Corso di Fisica - Fluidi (2) Prof. Massimo Masera Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Anno Accademico 2011-2012 dalle lezioni del prof. Roberto Cirio Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia

La lezione di oggi I fluidi reali La viscosità Flussi laminare e turbolento La resistenza idrodinamica

La lezione di oggi Forze di trascinamento nei fluidi La legge di Stokes La centrifuga

Viscosità Flusso laminare Flusso turbolento Resistenza idrodinamica La legge di Stokes La centrifuga

Definizione operativa di viscosità Domanda: come faccio a tener conto dell’attrito tra le molecole di un fluido? Dy Esperimento Lastra in moto con velocità v Fluido viscoso (magari miele…) Lastra fissata a terra di area A

hsangue/ hacqua e hplasma/ hacqua rimangono ~ costanti tra 0o e 37o La viscosità h è la viscosità Si misura in Pa.s (pascal x secondo) poise (P) = 0.1 Pa.s (è una unità c.g.s .....) DIMENSIONALMENTE Temperatura oC Olio di ricino (!) Acqua Aria Sangue Plasma 20 0.986 1.005 x 10-3 1.81 x 10-5 3.015 x 10-3 1.810 x 10-3 37 - 0.695 x 10-3 1.87 x 10-5 2.084 x 10-3 1.257 x 10-3 Nota: hsangue/ hacqua e hplasma/ hacqua rimangono ~ costanti tra 0o e 37o

Viscosità Flusso laminare Flusso turbolento Resistenza idrodinamica La legge di Stokes La centrifuga

Un fluido ideale scorre in un condotto Pareti del condotto In ogni punto, i vettori velocità hanno modulo uguale Tutte le molecole viaggiano alla stessa velocità

Un fluido reale scorre in un condotto Pareti del condotto In ogni punto, i vettori velocità hanno modulo diverso Le molecole viaggiano a velocità diverse: Vicino alle pareti sono ferme Vicino al centro del tubo sono veloci

Il flusso laminare Il fluido è reale Non ci sono turbolenze (vedi dopo)

Il flusso laminare Se la velocità al centro è vmax , si trova che la vmedia = 0.5 vmax PORTATA Q = Avmedia = 0.5Avmax dove A è l’area della sezione del condotto

Caduta di pressione dovuta alla viscosità Fluido non viscoso Fluido viscoso Tubo orizzontale Fluido viscoso Lavoro per vincere le forze di viscosità  l’energia meccanica non si conserva Caduta di pressione

Legge di Hagen-Poiseuille Caduta di pressione dovuta alla viscosità in un tubo cilindrico orizzontale Legge di Hagen-Poiseuille

Velocità media e massima del sangue Esercizio Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il sangue scorre con una portata di 1.0 cm3/s. Si trovi: Velocità media e massima del sangue Condizioni al contorno

La caduta di pressione in un tratto lungo 10 cm Esercizio Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il sangue scorre con una portata di 1.0 cm3/s. Si trovi: La caduta di pressione in un tratto lungo 10 cm Condizioni a contorno

La potenza necessaria a mantenere la portata Esercizio Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il sangue scorre con una portata di 1 cm3/s. Si trovi: La potenza necessaria a mantenere la portata

Viscosità Flusso laminare Flusso turbolento Resistenza idrodinamica La legge di Stokes La centrifuga

Il flusso turbolento Dissipazione di energia meccanica (maggiore rispetto al caso del flusso laminare)

Il numero di Reynolds I vortici dissipano energia meccanica La legge di Hagen-Poiseuille non è più valida E’ il dominio della fisica non - lineare Uso regole empiriche Definisco il Numero di Reynolds (NR) Nel caso di un tubo di flusso di raggio R, NR vale: Di questo argomento siamo rimaste d’accordo che si sarebbe occupata Lei .. Per sistemare meglio il discorso .. Sperimentalmente si trova che: NR < 2000: flusso laminare 2000 < NR < 3000: flusso instabile (può cambiare da laminare  turbolento NR > 3000: flusso turbolento esperimento: rubinetto dell’acqua

Il flusso è quindi laminare Esercizio Nella grande arteria di un cane, il raggio è 4.0x10-3 m, la velocità media del sangue 1.99x10-2 ms-1 e la viscosità h = 2.084x10-3 Pa.s. La densità è r = 1.06x103 kg.m-3. Trovare il numero di Reynolds e stabilire se il flusso sia o meno laminare. Il flusso è quindi laminare

Viscosità Flusso laminare Flusso turbolento Resistenza idrodinamica La legge di Stokes La centrifuga

La resistenza idrodinamica Fluido viscoso Condotto con pareti rigide Se voglio una portata Q devo applicare una DP Definisco Resistenza di un condotto: Unità di misura Pa.s.m-3 se utilizzo Poiseuille: Si parla di grandezze non ancora introdotte (resistenza elettrica, differenza di potenziale, corrente)! Forse sarebbe più opportuno al massimo riprendere questa osservazione dopo aver fatto l’elettromagnetismo… Analoga alla resistenza elettrica (legge di Ohm): DP analoga a DV (differenza di potenziale) Q analoga alla i (corrente)

Esercizio (parte I) Nell’aorta umana di raggio interno ra = 1 cm, la portata del sangue è Q = 5 l/min. La viscosità del sangue è h = 4.75.10-3 Pa.s. Se vi sono 5.109 capillari nel letto vascolare dell’aorta, e ciascuno di essi ha un raggio interno di rc = 4 mm, determinare: La velocità media del sangue nell’aorta La velocità massima del sangue nell’aorta La velocità media del sangue nei capillari Se l’esercizio (già presente nelle trasparenze del prof.Cirio) fosse tropo lungo potrei svolgerlo nel corso dell’esercitazione…

Domanda 1 La velocità media del sangue nell’aorta Esercizio Domanda 1 La velocità media del sangue nell’aorta Domanda 2 La velocità massima del sangue nell’aorta

Esercizio Domanda 3 L’area dei capillari si ottiene moltiplicando l’area di 1 capillare per l’area del singolo capillare La portata è costante per l’equazione di continuità

Esercizio (parte II) Nell’aorta umana di raggio interno ra = 1 cm, la portata del sangue è Q = 5 l/min. La viscosità del sangue è h = 4.75.10-3 Pa.s. Se vi sono 5.109 capillari nel letto vascolare dell’aorta, e ciascuno di essi ha un raggio interno di rc = 4 mm, determinare: La perdita di carico (DP/l) nell’aorta La perdita di carico media dei capillari nel letto vascolare dell’aorta La resistenza idrodinamica per unità di lunghezza nell’aorta La resistenza idrodinamica media per unità di lunghezza in ciascun capillare Se l’esercizio (già presente nelle trasparenze del prof.Cirio) fosse tropo lungo potrei svolgerlo nel corso dell’esercitazione…

Domanda 4 Applico Poiseuille per calcolare la DP/l nell’aorta Esercizio Domanda 4 Applico Poiseuille per calcolare la DP/l nell’aorta

Esercizio Domanda 5 Applico Poiseuille per calcolare la DP/l nei capillari, sapendo che la portata in ciascun capillare è data da

Domanda 6 Applico Poiseuille per calcolare la r/l nell’aorta Esercizio Domanda 6 Applico Poiseuille per calcolare la r/l nell’aorta

Esercizio Domanda 7 Applico Poiseuille per calcolare la r/l, usando il raggio del capillare e usando Poiseuille

Riassumendo fin qui… Nei fluidi reali l’attrito tra le molecole causa dissipazione dell’energia meccanica che è maggiore quando si instaurano fenomeni di turbolenza

Viscosità Flusso laminare Flusso turbolento Resistenza idrodinamica La legge di Stokes La centrifuga

La legge di Stokes Un oggetto è immerso in un fluido viscoso, inizialmente in quiete. Se su di esso agisce una forza F, l’oggetto accelera. Per effetto della viscosità,sull’oggetto inizia ad agire una forza di attrito viscoso FA La velocità cresce e con essa cresce la forza di attrito viscoso La velocità raggiunge un valore limite (e rimane costante) quando la forza di attrito viscoso eguaglia la forza esterna.

ha forma sferica e raggio R La legge di Stokes Quando la particella ha forma sferica e raggio R

Viscosità Flusso laminare Flusso turbolento Resistenza idrodinamica La legge di Stokes La centrifuga

Verso la centrifuga... Qual è la velocità massima (ovvero la velocità limite, vT) per una piccola sfera di raggio R, densità r che cade in un fluido di viscosità h e densità ro ? Fd A w y Velocità limite  Moto rettilineo uniforme  Accelerazione = 0  Risultante delle forze 0  Velocità limite

Esercizio Un globulo rosso del sangue può essere approssimato a una sfera di raggio 2.0 mm e densità 1.3.103 kg m-3. Quanto tempo ci vuole per ottenere un sedimento di 1.0 cm: Sotto l’azione dell’accelerazione di gravità della terra ? Condizioni a contorno R = 2.0 mm = 2.0.10 -6 m S = 1.0 cm = 1.0.10-2 m a = 9.81 m s-2 Tempo di sedimentazione

La centrifuga Velocità limite Moto rettilineo uniforme Grandi accelerazioni Velocità della molecola dipende da: forza di trascinamento viscoso massa della molecola m fattore geometrico fR della molecola (per la sfera f=6p)* densità della molecola r e del mezzo r0 velocità angolare della centrifuga w  accelerazione centripeta a = w2 r (a>>g) Velocità limite Moto rettilineo uniforme Spessore del sedimento x = vs  tcentrifugazione dimostrate la relazione *

Sfera: fattore geometrico Per una sfera

Esercizio Un globulo rosso del sangue può essere approssimato a una sfera di raggio 2.0 mm e densità 1.3.103 kg m-3. Quanto tempo ci vuole per ottenere un sedimento di 1.0 cm: In una centrifuga con accelerazione uguale a 1.0.105g ? R = 2.0.10 -6 m S = 1.0 cm = 1.0.10-2 m a = 9.81.105 m s-2 Condizioni a contorno Tempo di sedimentazione

Con la legge di Stokes spieghiamo il funzionamento della centrifuga Riassumendo Con la legge di Stokes spieghiamo il funzionamento della centrifuga Prossima lezione: I fenomeni molecolari

Esercizio A un paziente viene fatta un’iniezione con un ago ipodermico lungo 3.2 cm e di diametro 0.28 mm. Assumendo che la soluzione iniettata abbia la stessa densità e viscosità dell’acqua a 20 oC, trovare la differenza di pressione necessaria per iniettare la soluzione a 1.5 g/s Ultimo esercizio.. Non inserito necessariamente perché faccia parte della lezione, nel caso risultasse già troppo lunga…

Esercizio A un paziente viene fatta un’iniezione con un ago ipodermico lungo 3.2 cm e di diametro 0.28 mm. Assumendo che la soluzione iniettata abbia la stessa densità e viscosità dell’acqua a 20 oC, trovate la differenza di pressione necessaria per iniettare la soluzione a 1.5 g/s Quale sarà la forza esercitata sullo stantuffo?