TENSIONI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” TENSIONI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI ► Il terreno è un mezzo polifasico in cui: 1) la fase solida è costituita da granuli che formano uno scheletro solido continuo, e 2) la fase fluida da acqua e/o aria che ne riempiono i vuoti. ► Indipendentemente da questa natura discontinua, il terreno in Geotecnica viene assimilato a un mezzo ideale continuo, le cui caratteristiche sono indipendenti dalle dimensioni dell’elemento considerato.

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ► Per capire cosa vuol dire questa analogia, prendiamo un elemento di terreno asciutto (= gli interstizi sono vuoti) costituito da granuli sferici. Sia b il lato dell’elemento e su esso agisca un sistema di forze N, Tzx e Tzy

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ► Noi definiamo, sul piano orizzontale passante per i punti di contatto tra le sfere, la “tensione normale” e le “tensioni tangenziali” come: con A = b2

molto maggiori delle precedenti. Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ► E’ chiaro che se considerassi la situazione “vera”, al posto di A nelle formule dovrei mettere l’area As di contatto tra le particelle (molto molto piccola, As << A) :otterrei così delle tensioni s molto maggiori delle precedenti. In Geotecnica questa cosa non si fa, e si fa invece sempre riferimento alle tensioni definite come rapporto tra forza ed AREA TOTALE (vuoti più pieni), come abbiamo visto nel lucido precedente.

Nei terreni al di sotto della superficie libera della falda Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” Abbiamo visto cosa succede nel caso di terreno incoerente asciutto. Nei terreni al di sotto della superficie libera della falda i pori sono totalmente occupati da acqua, che ha una pressione maggiore di quella atmosferica (e quindi ha una pressione neutra u > 0). Si intuisce quindi che il comportamento meccanico di un terreno dipenda in qualche misura dal valore delle tensioni presenti nelle singole fasi (scheletro solido e acqua)...

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” … e infatti, nel 1936, Terzaghi, basandosi su osservazioni sperimentali, stabilisce il principio delle tensioni efficaci. Il principio delle tensioni efficaci rappresenta l’equazione fondamentale di tutta la Geotecnica. ► Quello che faccio è studiare il comportamento meccanico del terreno saturo (costituito da granuli solidi e da acqua che riempie l’intera porosità del terreno) adottando due modelli.

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” Nel primo modello vedo il terreno come un mezzo continuo unico, indifferenziato (non esiste lo scheletro solido e non esiste l’acqua di porosità); Nel secondo modello considero separatamente granuli solidi e acqua, come due mezzi continui, fisicamente sovrapposti tra loro;

Andiamo a considerare un punto nel primo modello; Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” z zy zx xz x yx xy y yz Andiamo a considerare un punto nel primo modello; le tensioni che agiscono in un punto del mezzo continuo INDIFFERENZIATO si dicono TENSIONI TOTALI

Che succede per il secondo modello? Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” Che succede per il secondo modello? ’z Le tensioni che agiscono in un punto dello “scheletro solido” (che abbiamo assimilato a un mezzo continuo) si dicono TENSIONI EFFICACI (e sono quelle in figura; uso l’apice per indicarle) zy zx xz ’x yx xy ’y yz

Che succede per il secondo modello? Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” Le tensioni che agiscono in un punto del continuo “acqua” si dicono PRESSIONI NEUTRE Che succede per il secondo modello? u u u NB: l’acqua è un liquido, e quindi non trasmette sforzi di taglio: gli sforzi di taglio vanno quindi a agire unicamente sul continuo “scheletro solido”.

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” 1 ’1 u 3 ’3 u 2 ’2 …Allora: il principio delle tensioni efficaci (che è stato dedotto da osservazioni sperimentali ed è relativo a tensioni principali s1 s2 s3) dice due cose: LA PRIMA COSA E’ CHE UNA SOLLECITAZIONE APPLICATA A UN TERRENO È PER UNA PARTE SUPPORTATA DALLO SCHELETRO SOLIDO E PER UN’ALTRA DALL’ACQUA DI POROSITÀ: (il principio rappresenta quindi una legge di interazione tra le fasi).

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” Le tensioni totali s e le pressioni neutre u possono essere calcolate oppure misurate sperimentalmente. Le tensioni efficaci s’ possono essere unicamente ricavate per differenza dai valori delle tensioni totali e quelli delle pressioni neutre: s’ = s - u

►LA SECONDA COSA AFFERMATA DAL PRINCIPIO DI TERZAGHI E’ CHE Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ►LA SECONDA COSA AFFERMATA DAL PRINCIPIO DI TERZAGHI E’ CHE tutti gli effetti misurabili prodotti da una variazione dello stato di tensione (ad esempio la compressione, la distorsione, la variazione della resistenza al taglio*, etc.) sono dovuti ESCLUSIVAMENTE a variazioni dello stato di tensione EFFICACE (s’ = s – u). (* quest’ultimo aspetto, la variazione della resistenza al taglio, sarà più chiaro in seguito, quando verranno introdotti i concetti di resistenza a volume costante e resistenza residua)

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ORA: il principio lo posso scrivere anche in termini di variazione delle grandezze che vi compaiono: Ds’ = Ds – Du Da questa espressione mi rendo conto che le tensioni efficaci variano sia se variano le tensioni totali (se Ds ≠ 0, Du = 0 → ho che Ds’ = Ds) che se variano le pressioni neutre (se Ds = 0, Du ≠ 0 → ho che Ds’ = Du) .

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ►FACCIAMO UN PASSO AVANTI E VEDIAMO COME SI USA IL PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI. Lo stato di tensione agente su un elemento di volume in un terreno è noto quando sono note le tensioni principali s1 , s2 , s3 e l’orientamento delle tre direzioni principali. I problemi che affronta la Geotecnica sono in genere assimilabili a problemi piani, e lo stato di tensione è descritto dalla tensione principale massima (che per convenzione viene indicata con s1) e da quella minima (indicata con s3). Per rappresentare uno stato di tensione piano è possibile costruire il cerchio di Mohr. Esso rappresenta l’insieme delle tensioni normali e tangenziali agenti su piani inclinati di un angolo qualsiasi rispetto ad una delle direzioni principali.

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ►Convenzionalmente in geotecnica si assumono come positive le tensioni normali di compressione. Se sono note le tensioni principali, è possibile calcolare graficamente (tramite il cerchio di Mohr) la tensione normale e quella tangenziale agente su un piano inclinato di un angolo q qualsiasi rispetto all’orizzontale. t z s

le direzioni orizzontale e verticale sono direzioni principali. Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ►Nel caso di piano campagna orizzontale, nell’ipotesi di mezzo indefinito ed omogeneo, sono verificate contemporaneamente: -l’uniformità tensionale in direzione orizzontale; -la simmetria radiale rispetto a un qualsiasi asse verticale; conseguentemente le tensioni tangenziali su piani orizzontali e verticali sono nulle, e quindi le direzioni orizzontale e verticale sono direzioni principali. t Ho quindi i due punti di intersezione del cerchio di Mohr con l’asse delle sigma s1 s3 z s s3 s1

t s1 s3 s s3 s1 Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” Ho quindi i due punti di intersezione del cerchio di Mohr con l’asse delle sigma. Posso quindi disegnare il cerchio di Mohr. t s1 s3 z s s3 s1

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” Adesso andiamo a considerare un elementino di forma triangolare come in figura. Il cerchio di Mohr mi permette di conoscere la tensione normale e quella tangenziale agente sulla faccia inferiore del triangolino, inclinata di un angolo q rispetto all’orizzontale. t s1 s3 tq q z sq s s3 s1

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” Il punto K, di coordinate (s3,0) nel piano di Mohr, è il polo delle giaciture. Esso è quel punto dal quale, se si traccia una retta per il punto che corrisponde alle tensioni sq e tq, si individua proprio una ratta parallela a quella dove agiscono le tensioni e sq e tq . t s1 s3 q tq q K z s s3 sq s1

►In base a considerazioni geometriche si ha: Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ►In base a considerazioni geometriche si ha: t 2q q tq tmax K s s3 sq s1 sC sC = ascissa del centro del cerchio di Mohr = (s1+s3)/2 tmax = raggio del cerchio di Mohr = (s1-s3)/2 ► Stesse considerazioni possono essere svolte per le tensioni efficaci.

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ►Vediamo adesso come si studiano le DEFORMAZIONI dei terreni. Anche per le deformazioni si adotta l’ipotesi di mezzo continuo. ►La deformazione di un elemento di volume di terreno sotto l’azione del sistema di forze ad esso applicato è dovuta a due cause: Deformazioni elastiche e plastiche dei singoli granuli per effetto delle tensioni di contatto; in genere sono molto piccole e conseguentemente trascurabili (si adotta l’ipotesi di incomprimibilità dei granuli solidi). Spostamenti relativi dei granuli (scorrimenti, rotazioni e scavalcamenti) con variazione dell’indice dei vuoti (variazione del volume dei pori).

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” Risulta pertanto immediato che le deformazioni nei terreni sono per la massima parte deformazioni irreversibili.

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ►In tutti i problemi geotecnici è necessario conoscere lo stato di tensione iniziale che si ha nel terreno (stato tensionale geostatico). Tale stato tensionale è determinato dal peso proprio del terreno e dalla storia degli stati tensionali passati. Consideriamo un caso generale; il piano campagna sia orizzontale, il terreno si stratificato e sia presente una falda idrica a partire dalla profondità D. g1 D g2 g3 z zw

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ►Vediamo di determinare l’andamento, lungo la verticale z, della tensione normale verticale totale, efficace, e delle pressioni neutre. ►Consideriamo una colonna di terreno di altezza z, la cui base si trovi all’interno del terreno di peso dell’unità di volume g3. Siano z1 e z2 gli spessori dei due strati più superficiali. Sia z3 l’altezza del tratto di colonna nel terreno con peso dell’unità di volume g3. z1 g1 z D z2 g2 z3 zw g3 zw z

 z1 g1 z2 g2 z3 g3 W = A sv sv = W/A z zw sv z zw D W A Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ►La tensione normale verticale totale agente alla base della colonna sarà (per equilibrio alla traslazione verticale della colonna) pari al rapporto tra il peso W della colonna e la sua area di base A.  W = A sv sv = W/A z1 g1 D z z2 g2 z3 zw g3 W sv z zw A

 z1 g1 z2 g2 z3 g3 W = g1 (Az1)+ g2 (Az2)+ g3 (Az3) Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ►W lo conosciamo: W = g1 (Az1)+ g2 (Az2)+ g3 (Az3)  sv = g1z1+ g2z2+ g3z3 In questa espressione metterò il valore di gsat laddove il terreno è saturo (quando non noto si utilizza il valore di g commettendo un errore trascurabile ai fini pratici), e il valore di gd laddove il terreno è asciutto. z1 g1 D z z2 g2 z3 zw g3 W sv z zw A

 z1 g1 z2 g2 z3 g3 u = Ww/A Ww= gw(zwA) u = gwzw z zw u z zw D Ww A Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ►La pressione neutra alla base della colonna sarà (cono analogo ragionamento) pari al rapporto tra il peso Ww della colonna e la sua area di base A. u = Ww/A Ww= gw(zwA)  u = gwzw z1 g1 D z z2 g2 Al di sopra della superficie libera della falda le pressioni neutre sono ovunque nulle (terreno asciutto) . A distanza zw dalla superficie libera, al di sotto di essa, per considerazioni analoghe a quelle svolte per la fase solida, il valore della pressione neutra u sarà pari a gwzw. z3 zw g3 Ww u z zw A

 z1 g1 z2 g2 z3 g3 s’v = g1z1+ g2z2+ g3z3 - gwzw z zw s’v z zw Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ►Le tensioni normali verticali efficaci s’v si ottengono per differenza.  s’v = g1z1+ g2z2+ g3z3 - gwzw z1 g1 D z z2 g2 z3 zw g3 W s’v z zw A

z1 g1 z2 g2 g3 sv , u , s’v sv u s’v z z zw D Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ►Considerando colonne di altezza diversa, posso ottenere quindi per ogni profondità z il valore della tensione normale verticale totale, delle pressioni neutre e della tensione nomale verticale efficace. I risultati possono essere poi espressi in forma grafica. sv , u , s’v z1 g1 D z2 g2 sv g3 u s’v z z zw

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ►Nei terreni naturali si introduce il “coefficiente di tensione laterale (di spinta) a riposo” K0 = s’h / s’v . Esso: -è espresso in funzione delle tensioni efficaci; -dipende dalla natura e composizione del terreno e dalla storia degli stati tensionali. Che significa? Allora: s’v s’h z zw

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” Nei terreni normalmente consolidati (che sono terreni che nella loro storia non sono stati mai sottoposti a tensioni verticali efficaci maggiori delle attuali) i dati sperimentali indicano che 0,4 < K0 < 0,7. Nei terreni sovraconsolidati (che sono terreni che nella loro storia sono stati sottoposti a tensioni verticali efficaci maggiori delle attuali) K0 > 1. s’v s’h z zw

s’v s’h z zw sv = Si gi zi u = gw zw s’v = sv - u s’h = K0 s’v Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ►Noto il valore di K0, lo stato tensionale di un terreno può essere determinato in toto. Andrà determinato per ogni profondità, nell’ordine, il valore: 1)della tensione normale verticale totale, 2)delle pressioni neutre, 3)della tensione normale verticale efficace, 4)della tensione normale orizzontale efficace ed infine quello 5)della tensione normale orizzontale totale. sv = Si gi zi s’v u = gw zw s’v = sv - u s’h s’h = K0 s’v z zw sh = s’h + u

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” ►I risultati vengono usualmente espressi in forma di grafici e di tabelle. g1 g2 sv s’v g3 u zw z z s'h sh Si noti che, per un terreno stratificato, mentre l’andamento delle tensioni normali verticali totale e efficace è continuo, non è continuo l’andamento delle tensioni normali orizzontali efficaci e totali: al passaggio tra due strati aventi differente valore di K0 si ha infatti un “salto” nel valore della tensione normale orizzontale efficace.

STATI DI TENSIONE NEL TERRENO Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” STATI DI TENSIONE NEL TERRENO ESERCITAZIONE Il sottosuolo di un’area pianeggiante è costituito dei terreni riportati in figura. Determinare l’andamento con la profondità della tensione normale verticale e orizzontale sia totale che efficace e delle pressioni neutre. Determinare alla profondità di 30 m la tensione normale e di taglio agenti su un piano inclinato di 45° (rispetto all’orizzontale/alla verticale).