ESISTE UN POLIEDRO CON 7 SPIGOLI? Math en Jeans 2012 ESISTE UN POLIEDRO CON 7 SPIGOLI? 2013 Scuola Media O. Tabacchi

Ecco il problema: La ricercatrice è venuta a presentarci la seguente questione: “Esiste un poliedro con sette spigoli?”

Prima di rispondere bisogna aver chiari i seguenti termini: poliedro, facce, vertici e spigoli. Poliedro è la parte di spazio delimitata da poligoni posti su piani diversi, in modo tale che ogni lato sia comune a due di essi Le facce sono i poligoni che delimitano il poliedro; I vertici di ogni poligono vengono detti vertici del poliedro; I lati di ogni poligono vengono detti spigoli del poliedro.

Quando esiste un poliedro? Per avere un poliedro occorrono come minimo 4 vertici: 3 giacciono in un piano a formare il poligono triangolare ( che è il poligono con il minimo numero di lati) e 1 sta fuori del piano; da esso partono gli altri spigoli che terminano nei vertici del poligono di base.

Costruzione dei poliedri Abbiamo provato a costruire vari poliedri in modi diversi: disegnandoli, ma era difficile vederli nello spazio,

utilizzando il Geo-mag, ma gli spigoli erano tutti uguali,

intagliando le patate,

utilizzando cannucce e stecchini

Abbiamo dunque disegnato, costruito ed esaminato tanti poliedri ed abbiamo raccolto i dati dei solidi analizzati in una tabella, ordinandoli a seconda del numero di vertici:

Poliedri costruiti A B C E D F G G H

POLIEDRI VERTICI FACCE SPIGOLI A 4 6 B 5 8 C 9 D E 10 F 7 12 G 15 H 14

SCOPRIAMO LA FORMULA! V+F=S+2 Abbiamo osservato la tabella dei poliedri per cercare una relazione matematica tra i numeri V di vertici, F di facce e S di spigoli, e, provando varie possibilità e facendo tante prove e molti calcoli, abbiamo scoperto la formula, che vale per tutti i poliedri da noi considerati: V+F=S+2

Verifica della validità della formula Se togliessimo un vertice ad un poliedro, come si modificano i numeri di vertici, facce, spigoli? Quanti ne aggiungiamo?

Prendiamo come esempio una piramide a base quadrata. Se togliamo il vertice in cui convergono 4 spigoli, cosa otteniamo?

Verifichiamo che V+F =S+2 Vi+Fi =Si+2 ossia 5+5 = 8+2 Dalla situazione iniziale si aggiungono vertici, facce e spigoli e si ottiene un poliedro finale con:   vertici facce spigoli Iniziali 5 8 Aggiunte 3 1 4 Finali 6 12 Verifichiamo che V+F =S+2 Vi+Fi =Si+2 ossia 5+5 = 8+2 Vf+Ff =Sf+2 ossia 8+6 = 12+2

Ora prendiamo come esempio un’altra figura,un cubo. Togliamo un vertice

Verifichiamo che V+F =S+2 Vi+Fi =Si+2 ossia 8+6 = 12+2 Dalla situazione iniziale si aggiungono vertici, facce e spigoli e si ottiene un poliedro finale con:   vertici facce spigoli Iniziali 8 6 12 Aggiunte 2 1 3 Finali 10 7 15 Verifichiamo che V+F =S+2 Vi+Fi =Si+2 ossia 8+6 = 12+2 Vf+Ff =Sf+2 ossia 10+7 = 15+2 Per cui la formula è valida

Torniamo alla questione posta inizialmente: esiste un poliedro con sette spigoli? Partendo dalla formula V + F = S + 2 , se presupponiamo che gli spigoli siano 7, allora deve essere: S+2 = 7+2 = 9 per cui V + F = 9

Quali sono le coppie di numeri la cui somma è 9? Sono 10 coppie, associamole ai vertici e alle facce del poliedro: Vertici Facce Esiste il poliedro? 9 non è possibile perché i vertici devono essere almeno 4 1 8 2 7 3 6 4 5 potrebbe essere possibile non è possibile perché le facce devono essere almeno 4

Tra queste coppie di numeri, solo due potrebbero corrispondere alla quantità di vertici e facce di un poliedro: sono (4; 5) e (5; 4) Esiste solo un poliedro con 4 vertici: la piramide a base triangolare che ha 6 spigoli e solo 4 facce, per cui escludiamo la coppia (4 V ; 5 F)

Con 5 vertici si possono costruire 2 poliedri uno con 8 spigoli e 5 facce un altro con 9 spigoli e 6 facce. Allora escludiamo entrambi

Quindi non esiste un poliedro con 7 spigoli!!

Ringraziamo: La ricercatrice Roberta Dusi per la collaborazione e l’aiuto, la professoressa Santolini per averci seguito e stimolato nella nostra ricerca, tutto il pubblico per averci ascoltato durante la presentazione

gli alunni della Tabacchi: Abacan Aileen Montecorboli Edoardo Cervi Pietro Serto Francesca Cesaroni Lara Taddia Margherita Ferrara Marco Tutucci Gaia Ferri Beatrice Wu Min Ferri Sofia Wu Xiao Fei Jongbuth Nathalia Zaccarelli Pietro Kitharatzis Elia Leoni Amato Pietro Loseto Sofia