Progetto lauree scientifiche Unità 4 numeri complessi e poligoni regolari A cura di Maurizio Dini e Paola Gario Dipartimento di Matematica “F. Enriques” Università degli Studi di Milano
Cerchiamo i numeri complessi L’equazione zn = 1 Quante soluzioni ha l’equazione z4 = 1? Cerchiamo i numeri complessi a = (cos + i sen ) tali che 4 = 1 in R ne ha 2 ma in C ne ha addirittura 4! Quattro??? ma chi crede di essere costui? sono Gauss, il Principe della matematica!
Le soluzioni dell’equazione z4 = 1 4 = 1 , in forma trigonometrica, si scrive 4 (cos 4 + i sen 4) = 1(cos 0 + i sen 0) due numeri complessi sono uguali se hanno... ...stessi modulo e argomento! e quindi: = 1 e 4 = 0 + 2k cioè = 1 e = (k/2) Facendo variare k , si otterranno coppie ( , ) che daranno le soluzioni dell’equazione
le soluzioni dell’equazione z4 = 1 Inseriamo i dati ottenuti in una tabella k r q = (k/2)p Uk(a,b) U1 U5 U0(1,0) 1 U1(0,i) p/2 1 U2(-1,0) p 1 2 U2 U4 U0 U3(0,-i) 3/2p 1 3 U4(1,0) 0 + 2p 1 4 U5(0,i) p/2 + 2p 1 5 U3 ...
Le 5 soluzioni dell’equazione z5 = 1 In questo caso abbiamo una sola soluzione reale! a1 72° a2 a0 a3 a4
Le radici n-esime dell’unità ovvero le n soluzioni dell’equazione zn = 1 ovvero le n radici del polinomio zn - 1 Questo l’ho fatto io! si trovano sulla circonferenza unitaria e la dividono in n archi uguali. Bingo! Dunque sono i vertici di un n-gono regolare inscritto nella circonferenza unitaria.
radici dell’unità e poligoni regolari OK Gauss, le tue radici dell’unità sono i vertici di un poligono regolare. Ma il MIO PROBLEMA è: costruire i vertici con R&C !!!! Il MIO metodo può funzionare a meraviglia! Utilizziamo il metodo delle “radici dell’unità” per costruire con R&C il pentagono regolare
radici dell’unità e costruzioni con R&C Per costruire con R&C il punto sulla circonferenza unitaria che rappresenta il numero complesso = cos + i sen costruiremo il punto H, sua proiezione sull’asse reale, ovvero il segmento OH, essendo OH = cos . Vi sarà utile ricordare che: Figura
Radici quinte dell’unità e costruzione del pentagono regolare 72° In questo caso, è n= 5 e H Si vuole costruire il punto sulla circonferenza unitaria che corrisponde alla radice A tale scopo costruiamo il punto H, sua proiezione sull’asse reale, cioè costruiamo il segmento:
L’equazione z5 = 1 della divisione del cerchio 0 = 1 è l’unica soluzione reale dell’equazione z5 - 1 = 0 che, dunque, si scompone in: a0 a2 a3 a4 a1 72° 1 è un’altra soluzione che soddisfa la condizione: Ora tocca a voi! Inoltre sappiamo che:
dal numero alla costruzione Per concludere, si tratterà di costruire il punto H tale che: Avete ottenuto il numero che dà il vertice U1 del pentagono: Se avessi fatto i compiti questo numero l’avrei già costruito! il numero ottenuto è costruibile con R&C!
... la parola a Gauss TEOREMA del Principe della Matematica (“Disquisitiones Arithmetices” del 1801) Sia p un numero primo diverso da 2. Il p-gono regolare è costruibile con R&C se e solo se p è un numero (primo) della forma: 22k + 1 Invece il ph -gono regolare (h > 1), può essere costruito con R&C, se e solo se: p = 2
numeri primi e poligoni regolari I numeri primi della forma 22k + 1 si chiamano “primi di Fermat” 220 + 1= 3 221 + 1= 5 222 + 1= 17 223 + 1= 257 sono primi Infatti 225 + 1 non è primo perché è divisibile per 641…. Li ho inventati io! Credevo che fossero tutti primi ma Eulero... mi ha smentito! Altri primi di Fermat non ne sono stati trovati ... per ora ...
la questione non è del tutto risolta! Quali sono i poligoni regolari, in particolare i poligoni con un numero primo di lati, che si possono costruire con R&C? Bel Principe della matematica dei miei stivali! Volevo una risposta conclusiva alla domanda...! ... provate voi a fare di meglio! ... e Gauss ti ha risposto tirando in ballo i miei primi 22k + 1 di cui si sa ben poco!
una lunga storia non ancora conclusa Euclide (circa 300 a. C.) Cartesio (1596-1650) Fermat (1601-1665) Eulero (1707-1783) Gauss (1777-1855) nel 1990 usando 1000 computer, F9 = 229 + 1 è stato completamente fattorizzato e la storia continua ...