Scomposizione polinomi Raccoglimento a fattore comune Mediante i prodotti notevoli Scomposizione di un particolare trinomio di secondo grado Scomposizione mediante Ruffini

Scomposizione polinomi Scomporre un polinomio, di grado n, in fattori significa scriverlo sotto forma di prodotto di un monomio per uno o più polinomi di grado inferiore ad n, oppure nel prodotto di due o più polinomi sempre di grado minore di n. Un polinomio è detto irriducibile se non si può scomporre, in caso contrario è detto riducibile. Naturalmente i fattori della scomposizione di un polinomio devono essere irriducibili.

Raccoglimento a fattore comune Raccoglimento totale Se tutti i termini del polinomio hanno un monomio divisore comune (tale monomio ha per coefficiente il M.C.D. tra i coefficienti dei termini del polinomio e la parte letterale e formata dalle lettere comuni a tutti i termini del polinomio ciascuna elevata al minore esponente con cui compare nei termini),il polinomio si scompone nel prodotto di tale monomio per il polinomio che si ottiene dividendo il polinomio da scomporre per il monomio divisore comune. Esempio: 14a3b2 + 21a2bc – 35a2bc2 = 7a2b ∙ (2ab + 3c – 5c2)

Tenendo presente il raccoglimento totale, possiamo scrivere una somma algebrica di prodotti di monomi per polinomi come prodotto di un monomio per due o più polinomi, oppure nel prodotto di polinomi. Infatti se tutti i termini della somma ammettono un divisore comune che può essere o un monomio per uno o più polinomi oppure uno o più polinomi, la somma algebrica è uguale al divisore comune per il polinomio che si ottiene dividendo la somma algebrica per il divisore comune. Esempi: 5ab2(2a–3b)+25a2b(2a–3b)–35abc(2a–3b)=5ab(2a-3b)(3b+5a–7c). 3ab(a+2b)(3a–b)2+6ab(a+2b)2(3a–b)–15ab(a+2b)(3a–b)=3ab(a+2b)(3a–b)[(3a–b)+2(a+2b)–5]= =3ab(a+2b)(3a–b)[3a–b+2a+4b–5]=3ab(a+2b)(3a–b)(5a+3b–5). Nota: Da tenere presente che dividendo un prodotto per uno dei suoi fattori il quoziente è uguale al prodotto di tutti i fattori del prodotto considerato escluso il termine per cui si divide [esempio (3 ∙ 4 ∙ 8 ): 4 = 3 ∙ 8 = 24]

Raccoglimento-parziale Se i termini del polinomio non ammettono un divisore comune, a volte, si possono raggruppare tali termini in due o più gruppi in modo che in ciascun gruppo vi siano un uguale numero di termini e in modo che in ciascun gruppo si possa fare il raccoglimento totale, si scrive cosi il polinomio come somma algebrica di prodotti di monomi per polinomi. Naturalmente nel raggruppare si deve fare in modo che la somma di prodotti che si ottiene ammetta un polinomio divisore comune per poter poi fare il raccoglimento-totale. Esempio: 6ax+10bx+21ay–2cx+35by–7cy=3a(2x+7y)+5b(2x+7y)–c(2x+7y)= =(2x+7y)(3a+5b–c).

Scomposizione mediante i prodotti notevoli Differenza fra due quadrati La differenza fra due quadrati è uguale al binomio somma delle basi dei quadrati per il binomio differenza di tali basi. Esempi: 4a2 – 9b2 = (2a + 3b)(2a – 3b) – 49a2 + 36b4 = (7a + 6b2)(–7a + 6b2) Somma fra due cubi La somma di due cubi è uguale al binomio somma delle basi dei cubi per il trinomio formato dal quadrato della prima base, meno il prodotto delle due basi, più il quadrato della seconda base. Esempio: 8a3 + 27b3 = (2a + 3b)(4a2 – 6ab + 9b2)

Differenza fra due cubi La differenza di due cubi è uguale al binomio differenza delle basi dei cubi per il trinomio formato dal quadrato della prima base, più il prodotto delle due basi, più il quadrato della seconda base. Esempio: 64a3 – b6 = (4a – b2)(16a2 + 4ab2 + b4) Trinomio quadrato di binomio Se un trinomio è formato dalla somma di due quadrati (preceduti dal segno +) più o meno il doppio prodotto delle basi di questi, il trinomio è uguale al quadrato del binomio somma o differenza delle basi dei quadrati. Esempi: 4a2 + 12ab + 9b2 = (2a + 3b)2 25a2 – 40ab2 + 16b4 = (5a – 4b2)2 4a2 + 12ab + 9b2 = (2a + 3b)2 no perché il doppio prodotto è 12ab

Quadrinomio cubo di binomio Se un quadrinomio è formato da due cubi egli altri due termini sono rispettivamente il triplo prodotto del quadrato della base di uno dei cubi per la base dell’altro cubo, il quadrinomio è uguale al cubo del binomio somma algebrica delle basi dei cubi. Esempio: 27a3 – 54a2b + 36ab2 – 8b3 = (3a – 2b)3

Scomposizione di un particolare trinomio di secondo grado Considerato il trinomio di 20 x2 + sx + p il quale non può essere scomposto mediante raccoglimento a fattore comune e che non risulta essere il quadrato di un binomio, per scomporlo occorre determinare due numeri n ed m tali che n ∙ m = p e n + m = s quindi il trinomio di 20 si scompone nel prodotto dei due binomi di 10(irriducibili, lo sono tutti i binomi di 10) che hanno il coefficiente del termine di 10 uguale ad 1° i cui termini noti sono rispettivamente n ed m, cioè: x2 + sx + p = (x + n)(x + m) Nota: Ricorda che sono irriducibili anche i binomi somma di quadrati.

Osservazione Per determinare i termini noti dei binomi occorre tener presente che: se il prodotto p è positivo i due termini n ed m sono concordi e quindi se la somma s è positiva essi sono entrambi positivi, mentre se la somma s è negativa i due termini sono entrambi negativi; se il prodotto p è negativo i due termini n ed m sono discordi e quindi se la somma s è positiva il termine con valore assoluto maggiore è quello positivo, mentre se la somma s è negativa il termine con valore assoluto maggiore è quello negativo. Inoltre per determinare m ed n conviene scomporre il prodotto p in fattori primi, raggruppare tali fattori in due gruppi(in tutti i modi possibili) quindi fatti i prodotti degli elementi di ciascun gruppo e verificare che la somma di questi due prodotti è s. Esempio: x2 + 9x – 90 = (essendo il prodotto p = – 90 i due numeri sono discordi ed essendo la somma s = +9 il termine con valore assoluto maggiore è quello positivo; inoltre poiché 90= 2∙ 32 ∙ 5 i due gruppi di fattori possono essere formati da: - 2 e 3,3,5 ma la somma algebrica dei prodotti degli elementi di questi gruppi è – 2+45≠ +9 quindi – 2 e +45 non sono i termini che cercavamo - 2,3 3,5 e poiché la somma algebrica dei prodotti degli elementi di questi gruppi è – 6 +15 = +9 i termini che cercavamo sono – 6 e +15 e quindi: x2 + 9x – 90 = (x – 6 )(x + 15)

Considerato il trinomio di 20 ax2 + bx + c si determinano due numeri n ed m tali che: p = a ∙ c (il prodotto dei numeri da determinare è uguale al prodotto del coefficiente del termine di 20 per il termine noto) s = b (la somma dei due numeri è uguale al coefficiente del termine di 10), quindi sostituito al termine di 10 bx due termini ad esso simili che hanno per coefficienti n ed m, si trasforma il trinomio in un quadrinomio che si scompone mediante raccoglimento parziale. Esempio: 3x2 – x – 10 = p = – 10 ∙ 3 = – 30 i due numeri sono discordi s = – 1 il maggiore in valore assoluto è il termine negativo essendo 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 i due numeri potrebbero essere: - +2 e – 3 ∙ 5 = – 15 no perché la loro somma è – 13 - + 5 e – 2∙ 3 = – 6 si perché la loro somma è – 1 quindi: 3x2–x–10 = 3x2–6x+5x–10 = 3x(x – 2)+5(x – 2)=(x – 2)(3x+5)

Scomposizione mediante Ruffini Sia P(x) un polinomio di grado n qualunque, dove i suoi termini non ammettono un divisore comune e quindi non può essere scomposto mediante raccoglimento a fattore comune, tenendo presente il teorema del resto di Ruffini (un polinomio P(x) è divisibile per il binomio di 10 (x + c) se P(–c) = 0 dove P(–c) è il valore dell’espressione ottenuta sostituendo al posto della variabile x l’opposto del termine noto del binomio) il polinomio può essere scomposto nel prodotto del binomio di 10 (x + c) per il polinomio quoziente Q(x) di P(x): (x + c), polinomio di grado n – 1 i cui coefficienti li determiniamo con la tabella di Ruffini, cioè: P(x) = (x + c) ∙ Q(x) . Osservazione Il procedimento può essere ripetuto per Q(x) Il termine noto c del binomio, detto zero di P(x), va ricercato tra i divisori del termine noto del polinomio P(x).

Esempio: 3x3 – 2x2 – 11x + 10 = i divisori di 10 sono: +1, –1,+2, –2, +5,– 5, +10, –10 e poiché P(+1)= 3∙13 –2∙12 –11∙1 +10 =0 il polinomio è divisibile per (x – 1 ) , considerata la tabella di Ruffini 3 – 2 –11 10 1 3 1 –10 3 1 –10 si ha Q(x) = 3x2+x –10 quindi: 3x3 – 2x2 – 11x + 10 = (x – 1 ) (3x2+x –10 ) i divisori di 10 sono: +1, –1,+2, –2, +5,– 5, +10, –10 e poiché Q(1) = 3∙12+1–10 = – 6≠0 Q(–1) = 3∙(–1)2+(–1)–10 = –8≠0 Q(2) =3 ∙22+2–10 = 4≠ 0 Q(–2) = 3∙(–2)2+(–2) –10 = 0 il polinomio Q(x) è divisibile per (x + 2) e poiché –2 –6 10 3 –5 0 il quoziente è (3x – 5) quindi 3x3 – 2x2 – 11x + 10 = (x – 1 ) (3x2+x –10 ) = (x – 1 ) (x + 2) (3x – 5)