Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo Disequazioni Metodi di risoluzione Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo

Cosa rappresentano sul piano cartesiano le seguenti espressioni? x = o y = o x > o y > o x < o y < o x  o y  o x  o y  o

Tutti i punti del piano con ascissa = 0 x = o Equazione asse y Tutti i punti del piano con ascissa = 0

Tutti i punti del piano con ordinata = 0 y = o Equazione asse x Tutti i punti del piano con ordinata = 0

x > o Semipiano con ascisse positive (esclusi i punti sull’asse y) Tutti i punti del piano con ascissa > 0

x  o Semipiano con ascisse positive o nulle (compresi i punti sull’asse y) Tutti i punti del piano con ascissa  0

y > o Semipiano con ordinate positive (esclusi i punti sull’asse x) Tutti i punti del piano con ordinata > 0

y  o Semipiano con ordinate positive o nulle (inclusi i punti sull’asse x) Tutti i punti del piano con ordinata  0

x  o Semipiano con ascisse negative o nulle compresi i punti sull’asse y) Tutti i punti del piano con ascissa  0

y < o Semipiano con ordinate negative (esclusi i punti sull’asse x) Tutti i punti del piano con ordinata < 0

y  o Semipiano con ordinate negative o nulle (compresi i punti sull’asse x) Tutti i punti del piano con ordinata  0

x < o Basta!! Semipiano con ascisse negative (esclusi i punti sull’asse y) Tutti i punti del piano con ascissa < 0

y  x Semipiano al di sotto della bisettrice del 1° e 2° quadrante (compresi i punti della bisettrice y=x) Tutti i punti del piano con ordinata  all’ascissa

Soluzione di un equazione 2x + 4 = 0 x²-5x+6 = 0 Un numero (o un’espressione letterale) è soluzione di un’equazione se, sostituito all’incognita x, trasforma l’equazione in una uguaglianza vera. Risolvere un’equazione corrisponde alla risoluzione di un sistema:  y = x²-5x+6 y = 0  y = 2x+4 y = 0

Soluzione di un’equazione Per la legge di annullamento del prodotto x²-5x+6=0 (x-2)(x-3)=0 Per la legge di annullamento del prodotto  y = x²-5x+6 y = 0 y=2x-4 S=2;3 y=x²-5x+6 2x+4=0  y = 2x+4 y = 0 y=0 S=-2

 2x+4>0 2x > -4 4 x > - 2 x > -2 y = 2x+4 y > 0 Soluzione di una disequazione Notare il cerchietto vuoto che indica l’esclusione del punto estremo. 2x > -4 4 2 x > - x > -2  y = 2x+4 y > 0 S={xR|x > -2} (-2; + ) 8

 2x-5  0 2x  5 5 x  2 S={xR|x  5/2} y = 2x-5 S: [5/2; + ) y  0 Soluzione di una disequazione Notare il cerchietto pieno che indica l’inclusione del punto estremo. 2x-5  0 2x  5 5 2 x  S={xR|x  5/2}  y = 2x-5 y  0 S: [5/2; + ) 8

Sistemi di disequazioni 5 2 x   2x-5  0 x-6 < 0 x < 6 y=2x-5 La fascia evidenzia le porzioni di rette che corrispondono contemporaneamente ai valori di verità indicati dalle disequazioni y=x-6 La soluzione del sistema, se esiste, è l’insieme dei valori della x che rende contemporaneamente vere le due disequazioni soluzione del sistema S={xR |  x< 6} 5 2 oppure [ ; 6 ) 5 2

Sistemi di disequazioni 5 2 x   2x-5  0 x-6 < 0 x < 6 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 5 2 Il sistema può essere risolto in modo molto semplice rappresentando sulla linea dei numeri reali le due soluzioni e considerando l’intersezione F V x>5/2 V V x < 6 V F L’area campita in giallo indica la parte comune delle soluzioni delle due disequazioni ovvero l’insieme dei valori della x che rende le due disequazioni due disuguaglianze contemporaneamente vere; la soluzione del sistema è: oppure S={xR |  x < 6} 5 2 [ ; 6 ) 5 2

Sistemi di disequazioni Il sistema non ha soluzione: è impossibile 5 2 x   2x-5  0 x+1 < 0 x < -1 y=x+1 y=2x-5 In questo caso le soluzioni delle due disequazioni non hanno sovrapposizioni per cui la loro intersezione è l’insieme vuoto. Il sistema non ha soluzione: è impossibile

Disequazioni di grado superiore al primo riconducibili a fattori di primo grado Consideriamo la seguente espressione: F3 E’ costituita da quattro fattori di cui due di secondo grado. F2 Il fattore F4 è un prodotto notevole scomponibile in (1+x)(1-x) mentre il fattore F3 non è scomponibile; scomponendo F4 l’espressione diventa: Il segno dell’espressione dipende quindi dal prodotto dei segni di cinque fattori

Consideriamo ora la disequazione: Per risolverla, cerchiamo in quale intervallo ciascun fattore risulta  0 (oppure>0 se nel testo non c’è l’uguale) N1 x  2 N2 x  -1 numeratore N3 x  1 Questi fattori non vanno posti =0 perchè si trovano a denominatore D1 x>0 denomi na t o r e D2 x

In ciascun intervallo determiniamo il prodotto dei segni. Tracciamo un diagramma evidenziando con linea continua gli intervalli dell’insieme dei numeri reali in cui ciascun fattore è positivo e con linea discontinua il resto. Gli estremi (capisaldi) saranno indicati con un cerchietto pieno se inclusi, vuoto se esclusi. In ciascun intervallo determiniamo il prodotto dei segni. x 2 1 -1 N1 x  2 N2 x  -1 N3 x  1 D1 x>0 D2 x - - - + +

La nostra soluzione è quindi: Se la disequazione richiede che l’espressione sia  0, come in questo caso, prendiamo gli intervalli positivi inclusi i capisaldi con pallino pieno. La nostra soluzione è quindi: N1 N2 D1 D2 x  2 x  -1 x x>0 N3 x  1 x 2 1 -1 - + S=xR-1x<0 V 1x2 S: [-1;0)  [1;2]

La disequazione fratta che Abbiamo risolto corrisponde al seguente sistema: Proviamo a rappresentare graficamente la relazione y=f(x) e determiniamo la soluzione (x-2)(1-x²) x(x²+2) y 0 y= S=xR-1x<0 V 1x2

In questo caso la soluzione è: Se la disequazione richiede che l’espressione sia < 0, prendiamo gli intervalli negativi esclusi gli estremi. In questo caso la soluzione è: N1 N2 D1 D2 x > 2 x > -1 x x>0 N3 x < 1 x 2 1 -1 - + S=xRx<-1 V 0<x<1 V x>2 S: (-;-1)  (0;1)  (2;+)

Disequazioni con moduli Il modulo o valore assoluto di un numero reale x è definito come… |9| = 9 x se x0 |x| = -x se x<0 |-9| = 9

Disequazioni con moduli Il modulo o valore assoluto di una espressione è uguale all’argomento se l’argomento è  0, opposto dell’argomento se l’argomento è < 0 |x-5| = x-5 se x-5 0 |4| = 4 se x=9: |-9|= -(-9)=9 se x=-4: |x-5| = -(x-5) se x-5<0

    x-5  0 x-5 < 2 x  5 x < 7 x-5 < 0 -(x-5) < 2 Disequazioni con moduli La soluzione di una disequazione contenente moduli corrisponde alla soluzione di due sistemi che contemplano i due casi: per esempio se: |x-5| < 2 Si considerano i due sistemi seguenti:  x-5  0 x-5 < 2  x  5 x < 7 S1: 5 x <7 S2: 3< x <5 La soluzione è l’unione delle due:  x-5 < 0 -(x-5) < 2  x < 5 x > 3 3 < x < 7

3 < x < 7 3 7 y=|x-5|-2 y <0 y=|x-5|-2 y <0 Se nella disequazione |x-5|<2 portiamo tutti i termini al primo membro, la disequazione diventa |x-5|-2<0. La disequazione corrisponde al seguente sistema: y=|x-5|-2 y <0 3 < x < 7 3 7 Rappresentiamo la disequazione y=|x-5|-2 sul piano cartesiano e cerchiamo di individuare i punti della linea che ricadono nel semipiano y<0: La parte della linea che ricade al di sotto dell’asse x è compresa tra 3 e 7, estremi esclusi

    2x-3  0 2x-3  5 x  3/2 x  4 x  4 2x-3 < 0 -(2x-3)  5 Disequazioni con moduli consideriamo i due sistemi: altro esempio: |2x-3|  5  2x-3  0 2x-3  5  x  3/2 x  4 x  4  2x-3 < 0 -(2x-3)  5  x < 3/2 -2x  2 x -1 La soluzione è l’unione delle due soluzioni parziali: (-;-1]  [4;+) | 4 -1 - + Sulla linea dei numeri:

Disequazioni letterali consideriamo la disequazione letterale: a(x-3)  2 Per risolverla, non conoscendo il valore e il segno di a, occorre considerare tutti i casi possibili. Non ci sono regole precise ma si deve operare con il criterio più opportuno, caso per caso a(x-3)  2 ax-3a  2 ax  3a+2 Prima di dividere per a, dobbiamo valutare cosa succede se a=0, a<0 oppure a>0

ax  3a+2 se a=0 0x30+2 0  + 2 Disequazioni letterali Per a=0, la disequazione risulta evidentemente impossibile. Se invece di  il verso della disequazione fosse  oppure < la disequazione sarebbe verificata per ogni x reale.

Disequazioni letterali ax  3a+2 se a>0 3a+2 a x  se a<0 3a+2 a x  Se a<0 ricordiamo che dividendo per un numero negativo la disequazione cambia verso.

y=ax-3a-2 y 0 3a+2 a 3a+2 a Disequazioni letterali a=-3 a=-2 a=3 a=2 La disequazione ax3a+2 corrisponde al seguente sistema: a=1 3a+2 a a<0: x  3a+2 a a>0: x  a=0: impossibile y=ax-3a-2 y 0 Proviamo a rappresentare sul piano cartesiano la retta y=ax-3a-2 al variare di a.

(x-a)  0 (x²+ax) (x - a)  0 x(x+a) se a=0  0 x x² x>0 R Disequazioni letterali (x-a) (x²+ax)  0 consideriamo la disequazione letterale fratta: Possiamo esplicitare la x al denominatore e risolverla come una comune disequazione fratta (x - a) x(x+a)  0 Consideriamo i tre casi a=0, a<0 oppure a>0 se a=0 x x²  0 è verificata x>0 R

 0 x a=0 x² y= x x² y 0 x>0 R Equivale al sistema la soluzione è

Consideriamo ora il caso in cui a>0 oppure a<0: (x - a) x(x+a)  0 In entrambi i casi, cerchiamo in quale intervallo ciascun fattore risulta  0 N1 x-a 0 x  a numeratore D1 x>0 x > 0 Ricordiamo che i fattori a denominatore non vanno posti =0 denomi na t o r e D2 x+a>0 x > -a

S=xR-a<x<0 V xa Se a>0 nella linea dei numeri reali è a destra dello zero e –a è a sinistra (x - a) x(x+a)  0 Ricerchiamo con il metodo grafico gli intervalli in cui il prodotto dei fattori è  0: x a -a N1 x  a D1 x>0 D2 x>- a - - + + Se a>0 la soluzione è ovvero S=xR-a<x<0 V xa S: (-a;0)  [a;+)

S=xRax<0 V x>-a Se a<0 nella linea dei numeri reali è a sinistra dello zero e –a è a destra (x - a) x(x+a)  0 Ricerchiamo con il metodo grafico gli intervalli in cui il prodotto dei fattori è  0: x -a a N1 x  a D1 x>0 D2 x>- a - - + + Se a<0 la soluzione è ovvero S=xRax<0 V x>-a S: [a;0)  (-a;+)

Sintetizziamo le diverse soluzioni (x - a) x(x+a)  0 S=xR x>0 se a=0 S: (0;+) S=xR-a<x<0 V xa S: (-a;0)[a;+) se a>0 se a<0 S=xRax<0 V x>-a S: [a;0)(-a;+) Abbiamo già visto la soluzione grafica per a=0; vediamo ora la soluzione grafica al variare di a0

S=xR-a<x<0 V xa x(x+a)  0 a = 2>0 asintoto verticale _ + -2 2 S: (-a;0)[a;+) S=xR-a<x<0 V xa

S=xRax<0 V x>-a x(x+a)  0 a = -3<0 asintoto verticale -3 3 + _ S=xRax<0 V x>-a S: [a;0)(-a;+)

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