GRANDI IDEE DI MATEMATICA Battista Tamellini

Indice Idea numero 1: le frazioni Idea numero 2: la probabilità Idea numero 3: il numero “e” Idea numero 4: il p-greco Idea numero 5: il numero “i” Appendice: L’angolo dei test

Idea numero 1 le frazioni

DALL’INTERO ALLE FRAZIONI I numeri interi non bastano ad affrontare i problemi della vita quotidiana: a volte occorre indicare una quantità non intera, per questo l’uomo ha inventato le frazioni e i numeri decimali L’idea di frazione e le relazioni tra l’intero e le parti sono spesso presenti in diverse situazioni della vita quotidiana: pensate ad esempio ad espressioni come “un quarto d’ora” oppure “mezzo litro” ecc.

LE FRAZIONI Una frazione è un “numero spezzato”. Consideriamo una torta e dividiamola in tre parti. Chi riceve due delle tre parti ottiene una frazione equivalente a 2/3; l’altro ne otterrà 1/3 Nella notazione convenzionale una frazione assume la forma: numeratore denominatore

Linea del tempo 1800 a. C. I Babilonesi usano le frazioni 1650 a. C. Gli Egizi usano frazioni ordinarie 100 I Cinesi concepiscono un metodo per effettuare i calcoli con frazioni 1202 Leonardo Fibonacci diffonde l’uso della linea di separazione fra numeratore e denominatore 1700 la linea frazionaria diventa di uso comune

LE FRAZIONI: piccolo test Un minuto che frazione è dell’ora? 1/60 Quindici minuti che frazione sono dell’ora? 1/4 Quanto fa ? 3/4

Operazioni con le frazioni Una caratteristica singolare delle frazioni è che è più facile moltiplicarle che sommarle, al contrario di quanto avviene per i numeri interi Moltiplicazione: Addizione: le frazioni devono avere lo stesso denominatore

Conversione in numeri decimali In ambito scientifico e applicativo si preferisce esprimere le frazioni in forma di numero decimale (numero razionale). Per ottenere il numero decimale corrispondente si divide numeratore per denominatore Quando la divisione non ha mai fine e si ottengono i “numeri periodici”

Numeri decimali: test Domanda n. 1 Il signor Giovanni deve assumere 0,16 g di potassio al giorno. Se ha a disposizione compresse da 80 mg (milligrammi), quante compresse deve assumere ogni giorno? 2 Domanda n. 2 Una certa medicina è in vendita in compresse con due dosaggi differenti: 0,125 mg e 0,25 mg. Qual è il dosaggio maggiore? Di quante volte? 0,25 è il doppio di 0,125

Frazioni egizie Gli Egizi esprimevano tutte le frazioni come somma di frazioni unitarie (con numeratore uno) tutte diverse. In certi casi una frazione può essere espressa in modi diversi, alcuni dei quali più brevi degli altri. L’analisi dei metodi che consentono di trovare le espansioni più brevi resta ancora per buona parte inesplorata.

Perché utilizzare le frazioni egizie? La domanda sorge spontanea: perché gli Egiziani avevano questa fissazione? Per certi scopi, il sistema Egiziano funziona molto meglio del metodo intuitivo che utilizzeremmo oggi. Ad esempio, se volete dividere 5 mele in parti uguali fra 8 ragazzi, dividereste forse tutte le mele in 8 parti e ne dareste 5 ad ogni ragazzo? Dovreste fare 7*5=35 tagli. Visto che: 5/8 = 1/2+1/8, è più pratico dividere 4 mele a metà e una in 8 parti e consegnare mezza mela e un ottavo di mela ad ogni ragazzo. In tutto abbiamo fatto 11 tagli.

Algoritmo di Fibonacci Sembra che sia stato Fibonacci il primo a trovare un algoritmo esplicito che permette di scrivere qualsiasi frazione P/Q, minore di 1, come somma di frazioni egizie. Data la frazione propria a/b (es. 4/5 ) si cerca la più grande unità frazionaria contenuta in essa si sottrae tale unità da a/b ottenendo un certo resto si ripete il procedimento sul resto fino a ottenere una frazione generatrice con numeratore unitario a/b è uguale alla somma delle frazioni con numeratore unitario ottenute

Problemi … curiosi Problema n° 1: Nel Far West tre fratelli ereditano 17 cavalli. Nel testamento viene disposto che 1/2 di essi vada al primogenito, 1/3 al secondo e 1/9 al più giovane. I tre giovani sono disperati perché non sanno come fare le parti. Per fortuna arriva il giudice di pace, una signora molto abile e saggia. Scende da cavallo, e mette il suo bellissimo puledro in mezzo agli altri. Ora i cavalli sono 18 e si possono fare le parti. La metà (9 cavalli) va al più vecchio, un terzo (6 cavalli) al secondogenito e un nono (2 cavalli) all'ultimo. Poiché 9 + 6 + 2 = 17, avanza un cavallo. Il giudice riprende il suo e si allontana tra gli applausi di tutti! Il "trucco" si basa sul fatto che:1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18 il giudice aggiunge la parte mancate 1/18, e si ottiene 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18 = 1

7 piene; 7 piene a metà; 7 vuote Problema n° 2: tre amici, allevatori di pecore, ricevono in pagamento di un piccolo gregge una certa quantità di ottimo vino, in 21 botti uguali tra loro di cui: 7 piene; 7 piene a metà; 7 vuote Come dividere le botti in modo che ciascuno dei tre riceva lo stesso numero di botti e la stessa quantità di vino?

Soluzione: La figura seguente mostra la soluzione più semplice: ciascuno dei tre riceve sette botti e la stessa quantità di vino (equivalente a 3 botti e mezza)!!!

Idea numero 2 la probabilità

La valutazione di un rischio La nostra vita è regolata da un serie di decisioni: alcune di queste decisioni si basano su dati certi, altre su dati incerti. ho mal di testa quindi prendo una pastiglia; esco di casa e il cielo è nuvoloso: prendo o no l’ombrello? compero un biglietto della lotteria, quale possibilità ho di vincere? La teoria della probabilità è nata proprio per “quantificare” l’incertezza

Definizione classica di probabilità La probabilità P (E) di un evento E è il rapporto fra il numero m dei casi favorevoli (al verificarsi di E) e il numero n dei casi possibili, giudicati egualmente possibili. P(E) = m/n Esempio 1. Lanciando una moneta, qual è la probabilità che esca testa? I casi possibili sono 2, testa e croce {T, C}, i casi favorevoli sono 1 {T} quindi p(testa) = 1/2 Esempio 2. Lanciando un dado, qual è la probabilità che esca il 5? I casi possibili sono 6, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, i casi favorevoli sono 1 {5} quindi p(5) = 1/6

Ancora sulla probabilità Riprendiamo l’esempio del lancio di una moneta: non è detto che su due lanci una volta esca testa e una volta croce. Vi voglio insinuare il tarlo del dubbio: se la suddetta moneta era già stata lanciata dieci volte e per tutte e dieci volte era venuta testa, qual è la probabilità che nel lancio attuale venga ancora testa? La risposta è: ancora 1/2 ! la storia precedente della moneta non ha nessuna importanza poiché il lancio attuale è INDIPENDENTE da tutto ciò che è successo prima.

Estremi della probabilità La probabilità di un evento p(E) è sempre un numero compreso fra 0 e 1 Un evento che ha probabilità 0 è detto evento impossibile. Un evento che ha probabilità 1 è detto evento certo. Esempio 1. Estraendo una carta da un mazzo di 40, qual è la probabilità che sia un 10 di cuori? I casi possibili sono 40 i casi favorevoli sono 0, perché nei mazzi da 40 carte non ci sono i numeri 8, 9, 10. p(10 di cuori) = 0/40 = 0 Esempio 2. Estraendo una pallina da un'urna che contiene 8 palline rosse, qual è la probabilità che la pallina estratta sia rossa? I casi possibili sono 8 i casi favorevoli sono 8, perché ci sono 8 palline rosse. p(pallina rossa) = 8/8 = 1

Le origini della probabilità La teoria matematica della probabilità è nata nel XVII secolo con le discussioni fra Pascal e altri matematici sui problemi riguardanti il gioco d’azzardo. Questi personaggi si scervellavano su un problema molto semplice: è più probabile che esca un “sei” in quattro lanci di un dado o una “coppia di sei” in ventiquattro lanci di due dadi? Su quale opzione si dovrebbe scommettere? P.S. converrebbe scommettere sul primo evento (seppur di poco 0,51 contro 0,49)

Probabilità e gioco Parliamo dei giochi di sorte, cioè di giochi in cui la vincita dipende solamente da un evento casuale che puo' verificarsi (caso di vincita), oppure può non verificarsi (caso di perdita); Esempi: Lancio una moneta: se esce testa vinco 1 euro, se esce croce perdo 1 euro (e' un gioco di sorte: la vincita oppure la perdita dipende dall'evento "uscita di testa“) Giochi organizzati (lotto, lotterie ...) un giocatore paga un prezzo P per partecipare al gioco e vincere una somma S in caso di vincita

Gioco equo Gioco equo: un gioco è equo quando la vincita è proporzionata alla probabilità di vittoria. I giochi organizzati sono equi? Il gioco in questo caso è equo se la vincita S è uguale al prodotto del prezzo P pagato della eventuale moltiplicata per l’inverso della probabilità di vincerla.  Ad esempio se gioco un numero al lotto su una ruota, la probabilità di vincita è uno su diciotto (cioè 5/90), ma la vincita è pagata solo 11 volte non 18, quindi il gioco non è equo

Giochiamo con le carte … simulazione di un gratta e vinci Estraggo una carta da un mazzo di 10: punto 1 euro per giocare; se esce un asso vinco 6 euro  una persona (banco) mischia le carte, dopo aver reintrodotto la carta sorteggiata prima, una persona sorteggia una carta. Quanto dovrei guadagnare quando esce l'asso perché il gioco sia equo? 10 euro

Diamo i numeri … Il settore giochi nel 2011 fa segnare una raccolta di 76,5 miliardi di euro e vincite per 57,5 miliardi: la spesa effettiva e' stata, dunque, di 19 miliardi. Boccata d'ossigeno per le casse erariali, che chiuderanno l'anno con una raccolta superiore a 9,3 miliardi. In termini assoluti, gli incassi sono cresciuti rispetto al 2010 (chiuso a 61,5 miliardi) di 15 miliardi, con un incremento percentuale del 24,3%

Quanto è bendata la dea fortuna LOTTO - Probabilità di vincita Cinquina: 1 su 43.949.268 Quaterna: 1 su 511.038 Terno: 1 su 11.748 Ambo: 1 su 400 SUPERENALOTTO - Probabilità di vincita su una singola colonna 6 numeri esatti: 1 su 622.614.630 5 numeri esatti + 1 (jolly): 1 su 103.769.105 5 numeri esatti: 1 su 1.235.346,48 4 numeri esatti: 1 su 11.906,95 3 numeri esatti: 1 su 327 2 numeri esatti: 1 su 21,51 1 numero esatto: 1 su 3,36 0 numeri esatti: 1 su 1,53

LE PROBABILITA’ DI VINCITA CON IL MEGA MILIARDARIO “GRATTA E VINCI” !!! LE PROBABILITA’ DI VINCITA CON IL MEGA MILIARDARIO Costo del tagliando: 10 € Totale del payout: 75 % Probabilità di vincere 10 €: 35,50 % Probabilità di vincita di un premio tra 10 e 150 €: 10,62 % Probabilità di vincita di un premio compreso tra 151 e 1.000 €: 1.560 per milione (0,156 %) Probabilità di vincita di un premio compreso tra 1.001 e 10.000 €:  4,15 per milione Probabilità di vincita di un premio compreso tra 10.001 e 100.000 €:  0,80 per milione Probabilità di vincita del superpremio: 0,60 per milione

Concludendo … Così scrive l'esperto di matematica Ennio Espes: «Immaginiamo di collocare delle carte da gioco, una accanto all'altra, in due file ininterrotte, sui due lati delle strade che da Roma portano a Pechino, passando dall'India per allungare ancora il percorso. Una soltanto di tutte queste carte e' segnata. Partiamo con la nostra auto e fermiamoci in un punto qualsiasi della strada scegliendo a caso una di queste carte. Se e' la carta segnata abbiamo vinto, altrimenti abbiamo perso.  Quanto sareste disposti a pagare per partecipare a questo gioco? Eppure, in termini di probabilità, corrisponde esattamente al sei del Superenalotto». Dedicato a tutti coloro che hanno la voglia di sognare un pochino (che non ha mai fatto male a nessuno); ma attenzione... che non diventi un vizio!

Curiosità: il problema del compleanno Quante persone ci devono essere in una stanza perché si abbia la certezza che due di esse compiano gli anni nello stesso giorno? Risposta: 366 Tuttavia la teoria della probabilità ci dice che anche se nella stanza ci fossero solo 50 persone, c’è una probabilità del 95 % che due di esse compiano gli anni nello stesso giorno. Si dimostra poi che 23 è il numero di persone per cui tale probabilità è appena superiore a 1/2, 22 è quello per cui è appena inferiore a 1/2.

Idea numero 3 il numero “e”

Carta d’identità di “e” e è il numero irrazionale il cui valore approssimato è 2,718281… È uno dei numeri più importanti della matematica ( meno famoso di π solo per i non addetti ai lavori!!! ) Ha fatto la sua comparsa nel XVII secolo, quando molti matematici si dedicarono a chiarire il concetto di logaritmo (un’invenzione geniale che consentiva di trasformare la moltiplicazione dei numeri molto grandi in un’addizione). Nel 1618 mentre studia i logaritmi Nepero si imbatte nel numero e. Nel 1727 Eulero usa la notazione odierna e dimostra che si tratta di un numero irrazionale. Questo numero è sempre presente quando è in ballo una “crescita”: se qualcosa aumenta, invariabilmente salta fuori e.

Soldi, soldi e ancora soldi il problema dell’interesse composto Consideriamo, come esempio, un periodo di un anno, uno stratosferico interesse del 100% e un deposito iniziale di 1 euro. Quanti euro avremo di capitale alla fine dell’anno? Al termine dell’anno incasseremo la somma iniziale più gli interessi maturati, in questo caso 1 euro, e ci ritroviamo con una somma di 2 euro! Supponiamo ora che il tasso di interesse sia della metà (50%), ma che venga applicato separatamente a ciascun semestre. Quanti euro avremo di capitale alla fine dell’anno? Al termine dell’anno avremo 2,25 euro! Alla fine del primo semestre il capitale sarà di 1,50 euro (1 + 0,50 di interessi) e alla fine dell’anno sarà di 2,25 euro (1,50 + 0,75 di interessi).

Soldi, soldi e ancora soldi Supponiamo ora che il tasso di interesse sia del 25%, ma che venga applicato separatamente a ciascun trimestre. Quanti euro avremo di capitale alla fine dell’anno? Con un calcolo analogo, si trova in questo caso che il capitale finale sarà di 2,44141 euro! Suddividere l’anno in tante parti applicando tassi di interesse minori sembrerebbe portarci ad un guadagno sempre maggiore! In realtà non è cosi! Al limite il capitale finale si stabilizza su un valore costante: e Capitalizzazione ogni … Interessi maturati anno € 2,00000 sei mesi € 2,25000 tre mesi € 2,44141 mese € 2,61304 settimana € 2,69260 giorno € 2,71457 ora € 2,71813 minuto € 2,71828 secondo

Riflessioni Il numero e quindi rappresenta la quantità fino a cui cresce 1 euro se la capitalizzazione avviene in modo continuo. Questo numero, nato dall’economia, è stato adottato da tutte le scienze. È onnipresente perché le sue proprietà lo rendono insostituibile per descrivere i fenomeni più complessi: dalla crescita economica all’aumento della popolazione, alla diffusione di una malattia infettiva ecc. …

Idea numero 4 il numero π (pi greco)

il pi-greco (π) π è il numero più famoso della matematica ed è definito come il rapporto fra la circonferenza e il corrispondente diametro. Il rapporto fra circonferenza e cerchio ha suscitato grande interesse fin dall’antichità. Verso il 2000 a. C. i Babilonesi osservarono che la lunghezza della circonferenza era circa uguale al triplo del diametro. Già nell' Antico Testamento, nella descrizione dell'altare del tempio di Salomone, è detto: "Poi fece il «Mare» di metallo fuso, che aveva dieci cubiti da un orlo all'altro; era di forma perfettamente rotonda, aveva cinque cubiti d'altezza, e una corda di trenta cubiti ne misurava la circonferenza."

pi-greco in birreria In quali di questi esempi l'altezza del recipiente è maggiore della sua circonferenza? La risposta, spesso errata, a questa domanda rivela che non si conosce abbastanza bene il significato di pi-greco che è nascosto nella sua la cifra più sorprendente: il 3

Archimede e il pi-greco Il matematico che ha legato il suo nome al π è stato Archimede di Siracusa, infatti il π è detta anche “costante di Archimede” Archimede elaborò un metodo con cui è possibile ottenere approssimazioni comunque buone di  π  e lo usò per dimostrare che esso è compreso tra 223/71 e 22/7 (la media dei due valori è circa 3,1419). Per un cerchio di diametro d e raggio r: circonferenza = π d = 2 π r area = π r2 Per una sfera di diametro d e raggio r: superficie = π d2 = 4 π r2 volume = 4/3 π r3

Archimede di Siracusa Archimede (287a.C. – 212 a. C.) è stato sicuramente uno dei più grandi protagonisti della matematica. Archimede fornì importanti contributi alla matematica (il π ), alla fisica (il galleggiamento dei corpi, le leve) e all’astronomia; progettò macchine da guerra (catapulte e specchi ustori) per respingere gli attacchi dei Romani. La leggenda vuole che dopo aver scoperto la legge idrostatica del galleggiamento, sia saltato fuori dalla vasca da bagno e si sia messo a correre completamente nudo per strada gridando “Eureka”!

il valore di π Non è possibile conoscere il valore esatto di π perché è un numero irrazionale, cioè il suo sviluppo decimale è infinito e non presenta regolarità prevedibile. π = 3,14159265358979323846… Negli ultimi tempi la caccia a un numero sempre maggiore di cifre decimali di π ha acquistato maggiore impulso grazie all’uso dei computer. Nel 2002 il numero di cifre decimali note è stato portato a 1 241 100 000 000 e continua ad allungarsi. Questi calcoli lunghi e laboriosi non vengono effettuati per puro divertimento, ma sono utili per verificare la capacità di calcolo dei computer.

Linea del tempo 2000 a. C. I Babilonesi osservano che π è circa uguale a 3 225 a. C. Archimede approssima π in modo soddisfacente con 22/7 1706 William Jones introduce il simbolo π 1761 Lambert dimostra che π è irrazionale

il giorno del π Il pi greco ha da sempre suscitato un grande fascino tra gli studiosi e gli appassionati di matematica. Nel 1988, all’Exploratorium, il celebre Museo della Scienza di San Francisco, per iniziativa del fisico Larry Shaw, si tenne la prima celebrazione del pi greco. Non a caso fu scelta la data del 14 marzo (3.14 nella notazione anglosassone, che richiama l’approssimazione con tre cifre di pi greco). Da allora la celebrazione si ripete ogni anno in numerose scuole, università e istituzioni scientifiche di tutto il mondo. La celebrazione avviene anche in comunità virtuali come Second Life e Facebook. Il 14 marzo 2010 Google ha reso omaggio alla giornata del pi greco con una versione artistica del proprio logo.

Idea numero 5 il numero i

L’elevamento a potenza Ricordiamo che: in matematica esiste l’operazione di elevamento a potenza; per esempio: 23 = 2x2x2 = 8 Moltiplicando per se stesso ( cioè elevandolo al quadrato) qualunque numero diverso da zero si ottiene un numero positivo: 32 = 9 (-3)2 = 9

La radice quadrata L’estrazione di radice quadrata è l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato: Perché Attenzione: La radice quadrata dei numeri negativi non è più un numero reale perché il quadrato di un numero deve necessariamente essere positivo. perché (-1)2 = 1 perché 12 = 1

Numeri immaginari I matematici ( a partire dal XVI secolo) hanno risolto la questione introducendo una nuova entità matematica e cioè un numero nuovo indicato con la lettera “i “ Questo numero è tale per cui: quindi avremo: N. B. Il termine “immaginario” è stato coniato da Cartesio nel (XVII secolo)

Altre notizie Sommando un numero reale e un numero immaginario, si ottiene un numero complesso. Lo sviluppo dello studio dei numeri complessi avvenne nel XIX secolo. I numeri complessi non servono per andare a fare la spesa, ma basta parlare con un progettista di aeroplani o un ingegnere elettrico per scoprire che sono fondamentali. Un’identità affascinante Nella seguente affascinante formula della matematica (attribuita ad Eulero): vengono messi in relazione i numeri più famosi!!!

I numeri … dei matematici N. decimali finiti o periodici N. interi N. razionali N. irrazionali (radici, e, π …) N. reali N. complessi N. immaginari I numeri reali possono essere positivi o negativi.

L’angolo dei test

Domanda n. 1 Un certo paio di scarpe, nel mese di marzo costa 100 euro. In aprile il suo prezzo sale del 10%. A maggio, il suo prezzo scende del 10% rispetto al mese di aprile. Quale delle seguenti affermazioni è VERA? Il paio di scarpe in maggio ha un costo uguale a quello di marzo. Il paio di scarpe in maggio ha un costo inferiore del 1% rispetto a quello di marzo. Il prezzo del paio di scarpe in maggio è inferiore del 10% rispetto a quello di marzo. Il prezzo del paio di scarpe da marzo a maggio è complessivamente aumentato. Risposta corretta: B Infatti: 100 + 10% di 100 = 100 + 10 =110 110 – 10% di 110 = 110 -11 = 99

Domanda n. 2 I quadrati Q1, Q2, Q3 in figura sono stati formati intersecando il segmento il segmento AH lungo 10 cm con la linea spezzata ABCDEFGH. Quanti centimetri è lunga la spezzata ABCDEFGH? 30 cm. 40 cm. 80 cm. Non si può stabilire con i dati a disposizione. Risposta corretta: A il segmento AH è complessivamente formato dai tre lati dei quadrati Q1, Q2 e Q3; nella spezzata, per ogni quadrato Q1, Q2 e Q3, sono anneriti tre lati quindi un lato va contato tre volte; il risultato è che la spezzata vale tre volte il segmento AH, cioè 30 cm

Domanda n. 3 Si hanno due tipi di bottiglie di vetro. La bottiglia da 1 litro vuota pesa 350 g. La bottiglia da 1,5 litri vuota pesa 430 g. Si devono riempire le bottiglie con 15 litri d'olio. Quanto vetro si risparmia, in grammi, usando bottiglie da 1,5 litri invece che bottiglie da 1 litro? Risposta: bottiglie da 1 litro: n° bottiglie 15; peso vetro 15 x 350 g = 5250 g bottiglie da 1,5 litri: n° bottiglie 10; peso vetro 10 x 430 g = 4300 g risparmio 5250 g – 4300 g = 950 g

Domanda n. 4 Sapreste scoprire quale numero a sei cifre segue la figura dell'albero di natale qui rappresentato? Ogni riga,dalla seconda in poi, “descrive” la riga precedente: seconda riga: nella prima riga ci sono un (1) uno (1) terza riga: nella seconda ci sono due (2) uno (1) quarta riga: nella terza c’è un (1) due (2), un (1) uno (1) quinta riga: …………….

Domanda n. 5 1 1 2 1 3 3 1 ? ? ? ? ? Sapreste scoprire quale numero a cinque cifre segue la figura dell'albero di natale qui rappresentato? Questo non è un semplice “giochino”. Si tratta del famoso triangolo di Tartaglia. Lo schema si costruisce a partire dall’alto. Si scrive un 1 e se ne aggiungono altri due nella riga sotto, a destra e a sinistra del primo. Per formare le righe successive si aggiungono altri 1 alle estremità e si ricava ciascun numero interno sommando i due numeri immediatamente sopra.

Domanda n. 6 Qui sotto vedete un semplice circuito ferroviario. A e B rappresentano due vagoni, M rappresenta una motrice La motrice può agganciare un solo vagone alla volta e può tirarlo oppure spingerlo lungo il binario. La motrice può passare, anche assieme a un vagone, attraverso gli scambi. Attenzione però a mantenere il corretto orientamento, in base a come sono uniti i binari! continua …

continua … Il compito è quello di scambiare il vagone A con il vagone B, lasciando tutto il rto immutato. In pratica, dopo gli opportuni trasferimenti, si dovrebbe avere una situazione come quella seguente.

Scambio di vagoni 1 B M A

Scambio di vagoni 2 B M A

Scambio di vagoni 3 B M A