Corso di Fisica I vettori in Fisica Prof. Massimo Masera Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Anno Accademico 2011-2012 dalle lezioni del prof. Roberto Cirio Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia

La lezione di oggi Scalari Vettori Operazioni tra vettori

Scalari

Scalari Ci sono delle grandezze fisiche che possono essere rappresentate con un numero, espresso in un’opportuna unità di misura. Si tratta di grandezze scalari. Uno scalare può avere segno positivo o negativo Esempi: Il volume di un oggetto. Volume di un dado: 3.7 cm3 Volume del liquido in una siringa: 10 ml La temperatura in una stanza: T=20 oC La potenza di una lampadina: P=20 W

Scusi, sa dov’è la biblioteca ? Sì, a 0.5 km Sì, a 0.5 km in direzione nord-ovest

Vettori

Vettori Un vettore è una grandezza matematica definita da modulo, direzione e verso Come lo scalare, rappresenta una grandezza fisica con la sua unità di misura Esempi di grandezze vettoriali: Velocità Accelerazione Si indica con v o Il modulo si indica con v o

Modulo: 0.5 km

Direzione: verticale

Verso: Nord

Esercizio Indicare modulo, direzione e verso del vettore indicato in figura. La velocità del vento è pari a v = 25 km/h Soluzione modulo: 25 km/h direzione: orizzontale verso: OVEST N E S W

Un vettore Vertice Origine (o punto di applicazione)

I versori Modulo: unitario (ad esempio, 1 m) Direzione: orizzontale Direzione: verticale Verso: dal basso verso l’alto Modulo: unitario (ad esempio, 1 m) Direzione: orizzontale Verso: da sinistra a destra

Versori coordinati x y z Terna destrorsa x y z Terna sinistrorsa

Operazioni con i vettori

Prodotto di un vettore per uno scalare Vettore × Scalare = Vettore con: uguale direzione verso: uguale o opposto (dipende dal segno dello scalare) modulo pari al prodotto dei moduli 3A = A+A+A = 3 x A -3A = (-3) x A

Componenti rx PROIEZIONE di r sull’asse x ry PROIEZIONE di r sull’asse y

Le componenti di un vettore

Vettore posizione nello spazio Indica la posizione di un oggetto (fermo o in movimento) rispetto all’origine di un sistema di riferimento.. Vedremo che velocità e accelerazione possono essere espresse a partire dal vettore posizione

Esempio 1 Determinare le componenti di un vettore con modulo 3.5 m e direzione 66° Dunque il vettore si può esprimere come:

Esempio 2 Determinare modulo e direzione di un vettore con componenti AX=1.4 m e Ay=3.2 m Il modulo del vettore sarà: L’angolo q si ottiene da:

Esercizio Uno stormo di anatre si è spostato di 30 km, come mostrato in figura (a = 30°). Determinare lo spostamento verso Nord e verso Est. A Snord S N E S W a O Sest

Esercizio Soluzione S = Sest + Snord |S| A Snord = S sin a = 26 km = spostamento dello stormo = 30 km O = origine del vettore, da cui partono le due semirette dirette verso nord e verso est Si costruisce il parallelogrammo (rettangolo) avente una diagonale individuata dal vettore ed i lati diretti secondo le due semirette. S = Sest + Snord |S| A Snord = S sin a = 26 km Snord Sest = S cos a = 15 km S N E S W a O Sest

Esercizio Soluzione n. 38, pag. M88 Walker Si immagini di spingere una scatola su una rampa di carico lunga 10.0 m. In cima alla rampa la scatola ha raggiunto l’altezza di 3.00 m. Quanto misura l’angolo formato dalla rampa con il piano ? Soluzione S’imposta il sistema: da cui si ricava e infine s y q

Nota sul piano inclinato… Gli Egizi e le piramidi Piramide = piano inclinato Il piano inclinato rende più agevole lo spostamento dei carichi (blocchi di pietra). Chi spinge il carico sul piano, infatti, deve vincere solo la componente parallela al piano, ottenuta proiettando P lungo la direzione del piano inclinato. P q

Convenzioni 2o quadrante 1o quadrante Verso antiorario partendo dall’asse x 3o quadrante 4o quadrante

Convenzioni Ax>0 , Ay >0 I quadrante

Convenzioni Ax<0 , Ay >0 II quadrante

Convenzioni Ax<0 , Ay <0 III quadrante

Convenzioni Ax>0 , Ay <0 IV quadrante

Somma di vettori

Somma di vettori

indipendentemente dalla sua posizione Somma di vettori Un vettore è definito da MODULO, DIREZIONE, VERSO indipendentemente dalla sua posizione

Somma di vettori

La somma tra vettori è indipendente dall’ordine con il quale i vettori vengono sommati

Esempio di somma di vettori Un aereo vola da Bari a Roma  AB = 388 km quindi l’aereo vola da Roma a Milano  BC = 472 km Lo spostamento risultante rispetto all’aeroporto di Bari è dato dalla posizione iniziale e da quella finale, ossia dal vettore che congiunge Bari con Milano  AC = 740 km MILANO vettore risultante uguale somma vettori ma Modulo vettore risultante diverso somma dei moduli delle componenti* C B BARI ROMA A (*) AB+BC=(388+472)km=860 km

Esercizio Una barca viene trainata per mezzo di una fune da due persone che camminano parallelamente, lungo le rive opposte di un canale. Sapendo che: a = 60° e che la forza esercitata da ciascun uomo = 577 N Determinare la forza necessaria per trainare la barca. a/2

Esempio di somma di vettori: Soluzione: a = 60° forza esercitata da ciascun uomo = 577 N = OA = OB OH = OA cos (a/2) = OB cos (a/2) = 500 N forza per trainare la barca = 2 OH = 1000 N = OO’ A O a/2 H O’ B

L’opposto di un vettore è un vettore con uguale modulo e direzione, ma verso opposto

Differenza di vettori

Una importante convenzione Useremo sempre la convenzione Primo indice (a): origine del vettore Secondo indice (b): vertice del vettore

Prodotto scalare A q B Il risultato è uno scalare Vale la proprietà commutativa  Si chiama anche prodotto interno Corollari:

Prodotto scalare Se, in coordinate cartesiane, due vettori hanno componenti: Il prodotto scalare vale: Quindi:

Prodotto vettoriale Il risultato è un vettore con: Oppure, con altra notazione q A B Il risultato è un vettore con: Modulo = A B senq Direzione perpendicolare al piano identificato da A e B Verso dato dalla regola della mano destra (vedi dopo) Vale la proprietà anticommutativa  Si chiama anche prodotto esterno

Regola della mano destra Prendo la mano destra e metto pollice, indice, medio a 90o l’uno rispetto all’altro L’indice indica il verso del vettore A Il medio indica il verso del vettore B Il pollice indica il verso del vettore C Nota: vale anche per tutte le permutazioni cicliche, ovvero vale anche: Il pollice indica il verso del vettore A L’indice indica il verso del vettore B Il medio indica il verso del vettore C Nota: devo usare la mano destra (non la sinistra) e non devo scambiare l’ordine dei vettori

Prodotto vettoriale / 2 In coordinate cartesiane, il prodotto vettoriale si ottiene valutando il seguente determinante simbolico:

Versori coordinati z Terna destrorsa y x y Terna sinistrorsa z x In una terna destrorsa si ha sempre: