LA FISICA DELLA CIRCOLAZIONE Il FLUIDO. LA POMPA. IL CIRCUITO.

LA FISICA DELLA CIRCOLAZIONE IL FLUIDO: Ci occuperemo di studiare un particolare LIQUIDO detto SANGUE. Partendo dalla descrizione fisica del liquido in condizioni di riposo (FLUIDOSTATICA) e di movimento (FLUIDODINAMICA), vedremo come esso abbia ‘strane’ proprietà VISCOSE.

Discutiamo…. Pressione?

PRESSIONE P=F/S STATICA I liquidi possiedono VOLUME ma non FORMA propria: sono perciò normalmente CONFINATI in un recipiente. Lungo la superficie di contatto S il liquido risponde alla forza F con cui viene tenuto confinato con una REAZIONE uguale e opposta: si dice che esercita una PRESSIONE P=F/S In condizioni statiche e in assenza di altre forze, la pressione è omogenea e assume lo stesso valore in ogni punto del liquido.

Sulla superficie terrestre il campo gravitazionale è responsabile del ‘peso’ degli oggetti: come influenza la pressione idrostatica? z F=(p(z+dz)- p(z))S z + dz All’equilibrio deve essere: P=mg=dVg P(z+dz)-p(z)= d V g /S= d dz g Dunque alla profondità z: p(z)=patm + d z g

Questa legge (nota come legge di Stevino) spiega perché è consuetudine misurare le pressioni tramite ‘altezze’ di fluidi: cmH2O, mmHg,… p= d g h 1 cmH2O= 103 kg/m3 10 m/s2 10-2 m= = 100 Pa 1 mmHg= 13.3 103 kg/m3 10 m/s2 10-3 m= =133 Pa È una F/S: nel SI si misura in N/m2 = pascal (Pa)

La pressione IDROSTATICA gioca un ruolo non trascurabile anche nei sistemi biologici: Se assumiamo che la densità del sangue sia pari all’acqua: p capo= 100 mmHg- 103 10 0.5 /133= 63 mmHg p piedi= 100 mmHg+ 103 10 1.2 /133= 190 mmHg 0.5 m Pc= 100 mmHg 1.2 m

Diamo i numeri…… Con un violento atto inspiratorio, cioè succhiando con forza, si può ridurre la pressione relativa nei polmoni fino a -40 mmHg. Calcolare l’altezza massima da cui si può succhiare con una cannuccia acqua (d=103 kg/m3) oppure gin (d=0.92 103 kg/m3) (0.55; 0.6 m)

Diamo i numeri….. Durante una trasfusione di sangue intero, l’ago è inserito in una vena dove la pressione è di 15 mmHg. A quale altezza rispetto alla vena deve essere posta la sacca? (0.2 m)

FLUIDODINAMICA In generale la descrizione del movimento di un fluido è molto complicata: occorre definire un CAMPO VETTORIALE di VELOCITA’ che ad ogni punto (x,y,z) e ad ogni istante t associa un vettore v tangente alla direzione di movimento del fluido. Noi considereremo per semplicità moti STAZIONARI (che cioè non variano nel tempo) e in cui tutte le particelle si muovono nella medesima direzione lungo l’asse di un tubo.

Discutiamo... Portata?

La grandezza che descrive il moto del fluido è la PORTATA: Q=V/t cioè il rapporto tra il volume di fluido che attraversa una superficie S del condotto nel tempo t e il tempo t. Poiché nel caso di un condotto rigido cilindrico V = S l Q = S l/t = S v Se non esistono ‘perdite’ o sorgenti lungo il condotto, la portata Q resta costante.

v1 S1= v2 S2 v1 = v2 S1 S2 Se S2 < S1 v2 > v1 S2 S1

In molte circostanze si può considerare il liquido come ‘perfetto’ o inviscido, ossia si possono trascurare gli attriti con le pareti e tra le molecole stesse. Applicando il PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ ENERGIA MECCANICA ad un volumetto di fluido di volume unitario: p2 h2 p1 h1 Lavoro delle forze di pressione + energia cinetica + energia potenziale = COSTANTE

V unitario! L = F x = p S x = p V = p NB! Ec = m v2/2 = d V v2 /2 = d v2 /2 E p = m g h = d V g h = d g h dunque: p + d v2 /2 + d g h = COST è nota come legge di Bernouilli.

Esempio n. 1: STENOSI E ANEURISMA Se S2 = 0.5 S1 v2 = 2 v1 v22= 4 v12 p1 + d v12/2 = p2 + d v22/2 p2 = p1 - 3 d v12/2 la pressione nella stenosi diminuisce! S2 S1

Es. n. 2 : inserzione di cateteri Direzione del flusso Misura la pressione idrostatica p Misura la pressione ‘cinetica’ p - d v2/2 Misura la pressione ‘cinetica’ p + d v2/2

Diamo i numeri….. In un individuo a riposo la velocità media del sangue attraverso l’aorta è pari a 0.33 m/s. Qual è la portata sanguigna, se il raggio dell’aorta è di 9 mm? (5 l/min)

Diamo i numeri…. Con i dati precedenti ricavare la relazione che lega la pressione sanguigna nel ventricolo sinistro e la pressione nel primo tratto dell’aorta durante la sistole

Diamo i numeri….. Un’arteria di raggio r=2.5 mm è parzialmente ostruita da una placca, per modo che il suo raggio effettivo in quel punto vale 1.8 mm e la velocità del sangue è di 50 cm/s. Calcolare la velocità media del sangue dove l’arteria non è ostruita.

Discutiamo…. Viscosità?

La definizione più intuitiva è quella data da Newton: “una mancanza di scorrevolezza tra strati adiacenti di un fluido che si muovono con velocità diversa” Si tratta di una forma di ATTRITO con le pareti e tra gli strati del fluido stesso, che determina una dissipazione di energia, che si manifesta sotto forma di caduta di pressione proporzionale alla portata (esattamente come un filo percorso da corrente registra una diminuzione di potenziale elettrico proporzionale all’intensità di corrente.

Anche in questo caso si parla di RESISTENZA: R = Pin - P fin / Q in piena analogia conla prima legge di Ohm: R = Vin - V fin / I

approfondimento I liquidi reali presentano il fenomeno della viscosità, legato alla presenza di attriti di scivolamento tra i filetti fluidi. Analogia meccanica: F F/S = Y x/z x z Nel caso che la medesima sollecitazione dia applicata ad un fluido, osserveremo una ‘deformazione nel movimento’: F / S = h v/z dove h è detta viscosità.

Le dimensioni della viscosità sono: h = F z / S v = p t ( Pa s) ma è tradizionalmente misurata in Poise : 1 Poise= 0.1 Pa s Se teniamo conto della viscosità all’equilibrio le forze di pressione dovranno equilibrare quelle di attrito: (p1 - p2) S = t 2 p R l dove t = h dv/dr dunque ai capi vi sarà una differenza di pressione: p1-p2= 2 l t /R

La viscosità del fluido comporta altre due conseguenze importanti: 1) sostituendo t = h dv/dr nella relazione precedente si ottiene un’equazione differenziale: dv/dr = - (p1-p2) r / 2 l h , la cui soluzione fornisce la forma del profilo di velocità: v = v max ( 1 - r2/R2) v max = (p1-p2) R2 / 4l h

ci dice che le particelle in una data sezione non si muovono tutte alla stessa velocità, ma sono praticamente ferme alla parete e raggiungiono la massima velocità in centro. Il profilo di velocità è parabolico. 2) Ricordando ora che Q = vmed S, e osservando che nel caso di un profilo parabolico vmed = v max /2 Q = (p1-p2) R4p /8 l h

R = (p1-p2)/ Q = 8 l h / p r4 Pertanto la RESISTENZA IDRODINAMICA si potrà calcolare come: R = (p1-p2)/ Q = 8 l h / p r4 ( legge di Poiseuille) N.B. E’ analoga alla seconda legge di Ohm, ma dipende dalla quarta potenza del raggio anziché dalla seconda!

Diamo i numeri…. Una riduzione di raggio dell 1% (dr/r=0.01) di un vaso sanguigno comporta un aumento di resistenza:

Diamo i numeri…. Calcolare la caduta di pressione in un capillare di lunghezza 1 mm e raggio 2 mm, se la velocità al centro del capillare è 0.66 mm/s. (9.8 mmHg)

Diamo i numeri…. Che resistenza oppone all’ acqua un ago di lunghezza 8 cm e raggio interno 0.04 cm? L’ago viene inserito in una siringa con un pistone di area 3.5 cm2. Quale forza bisogna applicare perché l’acqua penetri nella vena con una portata Q= 2 cm3/s? Assumere che la pressione nella vena sia 9 mmHg.(8 109 ps/m3, 6 N)

Limiti di validità della legge di Poiseuille -velocità del fluido inferiore alla velocità critica, al di sopra della quale si manifestano fenomeni di turbolenza, -vasi grandi rispetto alle dimensioni dei globuli rossi (avvengono fenomeni più complessi ) -approssimazione di tubo rigido, in quanto la legge trascura gli effetti elastici.

Vedremo poi le caratteristiche dalla particolare POMPA che spinge il sangue, studiandone le caratteristiche di lavoro. Infine ci occuperemo del CIRCUITO in cui il sangue circola, considerandone le caratteristiche ELASTICHE.

Il sangue è una sospensione di cellule in una soluzione acquosa di sali e molecole organiche (7% in peso) detta PLASMA. Il contenuto in sali ne definisce le proprietà OSMOTICHE. Il PLASMA è sostanzialmente un FLUIDO OMOGENEO, dotato di normale viscosità (circa una volta e mezza quella dell’acqua). Il SANGUE INTERO NON E’ un liquido omogeneo. Esso contiene: ERITROCITI ( 5 106 /mm3) LEUCICITI ( 5-8 103 /mm3) PIASTRINE ( 250-500 103 /mm3)

La sua VISCOSITA’ dipende: * dalla TEMPERATURA (aumenta nei congelamenti,…) * dall’ EMATOCRITO * dalla PORTATA (effetto di accumulo assiale) * dal raggio del vaso (effetto Lindquist)

Si definisce EMATOCRITO il volume percentuale di sangue occupato dagli eritrociti. Di norma HT vale circa il 40%. Viscosità relativa 5 HT (%) 20 40 60 80

Visc apparente (cp) 10 Portata (cm3/s) 0.05 0.1 Visc apparente (cp) 4 Raggio (mm) 500

LA POMPA Il CUORE è la pompa che compie LAVORO per vincere gli attriti viscosi del sangue. Trattandosi di una struttura muscolare essa: * è attivata da un impulso elettrico (potenziale di azione) * può contrarsi in modo ISOTONICO e ISOMETRICO ISOTONICO: il muscolo si accorcia (fa LAVORO esterno) ISOMETRICO: il muscolo sviluppa tensione contro un carico esterno senza variare la lunghezza

Le cavità funzionano come superfici elastiche: nel caso sferico si può porre in relazione la pressione Dp generata durante la contrazione con il raggio r e con la tensione generata dalla tensione muscolare t: Se la bolla è piena di aria, è possibile aumentare la pressione al suo interno sia riducendo r (isotonicamente) sia aumentando la tensione di parete t (isometrica mente)

Se la bolla è piena di acqua,è possibile aumentare la pressione tramite l’aumento della tensione di (isometricamente), ma la riduzione del volume non è possibile a causa della incompressibilità del liquido, a meno che esista una valvola che consente la fuoriuscita del liquido. Dunque la fase di contrazione e dilatazione isotonica richiede che le valvole siano aperte.

Aspirazione (diastole) Espulsione (sistole)

‘a valvole chiuse’ = isometrica ‘a valvole aperte’ = isotonica

Due pompe parallele…. Di cui quella sinistra ad alta pressione e quella destra a bassa pressione (ca 1/5)

Che lavorano in serie…..producendo la medesima portata

LAVORO CARDIACO: comprende quello del cuore ‘sinistro’ e ‘destro’, ma il primo è preponderante. CONTRAZIONE ISOMETRICA: L = 0 CONTRAZIONE ISOTONICA: DV= Vfin-Viniz, L=pv* DV RILASSAMENTO ISOMETRICO: L = 0 RILASSAMENTO ISOTONICO: Pa = 0, L = 0 poiché pv = 100 mmHg, DV = 60 cm3 per ogni pulsazione L = 100/760 * 105 * 60 * 10-6 = 0.8 J

Aggiungendo il contributo del cuore destro, la cui pressione ventri- colare è circa 1/5 di quella del cuore sinistro, e considerando che (ovviamente) la gittata è costante: Ltot = 0.8 + 0.16 = 1 J Se consideriamo una frequenza media di circa 60 battiti/min, la potenza sarà pari a: P = L/t = 1 J/1 s = 1 W

In definitiva: il lavoroi del cuore A riposo vale circa 0.8 J Sotto sforzo: DV=200 cm3, pv=160 mmHg vale circa 4.2 J

Diamo i numeri….. Calcolare il lavoro cardiaco per pulsazione in un soggetto sotto sforzo in cui la frequenza cardiaca è 180 battiti/minuto, il volume pulsatorio è di 160 cm3 e la pressione media ventricolare vale 150 mmHg. Determinare anche la potenza cardiaca media.

IL CIRCUITO. Il ‘grande circolo’ è un insieme di distretti posti tra loro in parallelo. A partire dall’aorta si diramano le grandi arterie, che alimentano ciascun distretto. Il sangue uscente da ciascun distretto perviene alle vene cave tramite il sistema venoso.

I grandi vasi (arterie e vene) possono modulare la loro resistenza vasodilatandosi o vasocostringendosi: es: sia r il raggio di un’arteria in condizioni normali e r* quello sotto sforzo. Per la legge di Poiseuille sappiamo che: R*/R = (r/r*)4 se ad es si ha una vasodilatazione del 10 %: r*/r=1.1 allora R*/R = (1/1.1)4 = 1/1.46 dunque la resistenza diminuisce del 46% !

Diamo i numeri….. Studi su persone ipertese hanno dimostrato che la portata sanguigna è pressoché normale, calcolare quale aumento di pressione viene indotto da una restrizione del lume dei vasi all’ 80% del valore normale. (assunta una Dp media di 90 mmHg, si ottiene 220 mmHg)

Viceversa, per la regolazione delle resistenze del microcircolo, è essenziale l’organizzazione in parallelo dei microvasi. La regolazione, in questo caso, avviene ‘reclutando’ o ‘escludendo’ una frazione dei vasi disponibili.

Perché i piccoli vasi (che hanno maggiore resistenza) sono organizzati ‘in parallelo’? -----WWWWWWWWWWWWW----- R1 R2 pi-pf= Rtot Q = pi-P +P-pf = R1 Q + R2 Q = (R1+R2) Q dunque Rtot= R1 + R2 WWWWWW --- ----- Q = (pi-pf)/Rtot = Q1 + Q2 = (pi-pf)/R1 + (pi-pf)/R2 dunque 1/Rtot = 1/ R1 + 1/ R2

al crescere di N la resistenza totale diminuisce! Se ci sono N vasi di uguale resistenza r 1 / Rtot = N / r dunque Rtot = r /N al crescere di N la resistenza totale diminuisce!

L’organizzazione microvascolare ‘in parallelo’ è funzionale alla riduzione della resistenza totale e all’aumento della superficie di scambio.

L’ACCOPPIAMENTO POMPA-CIRCUITO Come in tutti i sistemi artificiali, è di fondamentale importanza che l’accoppiamento sia adeguato. Il funzionamento della pompa può essere descritto da un grafico che mette in relazione la portata Q generata dalla pompa stessa e la pressione p contro cui lavora (che i fisiologi chiamano ‘postcarico’ (curva ROSSA)

Il comportamento del circuito è descritto dalla legge di Poiseuille, cioè sostanzialmente dalla resistenza R del circuito stesso.Le curve VERDE e BLU descrivono due condizioni di resistenza. p Q

Il luogo in cui le rette si incontrano è il punto di lavoro del cuore. Come si vede, se la resistenza vascolare è più elevata la portata diminuisce. C’è un’altra conseguenza importante: se R è maggiore, è maggiore la potenza spesa dal cuore per il suo funzionamento. Infatti, essendo P= L/t = P V/t = P Q p o x Q P o x

Nella realtà la funzione di pompa è più complessa, ed è regolata dalla pressione del sangue che arriva all’atrio tramite le vene (il cosiddetto ‘precarico’) dalla legge di Frank-Starling.

MOTI ESTERNI La viscosità del fluido gioca un ruoo importante anche nel determinare le condizioni di moto degli oggetti immersi. I corpi che si muovono in un liquido viscoso, infatti, subiscono un’attrito proporzionale alla velocità del loro moto. Nel caso semplice di oggetti sferici di raggio r la forza di attrito è data dalla legge di Stokes: Fa = 6 p h r v In generale l’effetto dell’attrito è quello di determinare un moto bifasico: inizialmente c’è un transitorio in moto accelerato, successivamente si raggiunge una condizione di equilibrio a velocità costante di deriva. Un esempio è dato dalla VELOCITA’ DI ERITROSEDIMEN- TAZIONE (VES)

Spinta di Archimede: S = dlVg Forza di attrito: A=6pmrv Forza peso: P = dVg All’ equilibrio: S + A = P

v= 2(d-dl)g r2/9m nel caso della VES, sostituendo i valori ‘normali’: r= 3.5 mm; d(glob)=1.0995 g/cm3; d(plasma)=1.0265 g/cm3, h= 0.01 cP si trova una velocità di sedimentazione pari a v= 7 mm/h ! Nel corso di processi infettivi la variazione di dimensione dei globuli comporta un aumento di v.