Rischio, incertezza e mercati finanziari Rank Dependent Theory Rischio, incertezza e mercati finanziari

Sensibilità alle probabilità versus sensibilità agli outcomes (risultati) Nella EU rappresentiamo l’avversione al rischio con la sensibilità alla moneta, infatti un individuo avverso al rischio ha una funzione di utilità con utilità marginale decrescente. Gli psicologi (Lopes 1987) sostengono che l’avversione al rischio deve essere rappresentata prendendo in considerazione la sensibilità alle probabilità.

Funzione di distribuzione decumulativa di un prospetto Consideriamo un prospetto con n risultati monetari e n probabilità: p1 x1…pn xn E supponiamo che gli outcomes siano ordinati in modo che x1 > x2 > x3 ….> xn riportando su un grafico gli outcomes sull’asse delle ordinate e le probabilità sull’asse delle ascisse (grafico 5.2.1), se questo grafico viene roteato come in 5.2.2.a e poi girato otteniamo il grafico 5.2.2.b che rappresenta la funzione di distribuzione decumulativa del prospetto. L’area sottostante gli istogrammi rappresenta il V.A. del prospetto, se a x sostituiamo u(x), l’area sottostante gli istogrammi rappresenta la U.A.. Se vogliamo considerare la sensibilità alle probabilità dovremmo pesare le probabilità. .

Funzione che pesava la probabilità usata dagli psicologi 𝑘=1 𝑛 𝑤 𝑝 ∗𝑥 Il problema di questa funzione era che violava l’assioma di dominanza stocastica

Condizione di Dominanza Stocastica Un prospetto rischioso x domina stocasticamente un altro prospetto rischioso y, se x può essere ottenuto da y attraverso uno spostamento di probabilità dall’outcome peggiore a quello migliore

Assumiamo che w(p) è diverso da p (figura 5. 2 Assumiamo che w(p) è diverso da p (figura 5.2.4) quindi w(p) non è una funzione lineare. Quindi: W(p1+p2)≠W(p1)+ W(p2) e consideriamo il caso in cui W(p1+p2)>W(p1)+ W(p2) Vedi fig. 5.3.1. dato che W(p1+p2)>W(p1)+ W(p2) Il prospetto con x1=x2 sarebbe valutato di più di quello dove x1>x2 !!!!! Utilizzare una funzione come la seguente 𝑘=1 𝑛 𝑤 𝑝 𝑈(𝑥) non ha risolto il problema (Prima versione della ProspectTheory)

Rank Supponete di dover estrarre una carta da un pacco di 100 carte numerate, nel seguente prospetto la probabilità di ricevere un outcome > x è il suo rank (o good news probability), se x=20 il rank è 3/5 carte 1-20 21-40 41-60 61-80 81-100 risultati 80 60 40 20

Utilità attesa: possiamo esprimere i pesi come differenza tra due rank Consideriamo il seguente prospetto rischioso (1/6,€80; ½,€30; 1/3,€20) Nella teoria dell’utilità attesa (UA) il peso dell’utilità di un outcome può essere espresso come la differenza tra 2 rank: UA=1/6*U(80)+[(1/2+1/6)-1/6]*U(30)+ )+[(1/2+1/6+1/3)- (1/2+1/6)]U(20)

Rank Dependent Utility Theory Nella Rank Dependent Utility il peso dell’utilità è la differenza tra due rank trasformati (pesati) con la funzione w «probability weighting function» Il primo rank trasformato è la probabilità di ricevere l’outcome (es. 20) o ogni outcome migliore; il secondo rank trasformato è la probabilità di ricevere ogni rank migliore. Questo peso si chiama peso decisionale

Rank Dependent Utility Theory(RDUT) La differenza fondamentale con la teoria dell’Utilità Attesa è che nella Rank Dependent il valore (utilità attesa) del prospetto rischioso non è lineare rispetto alle probabilità. Questo proprio perchè si usano dei pesi diversi dalle probabilità

La funzione di ponderazione delle probabiltà (w(p)) deve soddisfare le seguenti proprietà: W(1)=1 il peso dell’evento certo è 1 W(0)=0 il peso dell’evento impossibile è zero Deve essere strettamente crescente per non violare la dominanza stocastica.

Proprietà dei pesi decisionali Dipendono dalla funzione di ponderazione della probabilità e dal ranking dell’evento (che coincide con la funzione cumulata di probabilità) La somma di tutti i pesi decisionali deve essere =1 Il peso dell’evento migliore x1 (indicato con il pedice 1) coincide con la funzione di ponderazione π1 =w(p1 ) per quell’evento.

Il peso dell secondo evento x2 si ottiene partendo da π2 + π1 =w(p1 + p2 ) Sostituendo π1 =w(p1 ) si ha: π2 = w(p1 + p2 )- w(p1 ) Generalizzando si ha Πj= 𝑖=1 𝑗 𝑤(𝑝𝑖) − 𝑖=1 𝑗−1 𝑤(𝑝𝑖 )

Utilità attesa nella RDEU 𝑖=1 𝑛 π 𝑖 U( x 𝑖 ) Gli outcome vengono ordinati in ordine decrescente associando a ciascuno il peso decisionale ( vedi fig.5.5.3 e 5.5.4.) Il peso decisionale di un outcome è il contributo marginale della probabilità relativa a quel outcome al suo rank, e quindi è la differenza tra due pesi di due rank