Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 SISTEMI NUMERICI a confronto Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 Collana Quaderni dell’intercultura E.M.I. Bologna - 2000 Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

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Aritmetica arte dei numeri Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 Breve storia della matematica: la nascita dei sistemi numerici Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Osso di Ishango, antichissima testimonianza di conteggio Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 pezzi di argilla con cui venivano sigillati i recipienti Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 Verso il 3.000 a.C., proprio per contenere la documentazione contabile tridimensionale, vengono utilizzati dei contenitori in argilla di forma tondeggiante le “ bullae” ; esse vengono sigillate e sulla superficie recano informazioni circa il mittente e la tipologia della merce, anche in termini quantitativi. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 Base 2 o sistema binario Usato in Cina dal 3.000 a.C. è usato ancora da varie tribù dell’Australia. Gli stessi processori dei Personal Computer l’utilizzano. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 0 - 1 - 10 - 11 - 100 - 101 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 110 - 111 - 1000 - 1001 - 6 - 7 - 8 - 9 1010 - 1011 -1100 - 1101 - - 10 - 11 - 12 - 13 1110 -1111 - 10000 …. 14 - 15 - 16….. Legenda : numeri in blu Numerazione Binaria numeri in rosso Numerazione Decimale Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 Base 4 Usata dai Nabatei e dai Kharosthi (India Nord Occidentale) dal V° sec. a.C. al III° sec. d.C. Probabilmente tale tipo di numerazione è stata favorita dall’usanza di toccare le quattro dita della mano con il pollice. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 Base 12 Utilizzata dalla tribù Apho (Nigeria), è un’evoluzione della base 4 in quanto considera le tre falangi delle quattro dita. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 Base 5 Fu usata dal 30.000 a.C. (ex Cecoslovacchia) molte numerazioni non posizionali recano tracce evidenti della base cinque Base 5 - Base 10 - Base 20 Furono di gran lunga le più usate. La stessa numerazione romana in base 10 reca tracce della base 5 come pure le numerazioni dei Maya (in base 20) e degli Aztechi (in base 10). Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 I Cumana (Etiopia) usano l’espressione “un uomo intero” per indicare venti, “due uomini interi” per indicare quaranta. Per lo stesso motivo gli abitanti dell’isola Indonesiana di Enggano (Sumatra) dicono “cinque uomini” per indicare cento. I Baschi utilizzano ancora la base 20 per cui dicono “venti e dieci” per indicare trenta ..... . Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 Base 10 Secondo Aristotele, tale base si impone proprio perché l’uomo utilizza le dita delle mani come abaco naturale sempre a sua disposizione. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

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Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 in Cina l’abaco è chiamato “ Suan phan “ in Giappone “ Soroban “ 1 5 3 2 7 8 6 Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

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CIVILTA’ DEL MESOAMERICA e le loro matematiche Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 La numerazione Maya   Gli antichi abitanti della penisola dello Yucatan, nell’attuale Messico, usavano un sistema di numerazione in base 20. La notazione era posizionale: utilizzavano un puntino  per l’unità, una barretta orizzontale per le cinquine, e… il simbolo     Come simbolo distanziatore Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 Maya (dal 500 a.C. al 300 d.C.) La scrittura e l’organizzazione della misura del tempo sono indicatori del livello culturale veramente significativo raggiunto dai Maya. Essi si servivano della matematica per determinare i giorni fausti e infausti. I loro sacerdoti erano al contempo astronomi, astrologi, matematici. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 Pur non conoscendo né frazioni, né numeri decimali, avevano una matematica di notevole interesse per quanto riguarda l’originalità del loro sistema numerico, vigesimale, con alcune “compromissioni “ in base 5. Era infatti una struttura posizionale, l’originalità sta proprio nella scrittura verticale dei numeri. L’uso di soli 3 simboli per la composizione dei numeri, richiede a supporto una qualche sopravvivenza di regole additive : Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 Sorprendenti sono le analogie tra i sistemi numerici babilonesi e maya. Babilonesi Maya additivo fino a 59 additivo fino a 19 posizionale da 60 posizionale da 20 potenze di 60 potenze di 20 notazione posizionale Orizzontale notazione posizionale verticale Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

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SISTEMA POSIZIONALE VERTICALE VIGESIMALE 205 204 203 202 201 ( X 18) 200 Simbolo distanziatore per l’unità, per le cinquine Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

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Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 Alcuni numeri ammettevano anche delle notazioni alternative, come lo zero ed anche il 20: Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 I numeri da 1 a 13, inoltre, erano divinizzati, e talvolta i Maya li raffiguravano sotto forma di volti. Ecco diverse rappresentazioni della cifra 1 nel 10, nel 19 e come unità.   Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

La terza cifra dal basso indicava allora Un sistema leggermente diverso veniva usato per scrivere le date. L’anno dei Maya, come quello dei Babilonesi, durava 360 giorni a cui si aggiungevano 5 giorni “infausti”. La terza cifra dal basso indicava allora 360 = 18  20 anziché 400 = 20  20. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Seconda colonna a sinistra,dall’alto in basso Un frammento del codice di Dresda Seconda colonna a sinistra,dall’alto in basso 9X20X 20X18X20 9X 20X18X20 16X18X20 0X20 = 1.296.000+64.800+ 5760+0+0= 1.366.560 Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Notazioni numeriche azteche Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

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L’aritmetica degli INCAS ovvero un sistema numerico (posizionale, decimale, …verticale) ….senza scrivere un numero Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 5 7 6 3.103 +5.102 + 7.101 + 6.100 = = 3576 Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 GLI INCAS Registrazioni di numeri attraverso i nodi, sono in realtà abachi o libri contabili strutturati in maniera così originale da sorprendere dal popolo incaico. Quipu in lingua quechua significa “ nodo“. Nato per registrare dati di natura amministrativa-politica, aveva dimensioni varianti tra i trenta centimetri e i tre metri e mezzo. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 Alla corda principale venivano legate funicelle più sottili a distanze prestabilite, a gruppi di numero variabile secondo regole codificate. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 Di materiale diverso (lana o cotone) potevano essere colorate : colore, tipo di nodo, intreccio dei fili per costruire la corda stessa, costituivano messaggi utili per contestualizzare informazioni deducibili, comunque, solo da adepti. Infatti i quipu una volta annodati, venivano “ fissati “ bagnando i nodi, tingendo le funicelle, fissando definitivamente con resine il tutto in modo da impedire ogni tentativo di alterare i messaggi. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

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Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 Dall’osservazione delle funicelle e dei nodi su di esse fissati, si desume che anche la numerazione incaica era organizzata in base 10 ed era posizionale, verticale. I nodi su una sola funicella rappresentano le unità, mentre quelli su due funicelle riunite, le decine, su tre funicelle riunite le centinaia, su quattro funicelle riunite le migliaia. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 Le addizioni erano possibili utilizzando le sole funicelle. I capi di bestiame o i raccolti agricoli venivano registrati in termini quantitativi in modo sistematico e convenzionale : per gli ovini ad esempio prima venivano contati i montoni, poi gli agnelli e per ultimo le pecore. A questo punto nel quipu veniva aggiunta un’altra funicella sulla quale attraverso i nodi veniva data la somma dei capi di bestiame. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

RETI MOLTIPLICATIVE ED INDIANI D’AMERICA Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 Alcune tribù indiane erano solite tracciare sulla sabbia delle regioni desertiche che attraversavano dei grafi a forma di ramo. Osservate da noi ora le potremmo interpretare come reti moltiplicative. Sono piaciute molto e, con l’aggiunta dei colori dei regoli, divengono ancora più attraenti ed efficaci nella comunicazione. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

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Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 regoli in colore Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 2 + 5 = 7 5 + 2 = 7 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 = 5 5 7 17 Con i regoli si possono preparare “cornicette, tappetini, bordi…” saranno i bambini stessi a trovare i nomi più vicini ai loro vissuti, ma questi disegni sono trasformabili in strutture di calcolo come quella proposta qui sotto. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

(un quadrato da tre per tre) Raggruppare in basi diverse dalla base dieci la regola del tre (ogni tre si cambia) come vediamo nell’immagine tre unità permettono di realizzare il cambio con una terzina. Tre terzine permetteranno il cambio con un piatto formato da tre terzine (un quadrato da tre per tre) Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

(un quadrato da tre per tre) Tre terzine permetteranno il cambio con un piatto formato da tre terzine (un quadrato da tre per tre) Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sistemi numerici nella storia Ricostruzione : dell’albero genealogico dei nostri numeri delle regole del nostro sistema numerico posizionale e in base dieci dei sistemi dei popoli con cui veniamo in contatto Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sistemi numerici non posizionali S.N. del popolo Sumero S.N. del popolo Egizio S.N. del popolo Cinese S.N. del popolo Azteco S.N. del popolo Babilonese (entro il 59) S.N. del popolo Maya (entro il 19) Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Costruzione di un sistema numerico Simboli numerici Regole Non posizionali decimali  non decimali posizionali decimali Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Costruzione di un sistema numerico posizionale in base due Le cifre che avete a disposizione sono : 1 Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Costruzione di un sistema numerico posizionale in base tre Le cifre che avete a disposizione sono : 1 2 Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Costruzione di un sistema numerico posizionale in base dieci Le cifre che avete a disposizione sono : ……………………………… Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare operare (quattro operazioni, a piacere ) secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Costruzione di un sistema numerico posizionale in base quattro Le cifre che avete a disposizione sono : 1 2 3 Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Costruzione di un sistema numerico posizionale in base cinque Le cifre che avete a disposizione sono : 1 2 3 4 Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Costruzione di un sistema numerico posizionale in base sei Le cifre che avete a disposizione sono : 0 ° 3 1 ° 4 2 ° 5 Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Costruzione di un sistema numerico posizionale in base sette Le cifre che avete a disposizione sono : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Costruzione di un sistema numerico posizionale in base otto Le cifre che avete a disposizione sono : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Costruzione di un sistema numerico posizionale in base nove Le cifre che avete a disposizione sono : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

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Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 logica Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011 strutture Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011