo della superficie di un cilindro o di un cono. cilindro retto cono retto

Esercitati • Collega il nome dei diversi solidi con la figura piana che li genera (ruotando di 360° attorno a un proprio lato) e con l’opportuno sviluppo della superficie. Perché gli sviluppi delle superfici sono soltanto 2? 1), b) 3),a) 2)

SOLIDI DI ROTAZIONE SI OTTENGONO FACENDO RUOTARE UN POLIGONO, PER 3600, INTORNO AD UN SUO LATO

UN RETTANGOLO RUOTA INTORNO AD UNA DIMENSIONE CILINDRO RETTO ASSE DI ROTAZIONE RAGGIO DI BASE

UN TRIANGOLO RETTANGOLO RUOTA INTORNO AD UN CATETO CONO APOTEMA ASSE DI ROTAZIONE RAGGIO DI BASE

QUALI POLIGONI HANNO GENERATO QUESTI SOLIDI DI ROTAZIONE? INTORNO A QUALE LATO E’ AVVENUTA LA ROTAZIONE?

/15 4. CALCOLO DELLE AREE Al = 2p . h Al = π . r . a LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE I SOLIDI /15 4. CALCOLO DELLE AREE DEFINIZIONE Superficie di un poliedro La superficie di un poliedro è la somma delle superfici di tutte le sue facce. Scomponendo un solido (anche non poliedrico) è possibile calcolarne la superficie laterale: Al = 2p . h Al = π . r . a Ricordiamo che alla superficie laterale va aggiunta la superficie delle basi. 32

5. CALCOLO DEI VOLUMI /15 Volume del cubo Volume del prisma LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE /15 TEOREMA Volume del cubo La misura del volume del cubo è uguale alla misura del suo spigolo elevato alla terza potenza: V = a3 TEOREMA Volume del prisma La misura del volume del prisma è uguale al prodotto della misura dell’area di base per la misura dell’altezza: V = Ab . h TEOREMA Volume del cilindro La misura del volume del cilindro è uguale ap prodotto dell’area del cerchio di base per la misura dell’altezza: V =π .r2 . h Vediamo che, in generale, il volume delle tre figure può essere espresso come prodotto tra l’area della superficie di base e l’altezza. 33

/15 5. CALCOLO DEI VOLUMI Volume della piramide e volume del cono. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE I SOLIDI /15 5. CALCOLO DEI VOLUMI Volume della piramide e volume del cono. La piramide e il cono sono equivalenti, rispettivamente, alla terza parte di un prisma o di un cilindro di base equivalente. Quindi: TEOREMA Volume della piramide La misura del volume di una piramide è uguale alla terza parte del prodotto della misura dell’area di base per la misura dell’altezza: V =⅓.Ab . h TEOREMA Volume del cono La misura del volume di un cono è uguale alla terza parte del prodotto della misura dell’area del cerchio per la misura dell’altezza. V =⅓.Ab . h 34

Superficie del cilindro Al = Pb x h Ac C Al Al = C x h Al = 2πrh Ab Pb = C At = Al + 2Ab At = 2πrh + 2πr2 At = 2πr x ( r + h ) Area cerchio Superficie del cilindro

apotema Al = pb x a 2 Al Al = 2πra 2 Ab Pb = C Al = πra At = πra + πr2 At = Al + Ab At = πr x ( a + r ) Superficie del cono

1 2 3 h1 = h2 = h3 Ab1 = Ab2 =Ab3 V1 = V2 = V3 VOLUME DEL CILINDRO V = Ac x h V = πr2h volume del cilindro

Volume del cono 1 2 h1 = h2 Ab1 = Ab2 V1 = V2 VOLUME DEL CONO V = πr2 x h 3

3. LA SFERA LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE /15 La sfera è un solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro… … ma, aumentando il numero di lati delle facce di un poliedro regolare, si approssima sempre meglio una sfera… Quindi, la sfera è un solido di rotazione o un poliedro? 39

4. CALCOLO DELLE AREE /15 Area della sfera. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE /15 Area della sfera. La misura dell’area della superficie sferica è uguale a quattro volte quella del suo cerchio massimo: Ssfera = 4 π r2 Riscrivendo l’espressione della superficie sferica come Ssfera=2πr . 2r, troviamo che la superficie di una sfera è equivalente alla superficie laterale del suo cilindro circoscritto. 40

/15 5. CALCOLO DEI VOLUMI Volume della sfera LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE I SOLIDI /15 5. CALCOLO DEI VOLUMI TEOREMA Volume della sfera La misura del volume di una sfera è uguale al prodotto di (4/3 π) per la misura del raggio della sfera elevaro al cubo: V =4/3 . π. r3 41

5. CALCOLO DEI VOLUMI LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE /15 42