Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a. 2012-2013 Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 7

PER I PROCESSI STAZIONARI ED ERGODICI HA SENSO PORSI IL PROBLEMA DELLA STIMA DEI MOMENTI A PARTIRE DALLA SERIE STORICA CHE DEL P.S. COSTITUISCE UNA REALIZZAZIONE UNICA E TRONCATA

STIMA DEI MOMENTI DI UN P.S. STAZIONARIO MEDIA stimatore corretto e consistente

AUTOCOVARIANZA stimatore distorto, asintoticamente corretto e consistente VARIANZA AUTOCORRELAZIONE

Per un processo WN, vale inoltre il risultato che 𝜌 𝐾 ha distribuzione asintotica normale con media nulla e varianza pari a 1/N. Tale risultato viene solitamente utilizzato al fine di costruire bande di confidenza approssimate al 95% attorno allo zero per valutare la significatività delle autocorrelazioni stimate: queste sono giudicate non significativamente diverse da zero se sono interne all’intervallo [− 2 𝑁 ; + 2 𝑁 ].

Gaussianità Processo gaussiano: (Yt1 ,Yt2 , ,Ytk ) ~ Normale k-variata  (t1, t2, …, tk) e  k Un p.s. gaussiano è caratterizzato solo dal vettore delle medie e dalla matrice delle varianze-covarianze. In questo caso stazionarietà in senso stretto ed in forma debole coincidono. Per i p.s. gaussiani la conoscenza del p.s. può essere ricondotta alla conoscenza di una particolare categoria di momenti.

Teorema di Wold Teorema fondamentale per passare dal concetto di p.s. ai modelli che sono in grado di catturarne le caratteristiche Consente di derivare la classe dei processi ARMA

Il teorema di Wold è importante per arrivare a costruire dei modelli che non sono i processi, ma ne costituiscono una descrizione valida finché nuovi dati e nuove sintesi non porteranno a costruire modelli più convincenti. Un processo è noto oppure no. Un modello può essere stimato oppure no. In generale, a partire dai dati la conoscenza del processo è proibitiva mentre la costruzione di un particolare modello è possibile.

TEOREMA Ogni p.s. stazionario (in senso debole) Xt può essere scomposto nella somma di due componenti incorrelate, una deterministica e una stocastica, riconducibile a una sequenza infinita di variabili causali incorrelate (processo lineare)

Vt è una componente deterministica, nel senso che è prevedibile senza errore Zt è una componente stocastica, nel senso che è possibile solo fare affermazioni probabilistiche sul suo futuro. Zt si dice processo lineare non è possibile fare inferenza sugli infiniti parametri  j di Zt (ci vorrebbero serie di lunghezza infinita): è quindi necessario approssimare Zt con una parametrizzazione più parsimoniosa Tra l’altro, essendo i parametri dovranno necessariamente tendere a 0 da un certo punto in poi

COME FARE L’APPROSSIMAZIONE? N.B.: è possibile scrivere Zt utilizzando un polinomio di ordine infinito in B: Zt = 0 + 1 at-1 + 2 at-2 + 3 at-3 + … = 1+ 1 Bat + 2 B2at + 3 B3at + … = (1+ 1 B + 2 B2 + 3 B3 + …) at = (B) at Il problema può essere ricondotto all’approssimazione di (B): sono particolarmente importanti le approssimazioni che conducono ai modelli MA, AR e ARMA.

MODELLO MA(q) MA significa Moving Average (=a media mobile) (B)  (B) (B) = 1 - 1B - 2B2 - … qBq (B) è detto polinomio caratteristico q = grado del polinomio = ordine del modello. Zt = (B) at Zt = at - 1at-1 - 2at-2 - … qat-q

MODELLO AR(p) AR significa AutoRegressive (=autoregressivo) (B)  1/(B) (B) = 1 - 1B - 2B2 - … pBp (B) è detto polinomio caratteristico p = grado del polinomio = ordine del modello Zt = [ 1/(B) ] at (B) Zt = at Zt - 1 Zt-1 - 2 Zt-2 - … p Zt-p = at Zt = 1 Zt-1 + 2 Zt-2 + … + p Zt-p + at

MODELLO ARMA(p,q) (B)  (B)/ (B) (B) = 1 - 1B - 2B2 - … qBq (B) = 1 - 1B - 2B2 - … pBp (p,q) = ordine del modello. Zt = [(B)/ (B)] at (B) Zt = (B) at Zt - 1 Zt-1 - … p Zt-p = at - 1at-1 - … qat-q