I NUMERI INTERI Il secondo insieme che prenderemo in esame è quello dei numeri interi. Esso si indica con la lettera Z (dal tedesco Zahl = numero) e i suoi elementi sono i numeri naturali, più i numeri negativi (interi): Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1 , 2 , 3 , 4 . . . . .} Possiamo pensare a Z come ottenuto da N "aggiungendo" ad esso una "nuova copia" dei numeri 1,2,3,... che però si distingue da quella precedente per quel segno "-" posto in fronte ad essi; possiamo pensarli come numeri "rossi" se ci immaginiamo un conto in banca: infatti il primo uso dei numeri negativi è quello di rappresentare dei debiti (già in papiri egizi si trovano numeri che hanno questo significato).

Come si definiscono le operazioni in Z ?

La somma Dobbiamo definire come sommare due elementi a,b є Z: se a,b є N non ci sono problemi, eseguiamo la somma come facciamo in N; altrimenti procediamo così: - se a > 0 e b < 0 con |a|> |b| : a+b = a - |b|; - se a > 0 e b < 0 con |a|< |b| : a+b = - (|b| - a) ; - se a > 0 e b < 0 con |a|= |b| : a+b = 0 ; - se a = 0: 0+b = b + 0 = b; - se a < 0 e b < 0 : a+b = - (|a|+ |b| ). L'idea intuitiva, pensando a quantità di denaro, è che sommare un numero negativo significa "acquisire un debito" e quindi equivale a sottrarre il corrispondente numero positivo.

In  Z  la somma ha una nuova proprietà : esistenza dell‘elemento inverso:    per ogni a є Z ,  esiste un numero  a' є Z , tale che   a+a' = a+a'  =  0 . Infatti  se  a >0,  basta prendere a' = -a , mentre  se  a < 0,  a' = |a|   (se invece  a = 0, anche  a' = 0).  Poiché questa notazione è immediata per i numeri positivi, indicheremo  l'inverso di un numero  a є Z , con  -a ,  ad esempio:   -(-4)= 4 .

Il Prodotto Il prodotto di due numeri interi relativi si calcola moltiplicando i valori assoluti dei numeri e associando il segno + al prodotto se i due fattori sono concordi (positivi o negativi) o il segno – se i due fattori sono discordi. Semplicemente possiamo riassumere: Più per più fa più, più per meno fa meno, meno per meno fa più.

La Sottrazione Questa è l'operazione per la quale abbiamo un cambiamento sostanziale: in un certo senso si può dire che abbiamo introdotto i numeri negativi proprio per rendere la sottrazione sempre possibile. Vediamolo, ricordiamo che si tratta dell'operazione inversa della somma: Definizione:  Dati due numeri interi  a, b є Z ,  si dice  a - b quel numero intero  x, che sommato a  b dia a.  Cioè :    a - b = x   se e solo se   a = b + x . Questa operazione  è ora definita su tutto Z poiché in  Z esiste l‘elemento inverso rispetto alla somma: se denotiamo con b'  l'inverso di  b,  avremo:   a - b  =  a + b‘ Quindi, in  Z ,  "sottrarre è uguale a sommare l'opposto"; ad esempio: 4  -  (-5) =  4 + 5 = 9 ;   -3  -  7  =  -3 +  (-7) =  -10  ;    -2  -  (-2)  = -2  +  2  = 0 .

Il segno  " - " E' importante  notare che il segno "-" , per come lo abbiamo usato in Z , assume ben tre significati diversi! Usiamo il segno meno per indicare i numeri negativi , come  -5 , -4, -3 ...  In questa accezione il segno "-" non è usato per indicare un' operazione, ma solo una specie di "segnaposto", per caratterizzare i nuovi numeri ,  "-" è usato come simbolo dell'operazione di sottrazione, il segno meno si usa per indicare  "l'opposto di " :  - (-7)  =  " l'opposto di  -7 " = 7 ; (In quel  "- (-7)" , il primo ed il secondo simbolo "meno" hanno due significati diversi: il primo sta per "l'opposto di", mentre il secondo è quello che abbiamo già notato, il "segnaposto" dei numeri negativi.)    

La Divisione Per questa operazione, le cose non cambiano molto: come non la potevamo eseguire sempre in N, così non possiamo in Z. Notiamo soltanto che, quando si può effettuare la divisione, essa si esegue con regole fra i segni analoghe a quelle del prodotto. Ad esempio: 12 : (-3) = -(12 : 3) = -4 ; (-15) : 5 = - (15 : 5) = -3 ; (-28) : (-7) = 28 : 7 = 4 .