Progetto Complex Systems in Economics Seminario di studio Modern Portfolio Performance in Asset Pricing Models in Asset Pricing Models Trieste, Facoltà di Economia Trieste, Facoltà di Economia giugno 2004 Finanza Moderna, variabili di stato e sistema di forze in un mercato efficiente: verso leconofisica? Ricerca di analogie (a cura di Maurizio Fanni e Michele Ibba)

2 Obiettivi della ricerca Individuazione delle grandezze e Individuazione delle grandezze e su un mercato finanziario efficiente su un mercato finanziario efficiente Ruolo e importanza delle variabili di stato. Ruolo e importanza delle variabili di stato.

3 I PARTE RICHIAMI DELLA TEORIA DI SHARPE PER LINDIVIDUAZIONE DEI PUNTI DELLA FRONTIERA EFFICIENTE 1) Lespressione di Sharpe per trovare il set di portafogli efficienti si indica con un sistema di riferimento cartesiano ortogonale in cui si rappresentano i titoli di coordinate si indica con un sistema di riferimento cartesiano ortogonale in cui si rappresentano i titoli di coordinate il metodo consiste nel minimizzare in detto spazio il metodo consiste nel minimizzare in detto spazio

4 frontiera efficiente curve di indifferenza

5 2) Tale espressione conduce ad unanalisi computazionale ben nota che qui si rinuncia a riesporre ci si limita ad osservare che la logica di Sharpe consiste nellindividuazione della funzione di utilità (1) la quale nel sistema di coordinate indicato esprime lequazione di una retta ci si limita ad osservare che la logica di Sharpe consiste nellindividuazione della funzione di utilità (1) la quale nel sistema di coordinate indicato esprime lequazione di una retta la pendenza della retta dipende dal valore di la pendenza della retta dipende dal valore di in particolare esprime il valore della in particolare esprime il valore della cotangente dellangolo formato dallintersezione della retta data con lasse delle ascisse

6 3) Con il metodo di Sharpe il set efficiente individua nel sistema di coordinate prescelto una parabola di cui non è nota lequazione. Pertanto, il metodo suggerisce di attivare lequazione della retta (1) per tutti i profili di rischio: potendo avere ogni soggetto una differente funzione di utilità, questa viene ripetuta in modo da individuare tutti i profili di rischio Cambia così continuamente la sua pendenza e la condizione di tangenza rimane univocamente determinata dal valore minimo di (esiste un valore minimo di associato a ogni punto della frontiera)

7 curve di indifferenza frontiera efficiente

8 4) In conclusione, riassumendo secondo lassunto di Sharpe, lobiettivo di un ipotetico investitore è quello di selezionare un possibile portafoglio giacente sulla funzione di utilità più conveniente. La scelta dellinvestitore è condizionata da due vincoli: a) il portafoglio selezionato deve essere efficiente e giacere, quindi, lungo la frontiera b) nel punto selezionato la curva di utilità è di fatto tangente alla frontiera efficiente

9 Si consideri ora un sistema cartesiano ortogonale, nel quale i valori delle deviazioni standard siano distribuiti lungo lasse delle ascisse. Nel nuovo sistema di riferimento lequazione della retta di indifferenza (tangente alla frontiera efficiente) diventa (2) (2)

10 Lequazione (2) rappresenta una parabola avente lasse di simmetria coincidente con lasse ordinato e concavità rivolta verso lalto. Si riscrive la (2) esplicitata rispetto alla variabile dipendente

11 Nellequazione della parabola (3) il coefficiente indica lampiezza della conica. Si noti che nel passare dal sistema di riferimento al sistema di riferimento al sistema di riferimento la condizione di tangenza tra la curva di indifferenza la retta in la retta in la parabola in la parabola in e la frontiera efficiente si conserva.

12 IL CASO DELLE ASPETTATIVE OMOGENEE Si voglia ora calcolare il valore di nel caso siano noti il portafoglio di mercato di coordinate, e lequazione della C.M.L., che è tangente alla frontiera efficiente nel punto, ossia la, e lequazione della C.M.L., che è tangente alla frontiera efficiente nel punto, ossia la

13 La curva dindifferenza (parabola) tange per costruzione la frontiera efficiente nel punto : risulta, pertanto, tangente, nel medesimo punto anche alla C.M.L. Della parabola di equazione (3) sono noti lasse di simmetria, il punto e la retta tangente in. E possibile determinarne lespressione tenendo conto di questi dati.

14 Si ricordi che il valore del coefficiente angolare della tangente a una parabola è pari al valore della derivata prima di questultima nel punto di tangenza coefficiente angolarederivata prima calcolata in

15 e quindi

16 C. M. L. Frontiera efficiente parabola

17 II PARTE Riscriviamo la relazione notevole (4) Con il CAPM in presenza di massima diversificazione (indice di Sharpe su un mercato ad efficienza forte e, perciò, senza informazioni insider) deve anche essere:

18 e quindi che è lindice di Sharpe, espresso sulla base della conoscenza di

19 Dalle versioni precedenti si ottengono espressioni equivalenti in termini di quantità di rischio e di beta Così dalla (4) moltiplicando 1° e 2° membro per si ha e dividendo poi per

20 Le (7) e (8) costituiscono nuove relazioni notevoli del premio per il rischio. In particolare la (8) mostra la coincidenza tra premio per il rischio del titolo j e valore della funzione di utilità (secondo la logica delle aspettative omogenee) per un investimento nel titolo j: la retta di equazione è tangente in ad una curva di indifferenza simile alla parabola di equazione (3)

21 Noti gli elementi del CAPM la determinazione di può avvenire in più modi: Dalla (4) Dalla (6)

22 Necessità di introdurre la grandezza Lo studio del mercato dei capitali in termini di grandezze fisiche richiede la conoscenza dellandamento del prezzo dei titoli. A tale scopo occorre comprendere che il parametro di tolleranza al rischio da parte della generalità degli investitori (modello ad aspettativa omogenee), coglie il processo avversione (propensione) nellistante dellanalisi con variabili di stato predefinite: sistema economico, politica della banca centrale, politica fiscale, relazioni internazionali, ecc).

23 Una nuova grandezza è chiamata ad interpretare la presenza delle variabili di stato nel momento in cui si incorporano nel sentiment degli operatori i quali negoziano i titoli: pertanto è connessa al sistema dei prezzi. In generale è direttamente proporzionale a. Può accadere che si modifichi pur rimanendo costante, variando unicamente la capitalizzazione di borsa.

24 Ecco la relazione che lega e prezzo attuale di un titolo rischioso numero di diritti in circolazione per uno stesso titolo capitalizzazione di borsa

25 Allora dalle (8) e (12) risulta premio per il rischio totale del titolo j valore dellutilità in j misurata attraverso il rapporto capitalizzazione

26 Grazie alle (10) e (11) otteniamo la relazione del CAPM (SML) sulla base di come segue: Questa tenendo conto della (12) può così essere scritta:

27 Moltiplicando 1° e 2° membro della (14) per si ottiene Quindi, sapendo che si ha dopo vari passaggi:

28 dove si è posto

29 La (15) consente di pronosticare (prezzo futuro) una volta ipotizzati La logica adottata è differente da quella di Sharpe in quanto mira a stabilire i successivi valori di per effetto di: a) modificazione di b) modificazione delle principali variabili di stato La (15) si estende al titolo D privo rischio: in tal caso risulta e la relazione diviene

30 I cambiamenti di influenzano sempre quelli di ; mentre quelli di possono aver luogo per fattori di rischio che lasciano invariata implicando un mutamento congiunto di e del prezzo dei titoli. Trattasi allora di una sorta di ebollizione del mercato che innalza la tolleranza al rischio dello stesso con manifestazioni congiunte che mostrano il loro peso su

31 Cambiamento a carico dei fattori che coinvolgono Si tratta di una genesi complessa. Il processo più frequente prende avvio, non da una modificazione delle funzioni di utilità dei singoli risparmiatori, bensì da interventi su date società e titoli da parte di lenders e borrowers che operano nella previsione di cambiamenti del tasso ufficiale di sconto e conseguenti maggiori investimenti, con lievitazione del prezzo dei titoli. Risultano ridisegnate la frontiera ed M.

32 Cambiamento a carico dei fattori che coinvolgono La crescita del livello termico del mercato è prodotta dallincremento del rapporto tra e e, dunque, dai movimenti della capitalizzazione di borsa. La lievitazione di trova una prima spiegazione nel fenomeno descritto nella slide precedente, e successivamente in massicci interventi speculativi, con operazioni allo scoperto su titoli target, con introduzione, sugli stessi titoli, di processi imitativi che possono dar vita ad una crescita esponenziale dei prezzi.

33 Ecco la formula di predizione del valore per lintero mercato Quanto già descritto per il titolo j nelle slides precedenti si estende alla formula (16).

34 III PARTE Il ruolo e limportanza delle variabili di stato Lanalisi precedente è stata condotta immaginando un mercato finanziario efficiente, completo, simmetrico dal punto di vista informativo. In detto mercato sono presenti delle condizioni di fase del ciclo economico che si suppongono in un primo momento invarianti. Lanalisi precedente è stata condotta immaginando un mercato finanziario efficiente, completo, simmetrico dal punto di vista informativo. In detto mercato sono presenti delle condizioni di fase del ciclo economico che si suppongono in un primo momento invarianti. 1

35 Il mercato si presenta come un grande contenitore di particelle (i movimenti dei prezzi dei titoli, raccolti in un dato intervallo temporale) su cui si esercitano una pressione verso linvestimento e una serie di restrizioni ai finanziamenti: emerge una condizione dinamica corrispondente a dati gradi di temperatura della platea degli investitori; in special modo si incontra una condizione di tolleranza al rischio riferibile al parametro, che, come tale, caratterizza anche lequilibrio del mercato. Il mercato si presenta come un grande contenitore di particelle (i movimenti dei prezzi dei titoli, raccolti in un dato intervallo temporale) su cui si esercitano una pressione verso linvestimento e una serie di restrizioni ai finanziamenti: emerge una condizione dinamica corrispondente a dati gradi di temperatura della platea degli investitori; in special modo si incontra una condizione di tolleranza al rischio riferibile al parametro, che, come tale, caratterizza anche lequilibrio del mercato. 2

36 Linsieme delle condizioni prefissate conduce a leggere i movimenti del sistema: si muove leconomia con il PIL, segue a ruota il mercato finanziario in condizioni di efficienza e di perfezione. Il movimento del mercato finanziario implica anche il movimento del titolo privo di rischio e dei titoli rischiosi. Linsieme delle condizioni prefissate conduce a leggere i movimenti del sistema: si muove leconomia con il PIL, segue a ruota il mercato finanziario in condizioni di efficienza e di perfezione. Il movimento del mercato finanziario implica anche il movimento del titolo privo di rischio e dei titoli rischiosi. 3

37 Lequazione di stato su un mercato perfetto ed efficiente Riscriviamo la relazione (8), relativa al premio per il rischio, tendendo conto della (12) e perciò in termini di. Otteniamo la seguente espressione che costituisce lequazione di stato su un mercato ad efficienza forte per qualunque titolo o fondo (compreso il portafoglio di mercato) e quindi

38 dove indica la pressione esercitata dalla Banca centrale sulla generalità degli investitori affinchè investano: riducendo e perciò il tasso ufficiale di sconto, la differenza indica la pressione esercitata dalla Banca centrale sulla generalità degli investitori affinchè investano: riducendo e perciò il tasso ufficiale di sconto, la differenza aumenta di peso (maggiore pressione o spinta). Al contrario lincremento di distoglie dallinvestimento (minore pressione) e spinge verso operazioni di prestito

39 esprime il volume di contenimento del rischio che emerge dalla funzione di utilità della generalità degli investitori, misurato in termini di valore della tolleranza stessa per unità di rischio. esprime il volume di contenimento del rischio che emerge dalla funzione di utilità della generalità degli investitori, misurato in termini di valore della tolleranza stessa per unità di rischio. K indica il livello dellequilibrio termico del sistema (che può variare a seconda della dinamica degli interventi degli operatori) misurato attraverso la capitalizzazione di borsa: K indica il livello dellequilibrio termico del sistema (che può variare a seconda della dinamica degli interventi degli operatori) misurato attraverso la capitalizzazione di borsa:

40 Ecco allora il significato economico della (17): equazione di stato Ecco allora il significato economico della (17): equazione di stato Dato un mercato ad efficienza forte, ad un aumento della pressione allinvestimento (riduzione del tasso ufficiale di sconto) fa riscontro una riduzione del volume di contenimento del rischio, tale da lasciare invariato il prodotto 2K. pressione verso gli investitori volume di contenimento del rischio costante livello termico

41 Va poi ribadito che la (18) è valevole per ogni attività finanziaria infatti, nel caso del portafoglio di mercato la relazione può essere così scritta Ma ciò equivale alla (18)

42 La proiezione del prezzo del titolo rischioso Riscriviamo la (15) in modo integrale Appare con chiarezza che, una volta individuati e è possibile chiedersi: a) come varierà per le sollecitazione su provocate da possibili variazioni del tasso ufficiale di sconto b) come varierà per la presenza di lenders e borrowers che intervengono con azioni mirate su singoli titoli considerati eccellenti ed alterando K

43 Il valore massimo di ogni e di a) con attuale consente di prefigurare futuri, ovvero max. b) contenuto nella (19) risente di tutto ciò e linsieme delle informazioni si ritara per produrre alla luce degli spostamenti di e

44 Le modificazioni del livello termico del mercato Lequazione di stato (vedasi le 17 e 18) consente di leggere quali cambiamenti implichi il mantenimento del livello termico del mercato in presenza di cambiamenti di pressione (prefigurati da prossime modificazioni del tasso ufficiale di sconto):

45 1° CASO a) se il tasso ufficiale di sconto viene ridotto il mantenimento del livello termico genera una riduzione di (con, quindi, crescita di ). La parabola di cui allequazione (3) si restringe ed M si colloca in un punto più basso della frontiera efficiente; La parabola di cui allequazione (3) si restringe ed M si colloca in un punto più basso della frontiera efficiente;

46 2° CASO b) se il tasso ufficiale di sconto viene accresciuto, il mantenimento del livello termico genera un incremento di (con riduzione di ). La parabola di cui allequazione (3) si amplia ed M si colloca in un punto più alto della frontiera efficiente.

47 La lievitazione del livello termico del mercato Non di rado, per fenomeni di prociclicità, quando viene ridotto il tasso ufficiale di sconto, si genera una lievitazione del livello termico. Ciò dipende dal probabile accrescimento di dovuto a consistenti acquisti di singoli titoli (emessi da soggetti ad alta forza dinvestimento) da parte di borrowers che puntano al successivo rialzo dei prezzi dei titoli su cui intervengono.

48 La formula (19) suggerisce il fenomeno descritto per i riflessi su sia dei processi di preferenza intertemporale sia del futuro andamento di (che, del resto, può poi consentire ulteriori variazioni di architettura del mercato e, perciò, di modificazioni di )

49 La bolla speculativa Lalterazione del livello termico, per le ragioni descritte, può condurre -con operazioni speculative ed allo scoperto- a ridisegnare la configurazione di K. Qualora si possa prefigurare un, il fenomeno si sviluppa secondo la logica di un sistema discreto, con possibile evoluzione verso una bolla speculativa

50 IV PARTE continuazione Temperatura ed energia del sistema Si è già detto che il mercato si presenta come un grande contenitore di particelle (i movimenti dei prezzi dei titoli raccolti in un dato intervallo temporale). Il moto delle particelle del mercato è disordinato in quanto esse si muovono in molte direzioni differenti con differenti energie. Le particelle possono essere considerate puntiformi e i loro urti attivano il processo di diversificazione del rischio.

51 In questa analisi ci limitiamo a considerare le interazioni tra le particelle secondo la logica dei mercati efficienti, (la Efficient Market Hypothesis). La diversificazione del rischio conduce a creare situazioni di equilibrio e di linearità delle relazioni tra rischio e rendimento si riscontrano grazie alle diversificazioni del rischio analogia tra la teoria cinetica dei gas e la E.M.H.

52 Si consideri qualsiasi punto di trade off- rischio rendimento lungo la security market line. Ogni particella (combinazione di più titoli), entrata a fare parte del portafoglio di mercato non può espandersi senza incontrare lostacolo rappresentato dallesigenza di contenimento del rischio (ideali pareti del mercato)

53 La particella è così costretta a seguire un percorso obbligato: questo si orienta su tre dimensioni. Su un mercato efficiente, in media, in ogni istante, la velocità di ogni particella (composta da più titoli) sarà espressa da un vettore scomposto secondo tre assi ortogonali. Per N particelle si otterranno in generale N valori diversi. Si ponga, per esempio:

54 In media, in ogni istante le componenti lungo le tre dimensioni sono uguali. Ciò non significa che per tutte le particelle in ogni istante siano uguali Se in un dato istante esistono particelle per cui ha un determinato valore, ne esisteranno altrettante con il medesimo valore di e. Dato, inoltre, lenorme numero di particelle, non cè ragione che dei tre assi ve ne sia uno privilegiato lungo il quale si abbia un più rapido spostamento medio delle particelle. ha un determinato valore, ne esisteranno altrettante con il medesimo valore di e. Dato, inoltre, lenorme numero di particelle, non cè ragione che dei tre assi ve ne sia uno privilegiato lungo il quale si abbia un più rapido spostamento medio delle particelle. Si può allora riscrivere:

55 Ricordando che (scomposizione vettoriale) si chiama velocità quadratica media la radice quadrata di : Si fa riferimento allespressione della pressione trattata dalla teoria, nella quale compare il valore :

56 La sua estensione alla finanza è esprimibile come segue :

57 Questa relazione, verificabile sperimentalmente, consente di determinare la media delle velocità delle particelle entrate a far parte del portafoglio di mercato (che hanno composto). Si riscontra la seguente relazione tra medio e il livello del tasso privo di rischio: a mano a mano che esso decresce, emerge un incremento nel valore delle velocità espresse come sopra. Inoltre è possibile connettere la velocità ora descritta con lenergia interna di un mercato perfetto ed efficiente. Si dimostra, anche sperimentalmente, che in ogni mercato finanziario ad efficienza forte lenergia cinetica costituisce una grandezza invariante una volta definiti e

58 segue lespressione: dove è la deviazione standard del portafoglio di mercato Questa relazione rappresenta lunità di misura del grado di efficienza del mercato dei capitali.

59 Si noti che il termine che appare nellespressione della pressione rappresenta la densità del gas. Parimenti il termine rappresenta la densità del mercato. La velocità quadratica media può essere riscritta nella forma E la relazione che lega a è la seguente

60 V PARTE Studio del grado di simmetria informativa del mercato Nel caso di un mercato perfetto ed efficiente deve valere il seguente grafico equazione di stato di un mercato perfetto ed efficiente

61 Nei mercati finanziari reali il principio sopra esposto non trova sempre riscontro. Esiste però una pressione di equilibrio legata al livello di capitalizzazione. Nei mercati finanziari reali ad un aumento della pressione allinvestimento fa riscontreo unequazione differente assimilabile ad una retta della quale varia il coefficiente angolare in funzione della variazione di pressione o di densità? Le cause di allontanamento della costante di cui al grafico sono da individuare sperimentalmente.

62 In via intuitiva dipendono dai seguenti parametri: a) aumento della densità del mercato (crescita del numero di movimenti del prezzo di ciascun titolo per unità di tempo) b) crescita, in numero assoluto, del numero di scambi per fenomeni intuitivi che allargano il contenimento del rischio c) riduzione, comunque, del livello di simmetria informativa (o crescita dellopacità)