Il finzionalismo di Harty Field Stage scienza e realtà 2011 Il finzionalismo di Harty Field Tutor: Flavio Zelazek   Relatori (in ordine di presentazione): Francesco Antilici Laura Lestini  Giacomo Gusella Maria Teresa Cipollone Marco Pietrosanto Rocco Gerace          

I. Introduzione

P2) Non esistono oggetti matematici astratti (nominalismo) P1) Se gli asserti matematici, presi alla lettera, sono veri, allora esistono oggetti matematici astratti P2) Non esistono oggetti matematici astratti (nominalismo) C) Gli asserti matematici, presi alla lettera, non sono veri (finzionalismo)

"Vi è un uomo politico onesto " P1) Se gli asserti matematici, presi alla lettera, sono veri, allora esistono oggetti matematici astratti "Vi è un uomo politico onesto " è vera se e solo se Esiste almeno un oggetto che sia un uomo, sia un politico, e sia onesto.

"Vi è un numero primo pari" P1) Se gli asserti matematici, presi alla lettera, sono veri, allora esistono oggetti matematici astratti "Vi è un numero primo pari" è vera se e solo se Esiste almeno un oggetto che sia un numero, sia primo, e sia pari.

A > B può essere vera anche se B è falsa ! C) Gli asserti matematici, presi alla lettera, non sono veri, oppure lo sono vacuamente. "Per ogni x, se x è un numero primo allora x è dispari" A B A > B V F A = "x è un numero primo" B = "x è un numero dispari" A > B può essere vera anche se B è falsa !

C) Gli asserti matematici, presi alla lettera, non sono veri, oppure lo sono vacuamente. In un senso non letterale, gli asserti matematici possono essere veri: ad esempio sono veri secondo la matematica standard, così come gli asserti su personaggi fittizi sono veri secondo la storia cui fanno riferimento.

Dilemma di Benacerraf buona semantica buona epistemologia P1 P2 Finzionalismo

Argomento dell'indispensabilità (Giacomo) Dilemma di Benacerraf (Laura) Argomento dell'indispensabilità (Giacomo) Conservatività (Maria Teresa) Nominalizzazione (Marco) Argomento del miracolo (Rocco)

II. Il Dilemma di Benacerraf

Il dilemma di Benacerraf o Il problema di Platone I numeri naturali che oggetti sono? E’ importante capire che tipo di oggetti siano? Che rapporto hanno con la nostra conoscenza?

Benacerraf (1965) I numeri naturali sono insiemi? Benacerraf: i numeri naturali risultano differenti se considerati attraverso gli insiemi di Zermelo o di von Neumann e, poiché l’aritmetica non ci offre ragioni per stabilire quale dei due insiemi siano, i numeri naturali non sono insiemi. Dire esattamente cosa i numeri siano, o cosa non siano, è come cercare di stabilire quale è stata la vita adulta di Cappuccetto Rosso (Wagner 1982, Field 1989)

Ma allora cosa sono? Benacerraf conclude che i numeri naturali non sono né insiemi né oggetti Field propone la spiegazione più naturale del finzionalismo: abbiamo una buona storia sia per i numeri naturali sia per gli insiemi, ed è del tutto irrilevante, all’interno della storia, se identifichiamo i numeri naturali con gli insiemi o meno.

Benacerraf (1973) Locus classicus: come possono gli enti matematici platonici, indipendenti dal linguaggio, dagli enti fisici e fuori dallo spazio-tempo, produrre conoscenza? Contro l’intuizione matematica: un’intuizione matematica, che dà pieno accesso al “reame” dei numeri, sarebbe uguale a un’intuizione speciale che ci dice cosa accade esattamente in un remoto villaggio del Nepal: se i matematici accettano ‘p’, allora p (Field 1989)

Prima richiesta: una teoria della verità “La teoria della verità matematica deve essere conforme con una teoria generale della verità, che certifichi che la proprietà degli asserti detta ‘verità’ sia veramente la verità” ‘Vi sono almeno tre numeri perfetti maggiori di 17’ ‘Vi sono almeno tre grandi città più antiche di New York’ 28 sono veri se esistono oggetti con proprietà rilevanti indipendentemente da ogni nostra giustificazione 8128 496

Seconda richiesta: il problema dell’accesso Conoscenza si produce quando un soggetto conosce che p solo se vi è qualcosa che rende vero che p e il soggetto è in relazione con questo qualcosa che gli permetta di stabilire se le condizioni di verità di p sono soddisfatte. “ non è possibile tenere conto della connessione fra le condizioni di verità degli asserti dell’aritmetica e ogni evento rilevante connesso con coloro che sono supposti avere conoscenza matematica ” (Benacerraf)

Il dilemma di Benacerraf Buona semantica  Cattiva epistemologia (es. Gödel: viola la seconda richiesta) Buona epistemologia  Cattiva semantica (es. Quine: viola la prima richiesta)

Le risposte di Hartry Field Finzionalismo Dispensabilità Conservatività Nominalizzazione

III. L'argomento di indispensabilità

Argomento dell’indispensabilità Una delle caratteristiche più interessanti della matematica è la sua applicabilità alle scienze empiriche.  Partendo dall’utilità della matematica alcuni filosofi hanno concluso, tramite un’inferenza, l’esistenza di oggetti matematici.   Cosa sostiene: esistono gli oggetti matematici Come lo giustifica: esistono perché la matematica entra in maniera indispensabile nelle  spiegazioni dei fenomeni fisici.

Il presupposto dell'argomento di indispensabilità è un'inferenza alla migliore spiegazione. Supponiamo che: a)Abbiamo delle credenze su certi fenomeni ai quali non siamo disposti a rinunciare b)Questa classe di fenomeni è ampia e complessa c)Abbiamo una spiegazione abbastanza precisa di questi fenomeni d) Una delle assunzioni che appaiono in questa spiegazione è l’asserto S e non è possibile nessuna spiegazione dei fenomeni che faccia a meno di S Abbiamo forti ragioni per credere nell’asserto S

Attacchi di Field all’indispensabilità Nominalizzazione Le teorie fisiche si possono nominalizzare, spogliare di qualsiasi riferimento alla matematica Ruoli diversi Le entità matematiche, rispetto alle entità fisiche, hanno un ruolo completamente diverso all’interno delle teorie scientifiche Spiegazioni intrinseche Sono preferibili le spiegazioni intrinseche in quanto sono quelle che si avvicinano di più ai fenomeni e sono le più illuminanti

Il ruolo degli enti matematici nelle spiegazioni del mondo fisico è del tutto diverso dal ruolo delle entità fisiche nelle medesime spiegazioni. Le entità fisiche, osservabili o non osservabili, hanno un ruolo CAUSALE, sono sottoposte a leggi di causa-effetto e producono gli effetti che le leggi fisiche cercano di spiegare. Le entità matematiche vengono considerate come oggetti inerti, come oggetti ACAUSALI, senza alcun ruolo nelle interazioni dei fenomeni fisici. Come possono queste entità acausali avere un ruolo indispensabile per spiegare le entità causali?

H. Field “realism, mathematics and modality” 1989 p.4 VI. CONSERVATIVITA' “On this account truth isn’t required for goodness (no necessary truth isn’t required either); what is required instead is something called conservativeness, which embodies some of the features of necessary truth without involving truth” H. Field “realism, mathematics and modality” 1989 p.4 Esatto, l'ordine è quello descritto nella slide 8! Flavio  

NON È un 'surrogato' del concetto di verità. COS’È / COSA NON È NON È un 'surrogato' del concetto di verità. NON È la sola proprietà di una teoria matematica: esitono 'virtù secondarie' -eleganza, semplicità etc.- che possono contribuire a determinare la bontà della teoria.

Una teoria matematica S è conservativa rispetto ad una teoria nominalista N se ogni enunciato nominalista che è una conseguenza di N+S è una conseguenza di N solo.

Questa definizione è piuttosto vaga e fa sorgere un                PROBLEMA:               Se N è una teoria nominalista    allora potrebbe asserire qualcosa che  ESCLUDE L’ESISTENZA DI ENTITÁ ASTRATTE     e quindi ‘N + S’ SAREBBE INCOERENTE!

... PROVIAMO AD ESSERE PIU’ PRECISI Sia A un qualsiasi asserto nominalista, sia N un qualsiasi corpo di tali asserti; A* non è una conseguenza di N* + S a meno che non sia una conseguenza di N* solo.

... DI COSA STIAMO PARLANDO?! •S-> una qualsiasi teoria matematica; •A-> un qualsiasi asserto nominalista; •N-> un qualsiasi corpo di asserti nominalisti A;    •M(x) significa che x è un oggetto matematico; •A* -> un qualsiasi asserto nominalista I CUI QUANTIFICATORI SONO RISTRETTI A  ¬M(x); •N* -> il corpo degli asserti A*.

A COSA SERVE? Il concetto di conservatività viene introdotto da Hartry Field per mostrare che non serve pensare la matematica come vera in senso platonista per spiegare la sua applicabilità al mondo fisico. “It seems to me that the only non-question-begging arguments against the sort of nominalism sketched here (that is, the only non-question-begging arguments for the view that mathematics consists of truths) are based on the applicability of mathematics to the physical world.” H. Field Science without numbers”1980 p.4

Inoltre negare la pretesa di indispensabilità della matematica, non significa negarne anche l’utilità pratica. L’introduzione del concetto di conservatività consente quindi a Field di riconoscere come perfettamente legittimo l’uso della matematica anche da una prospettiva finzionalista. “[…]If we had a nominalistic theory , than we would be legitimate to introduce mathematics as an auxiliary device that aid us in drawing inferences […] and its usefulness as an auxiliary device is no ground for supposing that it consists of a body of truths.” Field 1980 p.41

VERITA' QUELLA DEI REALISTI... Secondo il realismo matematico gli enti matematici -astratti- (numeri, insiemi, funzioni etc) esistono indipendentemente dalla mente e dal linguaggio umani e vanno dunque considerati veri rispetto al loro valore facciale, ovvero, gli asserti matematici vanno considerati come LETTERALMENTE VERI.

… E QUELLA DEI FINZIONALISTI! Al contrario essere finzionalisti, secondo Field, non significa negare agli asserti matematici la pretesa di essere “VERI IN UN QUALCHE SENSO”; tuttavia il senso in cui ‘2+2=4’ è vero è lo stesso in cui lo è la proposizione ‘Oliver Twist è nato a Londra’. La seconda è vera “according to a well-known story” la prima “according to standard mathematics”.

QUAL È IL SENSO DI TUTTO CIÒ? IL 'NUCLEO' DI UNA TEORIA FISICA, ciò che in essa è davvero IMPORTANTE, È L'INSIEME DEGLI ASSERTI NOMINALISTI N.  Questi costituiscono le PREMESSE dalle quali si ricavano CONSEGUENZE -anch'esse nominaliste- ovvero PREDIZIONI.

Dunque, tutto IL 'POTERE PREDITTIVO' DI UNA TEORIA FISICA STA INTERAMENTE NEL SUO 'NUCLEO‘ nominalista.   LA MATEMATICA GIOCA UN RUOLO MERAMENTE ACCESSORIO: E' UNO STRUMENTO CHE FACILITA LE INFERENZE DA N ALLE SUE CONSEGUENZE.

V. Nominalizzazione

Il programma di nominalizzazione eliminare qualsiasi referenza ad entità matematiche L'obbiettivo di Field Quelle relative alle applicazioni al mondo fisico Quali ? Morale della favola, ho deciso di prenderla in questo modo: Mi sono abbastanza convinto che tutti i discorsi che fa dal cap 6 in poi, sono solo ed esclusivamente discorsi di ESTETICA, perchè per tutto quello che vuole dire (e che basta a noi), basta la conservatività, capire quella è fondamentale in quanto toglie ogni questione (il problema si sposta li, vanno convinti per bene).  Mi limito a prendere alcune cose da altri capitoli (4 e 5 se non mi sbaglio) che mi sembrano più interessanti, come le relazioni tra punti spazio-tempo e ci lavoro su spiegando perchè (tutto  accettando la conservatività), questi risultano nominalisti, in quanto i concetti a cui fanno riferimenti sono concetti che possono essere tagliati fuori dal confine della matematica se accettiamo confini "logico-temporali" (passatemi il termine). E poi provo a concludere con un pezzo ad effetto di Galileo che esprime in parte quello che ci serve, accompagnato da una riflessione su come si potrebbero nominalizzare un paio di cose in modo "trivial" come dice Field, non elegante, però spero efficace :) mostrando che è possibile una formulazione della scienza che non necessiti di matematica In che modo?

Postula l'esistenza di punti nello spazio-tempo xyz A-Cong tuv x Bet yz x t                       z                x        y y u v z Postula l'esistenza dei punti nello spazio-tempo, per esempio riferendosi ad asserti tipo x Bet yz, xy Cong zw, xyz A-Cong tuv, che sono relazioni direttamente osservabili tra questi punti. Si dirà, ma allora che differenza c'è con un platonista che postula l'esistenza dei numeri reali? In pratica richiede anche che lo spazio fisico sia non numerabile, e che ogni segmento sia isomorfo ad R(numeri reali). A questo punto Field dice: postulare entità fisiche non numerabili non è una violazione al nominalismo, perchè non sta affatto postulando mondi altri o entità astratte come un numero reale, e soprattutto, è totalmente arbitraria la scelta del segmento in questione, non essendo esso alcuna idea pura e astratta (pur ammettendo che, certo, la parola entità è fuorviante). C'è anche un'altra ragione: al postulare i numeri reali seguono le operazioni di somma e moltiplicazione, ma qua non ci sono operazioni del genere, in quanto non viene fatta nessuna scelta di punti che siano 0 e 1 (ricordiamo che queste operazioni necessitano di elementi nulli e neutri): semplicemente si sommano degli intervalli; allo stesso modo la moltiplicazione: possiamo definire delle corrispondenze--> segmento a Prod segmento b è come parlare di un certo segmento alpha. Certo è un lavoraccio, improbabile, ma non impossibile. (ricordiamoci che vale la conservatività, posso dedurre tutte le conclusioni che voglio con la matematica) E' matematica uguagliare due cose? E' Natale il 25 dicembre? O è la festa del Sol Invictus espressione del culto del dio Mitra? Se proprio vogliamo passare alla quantistica (punti discretizzati) basta che ad un certo punto in x Bet yz pongo yx Cong yz Inoltre: la corrispondenza tra numeri reali e i punti nello spazio-tempo ancora sembra una coincidenza troppo strana? Ricordiamo che STORICAMENTE la matematica è stata derivata proprio per essere più simile possibile al mondo fisico! Anzi, [cambio slide] x                          y z                           w xy Cong zw

1) per ogni x,y,z e w,   xy Cong zw se e solo se d(x,y) = d(z,w); 2) per ogni x,y e z,   y Bet xz se e solo se d(x,y)+d(y,z)=d(x,z);

Diagramma solo illustrativo, impreciso , l’omomorfismo lo dimostra in N+S… e poi deduce solo in S Ovvio che un omomorfismo non può andare da proposizioni a proposizioni, ma da strutture a strutture, è un abuso illustrativo. L’omomorfismo è unico a meno di cose tipo Gauge (sempre dovuto a Hilbert)

c’è un punto x tra a1 e a2  (x Bet a1a2) tale che  xa1 Cong cd a xa2 Cong cd

VI. L'argomento del miracolo

L'argomento del miracolo L'argomento del Miracolo dice che il realismo della scienza è la migliore spiegazione del successo della scienza, che altrimenti sarebbe 'miracoloso'. WIGNER PUTNAM E IL REALISMO SCIENTIFICO FINZIONALISMO

"L'enorme utilità della matematica nelle scienze naturali è qualcosa che rasenta il misterioso di cui non c'è alcuna spiegazione razionale". “Il miracolo dell'appropriatezza del linguaggio della matematica per la formulazione delle leggi della fisica è un dono meraviglioso che noi non comprendiamo né meritiamo. Dovremmo esserne grati e sperare che esso rimarrà valido nelle ricerche future e che si estenderà, nel bene o nel male, a nostro piacimento, anche se forse anche a nostro turbamento, alle più ampie branche del sapere.” WIGNER The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences" (L'Irragionevole Efficacia della Matematica nelle scienze naturali) 1960

PUTNAM E IL REALISMO SCIENTIFICO “Scientific Realism is the only philosophy that doesn't make the succes of science a miracle" (1975:73) 1)La Verità delle teorie matematiche spiegherebbe il loro successo predittivo 2)Non c'è nessun'altra spiegazione plausibile di questo successo predittivo. 3)La scienza ha successo. Pertanto si conclude che le nostre teorie sono vere.

LA RISPOSTA DI FIELD E DEL FINZIONALISMO: NOMINALIZZAZIONE E ADEGUATEZZA NOMINALISTA. T->Teoria fisica che usa la matematica T'->Teoria altenativa a T non fisica che esprime il contenuto nominalista presente in T. T è estensione conservativa di T' Anche se la parte matematica di T è letteralmente falsa ci aspettiamo che abbia conseguenze nominalistiche (osservabili) vere. OBIEZIONI: 1) Circolarità della spiegazione 2) Spiegare come si può credere nelle conseguenze di T se non si crede a T RISPOSTE: 1) Problema anche dei realisti 2) C'è qualcosa di intrinseco e nominalista nelle teorie T e in particolare nel rapporto tra gli elementi non matematici che possiamo estendere con la conservatività alla matematica senza la verità.

TRE PUNTI FORTI PER IL FINZIONALISMO Un precedente Considerare l'ipotesi che il successo predittivo delle teorie matematiche non dipenda dalla loro verità(matematica). -Il Finzionalismo sostiene che il successo predittivo delle teorie matematiche che usano la fisica dipende da ragioni diverse dal fatto che queste teorie siano corrette nelle relazioni tra oggetti matematici e non matematici. - Dipende dalle sole regolarità tra oggetti non matematici. Un precedente? La teoria della gravitazione di Newton. Falsa nella sua porzione matematica Vera nominalisticamente. Le regolarità nella parte nominalistica della teoria garantiscono il successo predittivo di questa.

Meccanica quantistica->manca la “versione nominalizzata” Fatti esplicativi fondamentali Meccanica quantistica->manca la “versione nominalizzata” O la teoria è vera O coincidenza Obiezione Finzionalista 1)La verità della teoria sostenuta dal realista spiega davvero perchè le regolarità osservabili concordano con le previsioni della teoria? 2) Può il realista affermare che a causa della verità della teoria la sue predizioni si avverano? 3) Perchè dovremmo pensare che il rapporto tra gli oggetti non-matematici di una teoria dipenda dalle relazioni acausali con gli oggetti matematici e non da motivi intrinsechi di adeguatezza nominalista? Perchè gli oggetti non-matematici sono tali da rendere una teoria vera?

Costruzione di teorie Asserti sulle relazioni tra oggetti matematici e non matematici che la teoria pone sono immaginari Si suppone come una finzione che gli oggetti non matematici si possano raccogliere in insiemi che soddisfano gli assiomi della nostra teoria degli insiemi se tali asserti immaginari ricadono sotto questa supposizione, allora rispetteranno qualunque relazione che di fatto intercorre tra ogg. non matematici. Perchè la nostra teoria è nominalisticamente adeguata senza essere vera? Assiomi di una teoria con urelementi-> ipotesi generative di una finzione.

Bibliografia Balaguer M. (2008). Fictionalism in the Philosophy of Mathematics. In Zalta N. E. (a cura di), The Stanford Encyclopedia of Philosophy, http://plato.stanford.edu/entries/fictionalism-mathematics/. Field H. (1980). Science without numbers. Basil Blackwell, Oxford. Field H. (1989). Realism, mathematics and modality. Basil Blackwell, Oxford. Leng M. (2010). Mathematics and reality. Oxford University Press, Oxford. Panza M. e Sereni S. (2010). Il problema di Platone. Carocci, Roma.

Sito del gruppo http://finzionalismo.wordpress.com