Intelligenza Artificiale Preferenze Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello Outline Preferenze razionali Utilità Denaro Utilità multi-attibuto Reti di decisione Valore dell’informazione Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello Preferenze Un agente sceglie tra premi (A, B, etc.) e lotterie, cioè, situazioni con premi incerti Lotteria L = [p, A; (1-p), B] A p L 1-p B Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello Preferenze razionali Idea: le preferenze di un agente razionale devono obbedire a vincoli. Preferenze razionali  comportamento descrivibile come massimizzazione dell’utilità attesa Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Preferenze razionali (cont.) La violazione dei vincoli conduce a evidenti contraddizioni Per esempio: un agente con preferenze intransitive può essere indotto a dare via tutto il suo denaro Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Massimizzando l’utilità attesa Teorema (Ramsey, 1931; von Neumann e Morgenstern, 1944): Date le preferenze soddisfacenti i vincoli esiste una funzione a valori reali U tale che Principio MEU: Scegliere l’azione che massimizza l’utilità attesa Nota: un agente può essere interamente razionale (consistente con MEU) senza mai rappresentare o manipolare utilità e probabilità Es., una tabella predefinita per un giocatore perfetto di tris Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello Utilità L’utilità associa gli stati a numeri reali. Quali numeri ? Approccio standard per stabilire l’utilità umana: Comparare un dato stato A con una lotteria standard Lp che ha: “miglior premio possibile” u^ con probabilità p “peggiore catastrofe possibile” u^ con probabilità (1-p) Aggiustare la probabilità della lotteria p fino a quando A è indifferente rispetto a Lp Continua come prima 0.999999 Pagare 30 € è indifferente a L 0.000001 Morte istantanea Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello Scale di utilità Utilità normalizzate: u^ = 1.0, u^ = 0.0 Micromorts: un milionesimo della possibilità di morire utile per la roulette russa, pagamento per ridurre i rischi prodotti, etc., QALYs: quality-adjusted life years Utile per decisioni mediche comportanti un rischio sostanziale Note: il comportamento è invariante per trasformazioni lineari U’(x) = k1U(x) + k2 dove k1 > 0 Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello Denaro Il denaro non si comporta come una funzione di utilità Data una lotteria L con valore monetario atteso di EMV(L), solitamente U(L) < U(EMV(L)), cioè, le persone sono avverse al rischio Curva di utilità: per quale probabilità p sono indifferente tra un premio fisso x e una lotteria [p, € M; (1-p), € 0] per un grande M ? I dati si possono (o debbono estrapolare sperimentalmente) Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Paradosso di S. Pietroburgo Vi viene chiesto di partecipare ad un gioco in cui una moneta viene lanciata in aria sino a quando il risultato non è “testa”. Se “testa” compare al lancio “n” , il giocatore vince € 2n . Quanto paghereste per giocare ? EMV(S.P.)= Disposto a pagare qualunque cifra ? Assurdo. Bernoulli (1738) propose di misurare l’utilità del denaro su scala logaritmica: Quindi per giocare un agente razionale paga sino a € 4 ! Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello Reti di decisione Aggiungere nodi di azioni e nodi di utilità alle reti di credenza per prendere decisioni razionali Algoritmo: for ogni valore del nodo di azione calcolare il valore atteso dell’utilità del nodo data l’azione e la prova return l’azione MEU Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Utilità multiattributo Come possiamo gestire l’utilità di funzioni a più variabili X1,…,Xn ? Esempio, per la costruzione di un aeroporto, parametri: pericoli, rumori, costo di costruzione qual è U(Pericoli, Rumore, Costo) ? Come possono essere determinate le funzioni di utilità complesse dal comportamento delle preferenze ? Idea 1: identificare le condizioni sotto le cui decisioni possono essere fatte senza la completa identificazione di U(x1,…,xn) Tipicamente definire attributi tale che U è monotona in ogni parametro. Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello Dominanza stretta La scelta B domina strettamente la scelta A se e solo se per ogni parametro i, Xi(B) ≥ Xi(A) (e quindi U(B) ≥ U (A) ) La dominanza stretta si riscontra raramente nella pratica Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello Dominanza stocastica Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello Dominanza stocastica La dominanza stocastica può essere spesso determinata senza le distribuzioni esatte usando ragionamenti qualitativi Es., i costi di costruzione aumentano con la distanza dalla città. Quindi se S2, è più lontano dalla città rispetto a S1 ne deriva che S1 domina stocasticamente S2 sui costi Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Struttura di preferenza: deterministico X1 and X2 sono preferenziabilmente indipendenti (P.I.) da X3 se e solo se la preferenza tra <x1,x2,x3> and <x’1,x’2,x’3> non dipende da x3 Es., <Rumore, Costi, Sicurezza>: <20,000 soffrono, $4.6 miliardi, 0.06 morti/mpm> contro <70,000 soffrono, $4.2 miliardi, 0.06 morti/mpm> Teorema (Leontief, 1947): se ogni coppia di attributi è P.I. dal suo complemento, allora ogni sottoinsieme di attributi è P.I. dal suo complemento: P.I. mutuale Teorema (Debreu, 1960): P.I. mutuale ⇒ esiste una funzione di valutazione additiva : V(S)=∑iVi(Xi(S)) Quindi bisogna determinare n funzioni con singolo attributo; spesso una buona approssimazione Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Struttura di preferenza: Stocastica Abbiamo bisogno di considerare le preferenze sulle lotterie: X è indipendente dall’utilità di Y se e solo se le preferenze sulle lotterie X non dipendono da y U.I. mutuale: ogni sottoinsieme è U.I. dal suo complemento Sotto tale ipotesi: esiste una funzione di utilità moltiplicativa: U=k1U1+k2U2+k3U3+k1k2U1U2+k2k3U2U3+k3k1U3U1+k1k2k3U1U2U3 Procedure di routine e pacchetti software per generare test di preferenza per identificare varie famiglie canoniche di funzioni di utilità Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Valore dell’informazione Problema calcolare il valore di acquisire nuovi elementi decisionali. Può essere fatto direttamente dalla rete di decisione Esempio: comperare dei diritti petroliferi n blocchi A1, …, An, solo in uno è presente il petrolio, valore stimato k Probabilità a priori 1/n ognuno, mutuamente esclusivi Il prezzo corrente di ogni blocco è allora k/n Il consulente offre una perizia sul blocco A1. Costo della consulenza ? Soluzione: calcolare il valore atteso dell’informazione = valore atteso della miglior azione data l’informazione meno il valore atteso della miglior azione senza l’informazione Potremmo dire “petrolio in A1” o “niente petrolio in A1”, con probabilità rispettivamente 1/n e (n-1)/n, [1/n * valore di “comprare A1” dato “petrolio in A1” + (n-1)/n * valore di “comprare un altro lotto” dato “niente petrolio in A1” ] – 0 = Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello Formula generale Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello Proprietà del VPI Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello