Lezioni di Ricerca Operativa Corso di Laurea in Informatica Università di Salerno Lezione n° 23 Problema del Massimo Flusso: Formulazione Matematica Teorema flusso massimo / taglio minimo Algoritmo del Grafo Ausiliario Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili – Dott. Carrabs

Il Problema del Massimo Flusso Sia G = (V,A) un grafo orientato su cui sia definito un vettore u = [uij] delle capacità associate agli archi del grafo; inoltre, siano s e t due nodi distinti, detti rispettivamente sorgente (o origine) e pozzo (o destinazione). Il problema del flusso massimo consiste nel determinare la massima quantità di flusso che è possibile inviare da s a t attraverso G. Capacità: uij 10 15 4 6 8 12 5 1 2 3 A differenza degli altri problemi di flusso visti in precedenza, qui non possiamo assegnare alla sorgente un valore costante dato che il problema chiede proprio di individuare il valore massimo (offerta) che può essere associato ad essa. Per questa ragione viene assegnata una variabile f che vogliamo massimizzare e ovviamente alla destinazione associamo la variabile –f. Per tutti quanti gli altri nodi, essendo di passaggio associamo il valore 0. Nodo pozzo: t Nodo sorgente: s

Il Problema del Massimo Flusso Nodo sorgente fornisce flusso f Nodo destinazione assorbe flusso -f Tutti gli altri nodi sono nodi di transito Voglio spedire dalla sorgente la massima quantità di flusso f fino al pozzo senza violare i vincoli di capacità

Il Problema del Massimo Flusso: formulazione Parametri di input: - Grafo orientato G=(V,A) - Nodo sorgente s - Nodo destinazione t Variabili decisionali:

Il Problema del Massimo Flusso: formulazione

Il Problema del Massimo Flusso: esempio 15 2 3 10 4 12 5 6 6 1 8 15 6 4 5 10

Il Problema del Massimo Flusso: esempio 3,15 2 3 3,10 3,4 12 5 6 6 1 8 1,15 1,6 4 5 1,10

Il Problema del Massimo Flusso: concetti fondamentali 2 t 3 s 10 6 8 4 9 Il flusso massimo su questo grafo è pari a 6 (corrispondente alla capacità minima degli archi del cammino). 2 t 3 s 10 6 8 4 9

Il Problema del Massimo Flusso: concetti fondamentali 2 t 3 s 10 6 8 4 9 La retta in figura mostra un taglio del grafo, ossia un partizionamento dei vertici del grafo in due sottinsiemi V1={s,2,3} e V2={4,t} tali che: - Il nodo sorgente appartiene a V1 - Il nodo pozzo appartiene a V2 - V1  V2 = V - V1 ∩ V2 = Ø Estendiamo questo concetto di taglio ad un grafo più complesso

Taglio di un grafo e archi del taglio 15 2 3 10 4 12 5 6 6 1 8 15 6 4 5 10 Taglio 1: V1 ={1,2,3} V2 = {4,5,6}  archi del taglio ={(1,4) (2,4) (2,5) (3,6)} La capacità di un qualsiasi taglio è un limite superiore al valore del flusso massimo. Taglio 2: V1 ={1,3,5} V2 = {2,4,6}  archi del taglio ={(1,2) (1,4) (3,6) (5,6)} Taglio 3: V1 ={1,4,5} V2 = {2,3,6}  archi del taglio ={(1,2) (4,3) (5,3) (5,6)}

Capacità di un taglio 15 2 3 10 4 12 5 6 6 1 8 15 6 4 5 10 Dato il taglio (V1, V2) la capacità del taglio è pari alla somma delle capacità degli archi del taglio.

Capacità di un taglio 15 2 3 10 4 12 5 6 6 1 8 15 6 4 5 10 Taglio 1: V1 ={1,2,3} V2 = {4,5,6}  archi del taglio ={(1,4) (2,4) (2,5) (3,6)} Capacità = 6 + 5 + 12 + 4 =27 Taglio 2: V1 ={1,3,5} V2 = {2,4,6}  archi del taglio ={(1,2) (1,4) (3,6) (5,6)} Capacità = 10 + 6 + 4 + 15 = 35 Taglio 3: V1 ={1,4,5} V2 = {2,3,6}  archi del taglio ={(1,2) (4,3) (5,3) (5,6)} Capacità = 10 + 8 + 6 + 15 = 39

Relazione tra il massimo flusso e la capacità di un taglio Proprietà 1: Il valore di un qualunque flusso ammissibile è minore o uguale alla capacità di un qualunque taglio. Dim. Sia X un flusso ammissibile e (V1,V2 ) un qualunque taglio del grafo. Sommando i vincoli di bilanciamento del flusso relativi ai nodi in V1 otteniamo:

Relazione tra il massimo flusso e la capacità di un taglio Dalla prima relazione notiamo che: Per ogni coppia di nodi p e q tali che esiste l’arco (p,q) nel grafo abbiamo che: Se entrambe p e q appartengono a V1, allora la variabile x_pq nella prima sommatoria (quando i=p) si elimina con la variabile –x_pq della seconda sommatoria ( quando j=q). Inoltre, se entrambe i nodi appartengono a V2, allora la corrispondente variabile x_pq non compare in nessuna delle due sommatorie. Quindi la prima espressione puo’ essere ridotta alla seconda relazione Dalla seconda relazione possiamo ottenere la terza considerando la maggiorazione nel seguente modo: Per la prima sommatoria sappiamo che x_ij <=u_ij e per la seconda sommatoria sappiamo che x_ij >=0 cioè –x_ij <=0, quindi sostituendo questi valori otteniamo la maggiorazione della terza relazione che è la tesi che volevamo dimostrare.

Relazione tra il massimo flusso e la capacità di un taglio La capacità di un taglio mi fornisce un limite superiore al valore del flusso f che posso spedire dalla sorgente al pozzo Se ho un flusso ammissibile di valore f e riesco a trovare un taglio la cui capacità è uguale ad f allora posso concludere che il flusso che ho trovato è massimo Teorema (Max Flow- Min Cut) Il flusso massimo che può essere spedito dalla sorgente al pozzo su un grafo orientato G è uguale alla capacità del taglio minimo di G.

Algoritmo dei Cammini Aumentanti L’algoritmo dei cammini aumentanti risolve il problema del flusso massimo utilizzando il grafo delle capacità residue (o grafo ausiliario) per decidere come spedire il flusso sulla rete dove ad ogni arco è associata una capacità residua pari a 𝑟 𝑖𝑗 . Consideriamo un grafo G=(V,A) bi-orientato ed un flusso ammissibile x (inizialmente il metodo considera il flusso nullo ossia 𝑥 𝑖𝑗 =0, ∀ 𝑖,𝑗 ∈𝐴). I passi principali dell’algoritmo dei cammini aumentanti sono: Trovare (sul grafo ausiliario) un qualsiasi path p dal nodo sorgente al nodo pozzo su cui è possibile far transitare una quantità di flusso ∆ > 0 (path aumentante). Se non esiste tale path l’algoritmo si arresta. Determinare il valore del flusso, sul path aumentante p trovato, che sarà pari alla capacità minima tra gli archi di p ( i.e. ∆=min{ 𝑟 𝑖𝑗 : (i,j) appartiene a p} ). Sottrarre il valore ∆ dalla capacità di ogni arco (i,j)∈ p e sommarlo alla capacità dell’arco (j,i) definendo in questo modo le nuove capacità residue 𝑟 𝑖𝑗 del grafo ausiliario. Consideriamo un grafo diretto e simmetrico [cioè se il grafo contiene l’arco (i,j) allora contiene anche l’arco (j,i)]. La simmetria dell’arco la possiamo sempre considerare se ammettiamo archi a capacità nulla. Dato un grafo G=(V,A) ed un flusso ammissibile x, il grafo ausiliario G’=(V,A’) è tale che:

Grafo ausiliario e capacità residue Dato un grafo G=(V,A) ed un flusso ammissibile x su G, il grafo ausiliario G(x)=(V,A’) è così costruito: V’=V A’ definisce un grafo bi-orientato. Il valore della capacità sugli archi in A’ sono così determinati: se (i,j) ∊ A (i,j) ∊ A’ con capacità residua rij = uij – xij se (i,j)  A (j,i) ∊ A’ con capacità residua rij = xij Se un arco ha capacità residua maggiore di zero, significa che posso spedire ancora del flusso utilizzando l’arco. Poiché voglio spedire flusso dalla sorgente al pozzo, allora se riesco ad individuare un cammino da s a t sul grafo ausiliario posso spedire del flusso addizionale dalla sorgente al pozzo. Un cammino da s a t sul grafo ausiliario viene definito cammino aumentante. Fino a quando nel grafo ausiliario esistono cammini aumentanti allora posso incrementare il flusso da s a t, altrimenti il flusso è massimo.

Algoritmo del Grafo Ausiliario 1 5 7 2 4 3 6 8 10   1   3 2 2 4   10 1 1 [Practical Optimization: a Gentle Introduction: chapter 9] 5 4 f = 0 8 1 5 7 3 6 4 1 1 3 6 6 5

Algoritmo del Grafo Ausiliario 3 2 2 4 Un path aumentante è un path da s a t sul grafo ausiliario. Viene chiamato ‘’aumentante’’ perché permette di aumentare il flusso sul grafo da s a t utilizzando gli archi del path. Il flusso che posso spedire è uguale alla minima capacità residua degli archi del path. 10 1 1 5 4 8 1 5 7 3 6 4 1 P = 1-5-4-7 1 3 6 ∆=4 f = 4 6 5 3 2 1 5 7 2 4 3 6 4 6 1 P = 1-2-4-7 1 5 4 4 ∆=3 f = f+∆ = 7 4 3 6 4 1 1 6 5

Algoritmo del Grafo Ausiliario 3 2 1 5 7 2 4 3 6 4 6 1 P = 1-2-4-7 1 5 4 ∆=3 f = f+∆ = 7 4 4 3 6 4 1 1 6 5 5 1 5 7 2 4 3 6 3 4 3 1 P = 1-3-6-7 1 2 7 4 ∆=4 f = f+∆ = 11 4 3 6 4 1 1 6 5

Algoritmo del Grafo Ausiliario 5 1 5 7 2 4 3 6 3 4 3 1 P = 1-3-6-7 1 2 7 ∆=4 f = f+∆ = 11 4 4 3 6 4 1 1 6 5 5 1 5 7 2 4 3 6 3 4 3 1 P = 1-5-6-7 1 2 7 4 ∆=2 f = f+∆ = 13 4 3 6 5 1 4 2 1 4

Algoritmo del Grafo Ausiliario 5 1 5 7 2 4 3 6 3 4 3 1 P = 1-5-6-7 1 2 7 ∆=2 f = f+∆ = 13 4 4 3 6 5 1 4 2 1 4 5 1 5 7 2 4 3 6 3 4 3 1 P = 1-5-6-4-7 1 2 7 2 ∆=1 f = f+∆ = 14 6 3 4 7 2 1 4 1 4

Algoritmo del Grafo Ausiliario 5 1 5 7 2 4 3 6 3 4 3 1 P = 1-5-6-4-7 1 2 7 ∆=1 f = f+∆ = 14 2 6 3 4 7 2 1 4 1 4 5 1 5 7 2 4 3 6 3 4 2 Non riesco ad individuare un cammino aumentante  Il flusso che ho individuato è ottimo 1 2 2 8 1 7 3 3 7 3 4 1 4

Algoritmo del Grafo Ausiliario Grafo iniziale Grafo finale 1 5 7 2 4 3 6 8 10 1 5 7 2 4 3 6 8 1 Il valore delle variabili decisionali, per ogni arco del grafo di partenza, è pari alla differenza tra la capacità originale dell’arco meno quella residua nell’ultimo grafo ausiliario (il valore viene ignorato se negativo). Ad esempio per l’arco (1,2) abbiamo una capacità iniziale pari a 5 e una finale pari a 2 quindi x12=3 . Analogamente abbiamo x15=8-1=7 , x13=4-0=4, x25=1-1=0, x24=3-0=3 ecc.ecc.

Dettagli per la correttezza e l’implementazione Si noti che nello schema generale del metodo di Ford e Fulkerson ci sono dei dettagli che devono essere meglio chiariti: Come si identifica un cammino aumentante o come si mostra che non esiste un cammino aumentante? Come certificare che il flusso ottenuto è quello massimo? La risposta a queste domande puo’ essere ottenuta considerando una particolare implementazione dell’algoritmo del cammino aumentante che da luogo al Labeling Algorithm di Ford and Fulkerson

Labeling Algorithm di Ford and Fulkerson Idea Principale: Per cercare un cammino si effettua una visita del grafo ausiliario a partire dalla sorgente e si etichettano (label) tutti i nodi che possono essere raggiunti Se il pozzo viene etichettato, allora esiste un cammino aumentante e si puo’ incrementare il flusso da s a t attraverso il cammino trovato Se il pozzo non viene etichettato allora si costruisce un taglio nel seguente modo: in V1 si inseriscono i nodi etichettati in V2 si inseriscono i nodi non etichettati Poichè la capacità del taglio così costruito è pari al flusso f inviato fino a quel momento, dal teorema MinCut/MaxFlow tale flusso f è massimo.

Individuazione taglio minimo Grafo iniziale Grafo finale 1 5 7 2 4 3 6 8 10 1 5 7 2 4 3 6 8 1 Capacità = 14 Taglio : V1 ={1,2,3,5,6}, V2 = {4,7} Per poter individuare il taglio minimo, la cui capacità sarà uguale al flusso massimo f=14, è sufficiente controllare quali sono i nodi raggiungibili dalla sorgente 1 attraverso archi con capacità residua >0 nell’ultimo grafo ausiliario.

L’algoritmo del cammino aumentante Dato un grafo G=(V,A,u): 1.1 definisci un flusso iniziale X ammissibile, in particolare il flusso nullo: xij=0 per ogni (i,j) in A 1.2 f=0 2. Costruisci il grafo ausiliario G(X) 3. Cerca in G(X) un cammino aumentante p dalla sorgente al pozzo 3.1 Se non esiste alcun cammino allora STOP: il flusso corrente è massimo 3.2 Altrimenti sia p il cammino aumentante trovato su G(X): - Sia =min{rij: (i,j) appartiene a p } - Aggiorna le capacità residue sugli archi del cammino trovato: ∀ 𝑖,𝑗 ∈𝑝 : 𝑟 𝑖𝑗 = 𝑟 𝑖𝑗 −Δ and 𝑟 𝑗𝑖 = 𝑟 𝑗𝑖 +Δ - torna al passo 3. 4. Calcola il valore del flusso ottimo trovato: - ∀ 𝑖,𝑗 ∈𝐴: 𝑥 𝑖𝑗 =max⁡(0, 𝑢 𝑖𝑗 − 𝑟 𝑖𝑗 )

Complessità dell’algoritmo del grafo ausiliario 21000 21000 1 21000 21000 Ad ogni iterazione (eccetto l’ultima) viene effettuato un aumento di flusso su un camino aumentante trovato. Questo aumento di flusso costa al più O(m) perche’ viene esaminato ogni arco al massimo una volta Quindi la complessità dell’algoritmo è O(m) volte il numero di aumenti di flussi effettuati. Quanti aumenti vengono effettuati? Se tutte le capacità sono intere e limitate superiormente da un valore finito pari a U, allora la capacità del taglio V1=s e V2=n\s è al massimo nU, quindi il massimo flusso e’ limitato superiormente da nU. Poiche ad ogni aumento di flusso viene spedita almeno 1 unità di flusso, nel caso peggiore posso essere effettuati nU aumenti di flusso, quindi la complessità dell’algoritmo è pari a O(mnU)

Approcci alternativi Per migliorare la complessità dell’algoritmo ci sono diversi approcci: cercare un cammino con il numero minimo di archi (shortest augmenting path algorithm ) posso cercare un cammino con una capacità almeno pari ad una quantità  fissata di volta in volta (capacity scaling algorithm) algoritmi di preflow push