Rapporti  Il rapporto è un concetto impiegato per esprimere la relazione che intercorre tra le misure di due grandezze. Nel caso di grandezze dello stesso tipo, esso non è altro che il risultato della divisione tra il numero che esprime la prima misura e il numero che esprime la seconda (a patto che esse siano espresse nella stessa unità di misura). Per esprimere il concetto di rapporto si ricorre al simbolo di divisione, sia nella forma ":" che nelle forme "/" e “––", e a varie descrizioni verbali. Ad esempio il rapporto tra 2 cm e 5 cm può essere scritto: 2:5  oppure  2/5  oppure  2 ––   5 e può essere letto, oltre che come «2 diviso 5», anche come «2 a 5» o come frazione: «2 quinti» (2 cm sono 2 volte la quinta parte di 5 cm); la lettura sotto forma di frazione si usa solo se i due numeri sono interi. Calcolando il risultato della divisione (2 diviso 5 fa 0,4) si può dire che il rapporto tra 2 cm e 5 cm è 0,4. In altre parole 2 cm è pari a 0,4 volte 5 cm.

Rapporti Chiamiamo r il risultato del rapporto n/d, dove n e d sono rispettivamente il numeratore e il denominatore del rapporto. n r = –– d Esiste una diretta proporzionalità tra n ed r. Tenendo, infatti, costante il denominatore del rapporto, si osserva che all’aumentare di n aumenta r, e al diminuire di n diminuisce r. I due termini suddetti si dicono direttamente proporzionali (y/x = k oppure y = k∙x, dove k è la costante di proporzionalità diretta). Esempio 10 20 30 –– = 5 –– = 10 –– = 15 2 2 2

Rapporti Chiamiamo r il risultato del rapporto n/d, dove n e d sono rispettivamente il numeratore e il denominatore del rapporto. n r = –– d Esiste un’inversa proporzionalità tra d ed r. Tenendo, infatti, costante il numeratore del rapporto, si osserva che all’aumentare di d diminuisce r e, viceversa, al diminuire di d aumenta r. I due termini suddetti si dicono inversamente proporzionali (x∙y = k oppure y = k/x, dove k è la costante di proporzionalità inversa). Esempio 10 10 10 –– = 5 –– = 2 –– = 1 2 5 10

Proporzioni Una proporzione è un’uguaglianza tra due (o più) rapporti. Si dice che quattro numeri reali positivi a, b, c, d sono in proporzione fra loro se il rapporto fra il primo e il secondo è uguale al rapporto tra il terzo e il quarto. In formula: a : b = c : d oppure a/b = c/d Es.: 10 : 2 = 25 : 5 5 = 5 a = 1° termine b = 2° termine c = 3° termine d = 4° termine b, c = medi a, d = estremi a, c = antecedenti b, d = conseguenti “Se quattro numeri sono in proporzione, il prodotto del primo con il quarto è uguale al prodotto del secondo con il terzo”.

a = (b ∙ c) / d b = (a ∙ d) / c c = (a ∙ d) / b Proporzioni In altre parole: in ogni quaterna proporzionale il prodotto dei medi e uguale al prodotto degli estremi. In formula: b ∙ c = a ∙ d Da questa proprietà ne deriva (regola del quarto proporzionale): noti tre numeri a, b, c, il quarto proporzionale d, tale che a : b = c : d, è dato da: d = (b ∙ c) / a e poi: a = (b ∙ c) / d b = (a ∙ d) / c c = (a ∙ d) / b

Percentuali La percentuale è uno strumento matematico di uso comune che descrive la grandezza di una quantità rispetto ad un’altra. La quantità base rappresenta il 100%. La percentuale è una delle possibili rappresentazioni numeriche del rapporto tra due quantità (a e b), in cui una (a) viene espressa in centesimi (centesime parti) dell’altra (b); operativamente si ottiene moltiplicando per 100 il quoziente (a/b) della divisione tra le due quantità: (a/b) ∙ 100 = n o anche: a/b = n/100 che rappresenta la proporzione a: b = n : 100 La quantità “base” b, che si vuole rappresenti il 100%, deve essere posta al denominatore, mentre la quantità a, che deve essere rapportata, va posta al numeratore, e il risultato deve essere interpretato nel senso che a è uguale a n centesime parti di b: a = n ∙ (b/100)

Percentuali Esempio: Atot = 1˙500 m2 A1 A2 A quanto equivale il 75% di Atot? A1 = Atot ∙ 75% = 1˙500 m2 ∙ (75/100) = 1˙125 m2 Volendo calcolare A2 ci sono due modi: A2 = Atot – A1 = 1˙500 – 1˙125 = 375 m2 oppure A2 = Atot% - A1% = 100% - 75% = 25% A2 = Atot ∙ 25% = 1˙500 m2 ∙ (25/100) = 375 m2